Problèmes sur la représentation de l'espace

Une pyramide de verre

Un presse-papier en verre a la forme d'une pyramide à base carrée, de côté de base \(8 \ \text{cm}\) et de hauteur \(12 \ \text{cm}\). Sa perspective est commencée ci-dessous.

1. Compléter la perspective : tracer les quatre arêtes issues de \(S\), en pointillés celle qui est cachée, puis la hauteur \(\bigl[SO\bigr]\) en rouge, et écrire les longueurs \(8 \ \text{cm}\) et \(12 \ \text{cm}\) sur le dessin.

   Seule l'arête \(\bigl[SD\bigr]\), derrière les faces \(SAB\) et \(SBC\), est cachée. La hauteur \(\bigl[SO\bigr]\), à l'intérieur du solide, se trace aussi en pointillés.

2. Calculer l'aire de sa base.

   La base est un carré de côté \(8 \ \text{cm}\) :

   $$ \mathcal{B} = 8 \times 8 $$

   $$ \mathcal{B} = 64 \ \text{cm}^2 $$
3. Calculer son volume, en \(\text{cm}^3\).

   On applique la formule du volume d'une pyramide, avec la hauteur \(h = 12 \ \text{cm}\) :

   $$ V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h = \frac{1}{3} \times 64 \times 12 $$

   $$ V = \frac{768}{3} $$

   $$ V = 256 \ \text{cm}^3 $$
4. Exprimer ce même volume en \(\text{dm}^3\).

   Comme \(1 \ \text{dm}^3 = 1 \ 000 \ \text{cm}^3\), on divise par \(1 \ 000\) :

   $$ V = 256 \div 1 \ 000 $$

   $$ V = 0.256 \ \text{dm}^3 $$

Un cône de révolution

Un cône de révolution, de sommet \(S\) et de base de centre \(O\), a un rayon de base de \(5 \ \text{cm}\) et une hauteur de \(9 \ \text{cm}\).

1. Le cône est engendré par le triangle \(SOA\), colorié sur la figure, qui tourne autour de la droite \((SO)\). Tracer ce triangle en vraie grandeur.

   Le triangle \(SOA\) est rectangle en \(O\), avec \(SO = 9 \ \text{cm}\) et \(OA = 5 \ \text{cm}\) :

2. Calculer l'aire de son disque de base : valeur exacte, puis arrondie au \(\text{cm}^2\).

   La base est un disque de rayon \(R = 5 \ \text{cm}\) :

   $$ \mathcal{B} = \pi \times R^2 = \pi \times 5^2 $$

   $$ \mathcal{B} = 25\pi \ \text{cm}^2 \approx 79 \ \text{cm}^2 $$
3. Calculer le volume de ce même cône : valeur exacte, puis arrondie au \(\text{cm}^3\).

   On garde l'aire exacte \(25\pi\) pour ne pas cumuler les arrondis :

   $$ V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h = \frac{1}{3} \times 25\pi \times 9 $$

   $$ V = 75\pi \ \text{cm}^3 \approx 236 \ \text{cm}^3 $$
4. Ce cône peut-il contenir un quart de litre ? Justifier.

   Étape 1 : Convertir un quart de litre en \(\text{cm}^3\).

   Étape 2 : Comparer le volume du cône à cette contenance.

   Conclure :

   Étape 1 : comme \(1 \ \text{L} = 1 \ \text{dm}^3 = 1 \ 000 \ \text{cm}^3\), un quart de litre vaut :

   $$ 1 \ 000 \div 4 = 250 \ \text{cm}^3 $$

   Étape 2 : le volume du cône vaut environ \(236 \ \text{cm}^3\) :

   $$ 75\pi \ \text{cm}^3 < 250 \ \text{cm}^3 $$

   Conclusion : le cône ne peut pas contenir un quart de litre.

