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Les triangles

Les triangles

Les types de triangles

  1. Le triangle rectangle

    Le triangle rectangle est un triangle avec un angle droit .

    Triangle rectangle
    Papier millimetre
    un triangle rectangle

    Le plus grand des trois côtés (celui sans l'angle droit) s'appelle l'hypoténuse .

  2. Le triangle équilatéral

    Le triangle équilatéral est un triangle avec tous ses côtés de même longueur .

    Triangle equilateral
    Papier millimetre
    un triangle équilatéral

    De même, ces trois angles sont égaux à 60°.

  3. Le triangle isocèle

    Le triangle isocèle est un triangle avec deux côtés de même longueur .

    Triangle isocele
    Papier millimetre
    un triangle isocèle

    De même, il a aussi deux angles égaux (les angles adjacents aux côtés de même longueur).

La surface d'un triangle

Connaissant une longueur (base) et une hauteur , on fait :

Triangle schema bh
un triangle ordinaire avec sa hauteur
$$\mathcal{A} = \frac{base \times hauteur}{2} $$

Les théorèmes

  1. La somme des angles d'un triangle

    La somme des angles d'un triangle

    Dans un triangle ordinaire \(ABC\), la somme des angles d'un triangle fait toujours \(180°\) \((\pi \ radians) \).

    Somme des angles d un triangle
    Papier millimetre
    un triangle ordinaire
    $$ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180° $$

  2. Le théorème des milieux

    Le théorème des milieux

    Dans un triangle ordinaire \(ABC\), si l'on a la figure suivante :

    Theoreme des milieux
    Papier millimetre
    un triangle ordinaire

    Alors, sur ces trois affirmations, deux suffisent à déduire la troisième :

    $$ I \text{ est le milieu de } \bigl[AB\bigr] $$
    $$ J \text{ est le milieu de } \bigl[AC\bigr] $$
    $$ (IJ) \parallel (BC) $$
    $$ \text{et} $$
    $$ IJ = \frac{BC}{2} $$

  3. Le théorème de Pythagore

    Le théorème de Pythagore

    Dans un triangle rectangle \(ABC\), rectangle en \(B\) :

    Theoreme de pythagore
    Papier millimetre
    un triangle rectangle \(ABC\), rectangle en \(B\)

    On a aura toujours cette égalité vérifiée :

    $$ AB^2 + BC^2 = AC^2 $$

    Alors,

    $$ \bigl(AB \perp BC \bigr) \Longrightarrow \Bigl(AB^2 + BC^2 = AC^2\Bigr) $$

  4. La réciproque du théorème de Pythagore

    La réciproque du théorème de Pythagore

    Elle permet de faire le chemin inverse : partir des longueurs pour en déduire que le triangle est rectangle.

    Dans un triangle \(ABC\) quelconque , si l'égalité de Pythagore est vérifiée, alors :

    $$ \Bigl(AB^2 + BC^2 = AC^2 \Bigr) \Longrightarrow \bigl(AB \perp BC \bigr) $$

    Le triangle est alors rectangle en \(B\), et \([AC]\) en est l'hypoténuse : c'est toujours le plus grand côté qui est isolé dans l'égalité.

  5. La contraposée du théorème de Pythagore

    La contraposée du théorème de Pythagore

    Elle sert à démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle.

    $$ \Bigl(AB^2 + BC^2 \neq AC^2 \Bigr) \Longrightarrow \bigl(AB \not\perp BC \bigr) $$

    Ces trois énoncés se distinguent par ce dont on part. Le théorème part de l'angle droit pour donner une égalité ; la réciproque part de l'égalité pour donner l'angle droit ; la contraposée part de l'inégalité pour écarter l'angle droit.

Le triangle rectangle et son cercle circonscrit

Le triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle

Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. Le centre de ce cercle est donc le milieu de l'hypoténuse .

Un triangle rectangle inscrit dans son cercle circonscrit
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\) : le point \(O\), milieu de \([AC]\), est le centre du cercle

La réciproque est vraie également : si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre, alors ce triangle est rectangle , et l'angle droit se trouve au sommet opposé à ce diamètre.

Ce résultat donne une méthode de construction : pour tracer un rectangle sans équerre, il suffit de tracer deux diamètres d'un même cercle et de joindre leurs quatre extrémités.