Exercices de type problème sur les triangles

Calculer une longueur

\(ABC\) est un triangle rectangle en \(B\), avec \(AB = 6\ \text{cm}\) et \(BC = 8\ \text{cm}\).

1. Énoncer l'égalité de Pythagore dans ce triangle.
2. Calculer la longueur \(AC\).
3. Quel côté est l'hypoténuse ? Justifier en une phrase.

Rectangle ou pas ?

On considère deux triangles :

• \(DEF\) avec \(DE = 9\ \text{cm}\), \(EF = 12\ \text{cm}\) et \(DF = 15\ \text{cm}\) ;
• \(GHI\) avec \(GH = 5\ \text{cm}\), \(HI = 7\ \text{cm}\) et \(GI = 9\ \text{cm}\).

1. Le triangle \(DEF\) est-il rectangle ? Nommer le théorème utilisé.
2. Le triangle \(GHI\) est-il rectangle ? Nommer le théorème utilisé.
3. Expliquer la différence entre les deux théorèmes employés.

Milieux et cercle circonscrit

\(MNP\) est un triangle rectangle en \(N\), avec \(MP = 10\ \text{cm}\). On note \(O\) le milieu de \([MP]\), et \(I\) le milieu de \([MN]\), \(J\) celui de \([NP]\).

1. Justifier que \(O\) est le centre du cercle circonscrit au triangle, et donner son rayon.
2. Que peut-on dire de la droite \((IJ)\) par rapport à \((MP)\) ? Nommer le théorème utilisé.
3. Calculer la longueur \(IJ\).