Le cylindre et le cône

Un cylindre de révolution et un cône de révolution ont le même rayon \(R = 6 \ \text{cm}\) et la même hauteur \(h = 10 \ \text{cm}\). Le cylindre est dessiné ci-dessous : \(O\) et \(O'\) sont les centres de ses deux bases.

1. Tracer dans ce cylindre le cône de même base et de même hauteur, de sommet \(O'\) : son contour en rouge, puis sa hauteur.

   Le cône a pour base le disque de centre \(O\) et pour sommet \(O'\). Sa hauteur est \(\bigl[OO'\bigr]\), en pointillés à l'intérieur du solide.

2. Calculer le volume exact du cylindre, en fonction de \(\pi\).

   Le volume d'un cylindre est l'aire de sa base multipliée par sa hauteur :

   $$ V_{\text{cylindre}} = \pi \times R^2 \times h = \pi \times 6^2 \times 10 $$

   $$ V_{\text{cylindre}} = 360\pi \ \text{cm}^3 $$
3. Calculer le volume exact du cône, en fonction de \(\pi\).
   $$ V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times h = \frac{1}{3} \times 360\pi $$

   $$ V_{\text{cône}} = 120\pi \ \text{cm}^3 $$
4. Quelle fraction du volume du cylindre le cône représente-t-il ? Justifier.
   $$ \frac{V_{\text{cône}}}{V_{\text{cylindre}}} = \frac{120\pi}{360\pi} $$

   $$ \frac{1}{3} $$

   C'est le tiers annoncé par le cours : même base, même hauteur.

5. On cherche un autre cône, de même rayon \(R = 6 \ \text{cm}\), dont le volume égale celui du cylindre. Calculer la hauteur de ce nouveau cône.

   Pour ce cône, \(\frac{1}{3} \times \pi \times 6^2 = 12\pi\). Sa hauteur \(h\) doit donc vérifier :

   $$ 12\pi \times h = 360\pi $$

   On cherche le nombre qui, multiplié par \(12\), donne \(360\) :

   $$ h = 360 \div 12 $$

   $$ h = 30 \ \text{cm} $$

   Il faut tripler la hauteur, puisque le cône de même hauteur ne contenait que le tiers du cylindre.

La hauteur choisie par Léo

La pyramide \(SABCD\) est régulière, à base carrée de côté \(6 \ \text{cm}\). Le pied de sa hauteur est le centre \(O\) de la base, et \(SO = 4 \ \text{cm}\). Le point \(H\) est le milieu de l'arête \(\bigl[BC\bigr]\), et \(SH = 5 \ \text{cm}\).

Léo a calculé le volume de cette pyramide ainsi : \(V = \frac{1}{3} \times 36 \times 5 = 60 \ \text{cm}^3\).

1. Expliquer l'erreur de Léo, en nommant la hauteur de la pyramide sur la figure.

   Léo a pris le segment \(\bigl[SH\bigr]\), tracé sur la face \(SBC\) : il n'est pas perpendiculaire à la base. La hauteur joint le sommet à la base perpendiculairement à celle-ci : c'est \(\bigl[SO\bigr]\), en pointillés parce qu'il est à l'intérieur du solide.

   $$ h = SO = 4 \ \text{cm} $$
2. Calculer le volume de cette même pyramide, puis l'écart avec le résultat de Léo.
   $$ \mathcal{B} = 6 \times 6 = 36 \ \text{cm}^2 $$

   $$ V = \frac{1}{3} \times 36 \times 4 = 12 \times 4 $$

   $$ V = 48 \ \text{cm}^3 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 60 - 48 = 12 \ \text{cm}^3 $$

   Léo a trouvé \(12 \ \text{cm}^3\) de trop.

3. Chloé affirme : « Avec un segment comme \(\bigl[SH\bigr]\), on trouve toujours un volume trop grand, quelle que soit la pyramide régulière. » Justifier qu'elle a raison.

   Étape 1 : Justifier que le segment \(\bigl[SO\bigr]\) est perpendiculaire à la droite \((OH)\).

