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Les triangles

Quelques propriétés du triangle suffisent pour calculer un angle, une longueur, ou prouver un angle droit.

Sur un pont en treillis, une barre relie les milieux de deux poutres.

Nul besoin de la mesurer : les milieux suffisent.

La droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième, et en mesure la moitié.

Les triangles

Les types de triangles

  1. Le triangle rectangle

    Le triangle rectangle est un triangle avec un angle droit.

    Triangle rectangle
    Papier millimetre
    un triangle rectangle

    Le côté opposé à l'angle droit, le plus grand, s'appelle l'hypoténuse.

  2. Le triangle équilatéral

    Le triangle équilatéral est un triangle avec tous ses côtés de même longueur.

    Triangle equilateral
    Papier millimetre
    un triangle équilatéral

    Ses trois angles sont égaux à \(60°\).

  3. Le triangle isocèle

    Le triangle isocèle est un triangle avec deux côtés de même longueur.

    Triangle isocele
    Papier millimetre
    un triangle isocèle

    Il a aussi deux angles égaux (les angles à la base, adjacents au troisième côté).

La surface d'un triangle

Triangle schema bh
un triangle et sa hauteur

Connaissant une base et la hauteur associée :

$$\mathcal{A} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} $$

Les théorèmes

  1. La somme des angles d'un triangle

    La somme des angles d'un triangle

    Dans un triangle \(ABC\), la somme des angles vaut \(180°\).

    Somme des angles d un triangle
    Papier millimetre
    un triangle ordinaire

    Autrement dit :

    $$ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180° $$

  2. Le théorème des milieux

    Le théorème des milieux

    Dans un triangle ordinaire \(ABC\) :

    Theoreme des milieux
    Papier millimetre
    un triangle ordinaire

    Sur ces trois affirmations, deux suffisent à déduire la troisième :

    $$ I \text{ est le milieu de } \bigl[AB\bigr] $$
    $$ J \text{ est le milieu de } \bigl[AC\bigr] $$
    $$ (IJ) \parallel (BC) $$
    $$ \text{et} $$
    $$ IJ = \frac{BC}{2} $$

  3. Le théorème de Pythagore

    Le théorème de Pythagore

    Dans un triangle \(ABC\) rectangle en \(B\) :

    Theoreme de pythagore
    Papier millimetre
    un triangle rectangle \(ABC\), rectangle en \(B\)

    On a cette égalité :

    $$ AB^2 + BC^2 = AC^2 $$

    Alors,

    $$ \bigl(AB \perp BC \bigr) \Longrightarrow \Bigl(AB^2 + BC^2 = AC^2\Bigr) $$

  4. La réciproque du théorème de Pythagore

    La réciproque du théorème de Pythagore

    Dans un triangle \(ABC\) quelconque, si l'égalité de Pythagore est vérifiée, alors:

    $$ \Bigl(AB^2 + BC^2 = AC^2 \Bigr) \Longrightarrow \bigl(AB \perp BC \bigr) $$

    Le triangle est rectangle en \(B\), et \(\bigl[AC\bigr]\) est l'hypoténuse : on isole le plus grand côté.

  5. La contraposée du théorème de Pythagore

    La contraposée du théorème de Pythagore

    Elle sert à démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle.

    $$ \Bigl(AB^2 + BC^2 \neq AC^2 \Bigr) \Longrightarrow \bigl(AB \not\perp BC \bigr) $$

    Le théorème part de l'angle droit pour donner une égalité ; la réciproque part de l'égalité pour donner l'angle droit ; la contraposée part de l'inégalité pour écarter l'angle droit.

Le triangle rectangle et son cercle circonscrit

Le triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle

Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit, de centre le milieu de l'hypoténuse.

Un triangle rectangle inscrit dans son cercle circonscrit
\(ABC\) rectangle en \(B\) : \(O\), milieu de \(\bigl[AC\bigr]\), est le centre du cercle

Réciproquement, un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est rectangle, au sommet opposé à ce diamètre.

Pour tracer un rectangle sans équerre, on trace deux diamètres d'un même cercle et on joint leurs extrémités.