   Étape 2 : Comparer les longueurs \(SO\) et \(SH\).

   Conclure :

   Étape 1 : le segment \(\bigl[SO\bigr]\) est perpendiculaire à la base, donc à la droite \((OH)\).

   Étape 2 : \(SO\) est la distance du point \(S\) à cette droite, c'est-à-dire le plus court des segments qui joignent \(S\) à un point de \((OH)\). Donc \(SO\) est plus petit que \(SH\).

   Conclusion : le volume s'obtient en multipliant \(\frac{1}{3} \times \mathcal{B}\) par la hauteur : remplacer \(SO\) par une longueur plus grande donne un volume plus grand.

   $$ SO < SH \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times SO < \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times SH $$

Les tas de sel de la commune

Pour l'hiver, une commune stocke son sel de déneigement en deux tas. Le premier a la forme d'un cône de révolution de rayon \(3 \ \text{m}\) et de hauteur \(2 \ \text{m}\) ; le second, celle d'une pyramide à base carrée de côté \(5 \ \text{m}\) et de hauteur \(2.4 \ \text{m}\).

1. Calculer le volume du tas conique : valeur exacte en fonction de \(\pi\), puis arrondie au dixième de \(\text{m}^3\).
   $$ \mathcal{B} = \pi \times 3^2 = 9\pi \ \text{m}^2 $$

   $$ V_1 = \frac{1}{3} \times 9\pi \times 2 = 3\pi \times 2 $$

   $$ V_1 = 6\pi \ \text{m}^3 \approx 18.8 \ \text{m}^3 $$
2. Calculer le volume du tas en forme de pyramide.
   $$ \mathcal{B} = 5 \times 5 = 25 \ \text{m}^2 $$

   $$ V_2 = \frac{1}{3} \times 25 \times 2.4 = 25 \times 0.8 $$

   $$ V_2 = 20 \ \text{m}^3 $$
3. Un agent affirme que le tas conique est le plus gros des deux, puisqu'il est plus large. Trancher.

   Les deux volumes viennent d'être calculés :

   $$ V_1 \approx 18.8 \ \text{m}^3 < V_2 = 20 \ \text{m}^3 $$

   L'agent a tort : c'est le tas en forme de pyramide le plus gros. La base du cône est pourtant plus grande (\(9\pi \approx 28.3 \ \text{m}^2\) contre \(25 \ \text{m}^2\)) : c'est la hauteur qui fait la différence.

4. Un camion emporte au plus \(8 \ \text{m}^3\) de sel par voyage. Déterminer le nombre minimal de voyages pour déplacer les deux tas.

   Les deux tas réunis :

   $$ V_1 + V_2 = 6\pi + 20 \approx 38.85 \ \text{m}^3 $$

   Quatre voyages ne suffisent pas, cinq voyages suffisent :

   $$ 4 \times 8 = 32 \ \text{m}^3 < 38.85 \ \text{m}^3 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 5 \times 8 = 40 \ \text{m}^3 > 38.85 \ \text{m}^3 $$

   $$ 5 \ \text{voyages} $$

L'araignée et la mouche

Une pièce a la forme d'un pavé droit : \(AB = 6 \ \text{m}\), \(BC = 5 \ \text{m}\) et \(AE = 3 \ \text{m}\). Une araignée est au coin \(A\) du sol, une mouche endormie au coin \(G\) du plafond. L'araignée marche sur le sol, les murs et le plafond.

1. L'araignée traverse le sol en ligne droite jusqu'au coin \(C\), puis monte le long de l'arête \(\bigl[CG\bigr]\). Calculer la longueur de ce trajet, au centimètre près.

   Le sol \(ABCD\) est un rectangle : le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\). D'après le théorème de Pythagore :

   $$ AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 5^2 = 36 + 25 = 61 $$

   $$ AC = \sqrt{61} \approx 7.81 \ \text{m} $$

   $$ AC + CG \approx 7.81 + 3 = 10.81 \ \text{m} $$
2. On déplie à plat le sol \(ABCD\) et le mur du fond \(DCGH\), le long de l'arête \(\bigl[DC\bigr]\). Tracer sur ce dépliage le trajet le plus court de \(A\) à \(G\) qui traverse le sol puis ce mur, et calculer sa longueur.

   Sur le dépliage, le plus court chemin de \(A\) à \(G\) est le segment \(\bigl[AG\bigr]\). Le dépliage est un rectangle \(ABGH\), avec \(AB = 6 \ \text{m}\) et \(BG = 5 + 3 = 8 \ \text{m}\) ; le triangle \(ABG\) est rectangle en \(B\). D'après le théorème de Pythagore :

   $$ AG^2 = AB^2 + BG^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 $$

   $$ AG = \sqrt{100} = 10 \ \text{m} $$

   Vérification : ce trajet est plus court que celui de la question 1, qui mesurait environ \(10.81 \ \text{m}\).

3. L'araignée peut franchir une autre arête. Compléter le tableau de tous les trajets en ligne droite de \(A\) à \(G\) sur deux faces voisines, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre. Le trajet de la question 2 est-il le plus court ?

   Face de \(A\)	Face de \(G\)	Arête franchie	Rectangle déplié	Longueur du trajet
   \(ABCD\)	\(DCGH\)	\(\bigl[DC\bigr]\)	\(6 \ \text{m} \times 8 \ \text{m}\)	\(10 \ \text{m}\)
   \(ABCD\)
   \(ABFE\)
   \(ABFE\)
   \(ADHE\)
   \(ADHE\)

   Étape 1 : Nommer les trois faces qui contiennent \(A\), puis les trois qui contiennent \(G\).

   Étape 2 : Compter les trajets qui passent par une face de \(A\), puis par une face voisine qui contient \(G\).

   Étape 3 : Calculer la longueur de chaque trajet sur son dépliage.

   Conclure :

   Étape 1 : le coin \(A\) appartient au sol \(ABCD\) et aux murs \(ABFE\) et \(ADHE\) ; le coin \(G\), aux trois autres faces.

   Étape 2 : chaque face de \(A\) est opposée à une face de \(G\) et voisine des deux autres : il y a \(3 \times 2 = 6\) trajets.

   Étape 3 : dans chaque dépliage, le trajet est la diagonale d'un rectangle, calculée d'après le théorème de Pythagore.

   Face de \(A\)	Face de \(G\)	Arête franchie	Rectangle déplié	Longueur du trajet
   \(ABCD\)	\(DCGH\)	\(\bigl[DC\bigr]\)	\(6 \ \text{m} \times 8 \ \text{m}\)	\(10 \ \text{m}\)
   \(ABCD\)	\(BCGF\)	\(\bigl[BC\bigr]\)	\(5 \ \text{m} \times 9 \ \text{m}\)	\(\sqrt{106} \approx 10.30 \ \text{m}\)
   \(ABFE\)	\(EFGH\)	\(\bigl[EF\bigr]\)	\(6 \ \text{m} \times 8 \ \text{m}\)	\(10 \ \text{m}\)
   \(ABFE\)	\(BCGF\)	\(\bigl[BF\bigr]\)	\(3 \ \text{m} \times 11 \ \text{m}\)	\(\sqrt{130} \approx 11.40 \ \text{m}\)
   \(ADHE\)	\(EFGH\)	\(\bigl[EH\bigr]\)	\(5 \ \text{m} \times 9 \ \text{m}\)	\(\sqrt{106} \approx 10.30 \ \text{m}\)
   \(ADHE\)	\(DCGH\)	\(\bigl[DH\bigr]\)	\(3 \ \text{m} \times 11 \ \text{m}\)	\(\sqrt{130} \approx 11.40 \ \text{m}\)

   $$ \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} \hspace{2em} \sqrt{5^2 + 9^2} = \sqrt{106} \hspace{2em} \sqrt{3^2 + 11^2} = \sqrt{130} $$

   Conclusion : comme \(100 < 106 < 130\), le trajet de la question 2 est le plus court, à égalité avec celui qui franchit \(\bigl[EF\bigr]\) :

   $$ 10 \ \text{m} $$
4. Sacha affirme : « Quelle que soit la pièce, le trajet le plus court franchit l'une des plus longues arêtes. » On note \(a\), \(b\) et \(c\) les trois dimensions d'une pièce, avec \(a \geqslant b \geqslant c\). Démontrer que Sacha a raison.

   Étape 1 : Exprimer, pour chaque longueur d'arête franchie, le carré de la longueur du trajet, en développant.

   Étape 2 : Repérer le terme qui change d'un carré à l'autre.

   Étape 3 : Comparer ces termes entre eux.

   Conclure :

   Étape 1 : comme à la question 3, un dépliage donne un rectangle : l'un de ses côtés est l'arête franchie, l'autre est la somme des deux autres dimensions. Il y a trois sortes de trajets, selon la longueur de l'arête franchie. En développant, leurs carrés valent :

   $$ \text{arête } a : \quad (b + c)^2 + a^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2bc $$

   $$ \text{arête } b : \quad (a + c)^2 + b^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ac $$

   $$ \text{arête } c : \quad (a + b)^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab $$

   Étape 2 : les trois carrés ne diffèrent que par leur dernier terme.

   Étape 3 : on compare ces termes par différence :

   $$ ac - bc = (a - b) \times c \geqslant 0 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} ab - ac = a \times (b - c) \geqslant 0 $$

   Conclusion : donc \(bc \leqslant ac \leqslant ab\) : le plus petit carré, donc le trajet le plus court, est celui qui franchit une arête de longueur \(a\).

   Sacha a raison : le trajet le plus court franchit une arête de longueur \(a\).

   Pour la pièce, \(a = 6\) : les arêtes \(\bigl[DC\bigr]\) et \(\bigl[EF\bigr]\) mesurent bien \(6 \ \text{m}\).

Le casse-tête en trois pyramides

Un casse-tête en bois est formé de trois pyramides qui s'assemblent en un cube \(ABCDEFGH\) de \(6 \ \text{cm}\) d'arête. Elles ont toutes pour sommet \(G\), et pour bases les faces \(ABCD\), \(ABFE\) et \(ADHE\). La pièce \(1\), de base \(ABCD\), est colorée.

1. Nommer la hauteur de la pièce \(1\), puis calculer son volume.

   La hauteur joint le sommet \(G\) à la base \(ABCD\), perpendiculairement : c'est l'arête \(\bigl[GC\bigr]\) du cube. Son pied \(C\) est un sommet de la base, et non son centre.

   $$ V_1 = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h = \frac{1}{3} \times 6 \times 6 \times 6 = \frac{216}{3} $$

   $$ V_1 = 72 \ \text{cm}^3 $$
2. Nommer la hauteur des pièces \(2\) et \(3\), de bases \(ABFE\) et \(ADHE\), puis vérifier que les trois pièces ont, ensemble, le volume du cube.

   L'arête \(\bigl[GF\bigr]\) est perpendiculaire à la face \(ABFE\), et l'arête \(\bigl[GH\bigr]\) à la face \(ADHE\) : ce sont les hauteurs des pièces \(2\) et \(3\). Chacune a une base carrée de \(36 \ \text{cm}^2\) et une hauteur de \(6 \ \text{cm}\), donc le même volume que la pièce \(1\).

   $$ 72 + 72 + 72 = 216 = 6^3 $$

   C'est le tiers annoncé par le cours : chaque pièce a une face du cube pour base et une arête du cube pour hauteur.

3. Construire le patron de la pièce \(1\) à l'échelle \(1 \ \text{cm}\) pour \(2 \ \text{cm}\), en reportant les longueurs au compas. Calculer ensuite les longueurs \(GB\) et \(GA\), et les écrire sur le patron.

   Les faces de la pièce : le carré \(ABCD\) ; les triangles \(GBC\) et \(GDC\), rectangles isocèles en \(C\) ; le triangle \(GBA\), rectangle en \(B\) car l'arête \(\bigl[AB\bigr]\) est perpendiculaire à la face \(BCGF\), de côtés \(AB = 6 \ \text{cm}\) et \(BG = \sqrt{72}\) ; de même, le triangle \(GDA\), rectangle en \(D\). Au compas, la longueur \(\sqrt{72}\) se reporte en prenant la diagonale du carré.

   Le triangle \(GCB\), dans la face \(BCGF\), est rectangle en \(C\). D'après le théorème de Pythagore :

   $$ GB^2 = GC^2 + CB^2 = 36 + 36 = 72 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} GB = \sqrt{72} \approx 8.5 \ \text{cm} $$

   La diagonale \(\bigl[CA\bigr]\) du carré \(ABCD\) mesure aussi \(\sqrt{72}\). L'arête \(\bigl[GC\bigr]\) est perpendiculaire à la base, donc à la droite \((CA)\) : le triangle \(GCA\) est rectangle en \(C\). D'après le théorème de Pythagore :

   $$ GA^2 = GC^2 + CA^2 = 36 + 72 = 108 $$

   $$ GA = \sqrt{108} \approx 10.4 \ \text{cm} $$

   Vérification : les côtés qui se recollent mesurent deux à deux \(6 \ \text{cm}\), \(\sqrt{72}\) et \(\sqrt{36 + 72} = \sqrt{108}\), la longueur \(GA\).

4. Émile affirme : « Si on découpe de la même façon un pavé droit qui n'est pas un cube, les trois pièces n'ont plus le même volume. » Trancher pour un pavé où \(AB = 8 \ \text{cm}\), \(BC = 6 \ \text{cm}\) et \(AE = 3 \ \text{cm}\), puis pour n'importe quel pavé droit.

   Étape 1 : Nommer la hauteur de chaque pièce, et donner sa longueur.

   Étape 2 : Calculer le volume des trois pièces pour ce pavé.

   Étape 3 : Exprimer, pour n'importe quel pavé droit, le volume de chaque pièce à l'aide des trois dimensions.

   Conclure :

   Étape 1 : chaque pièce a pour hauteur l'arête issue de \(G\) perpendiculaire à sa base : \(\bigl[GC\bigr]\), de longueur \(AE = 3 \ \text{cm}\), pour la base \(ABCD\) ; \(\bigl[GF\bigr]\), de longueur \(BC = 6 \ \text{cm}\), pour \(ABFE\) ; \(\bigl[GH\bigr]\), de longueur \(AB = 8 \ \text{cm}\), pour \(ADHE\).

   Étape 2 : pour ce pavé :

   $$ V_1 = \frac{1}{3} \times 8 \times 6 \times 3 = 48 \ \text{cm}^3 $$

   $$ V_2 = \frac{1}{3} \times 8 \times 3 \times 6 = 48 \ \text{cm}^3 $$

   $$ V_3 = \frac{1}{3} \times 6 \times 3 \times 8 = 48 \ \text{cm}^3 $$

   Étape 3 : pour n'importe quel pavé droit, c'est pareil : la base de chaque pièce est une face, d'aire le produit de deux des dimensions, et sa hauteur est la troisième dimension. Chaque volume vaut le tiers du produit des trois dimensions.

   Conclusion : les trois volumes sont égaux pour ce pavé comme pour tous les autres.

   Émile a tort : les trois pièces ont toujours le même volume, le tiers de celui du pavé.

   Pourtant, elles n'ont pas la même forme : la base de la pièce \(1\) mesure \(8 \ \text{cm}\) sur \(6 \ \text{cm}\), celle de la pièce \(3\), \(6 \ \text{cm}\) sur \(3 \ \text{cm}\).