Problèmes sur les triangles en quatrième

Une longueur à calculer, un angle droit à vérifier : Pythagore et sa réciproque ne répondent pas à la même question.

Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore
Démontrer qu'un triangle est rectangle, ou qu'il ne l'est pas
Utiliser le cercle circonscrit et le théorème des milieux
Repérer l'hypoténuse pour contrôler un calcul

Calculer une longueur

$ABC$ est un triangle rectangle en $B$, avec $AB = 6 \ \text{cm}$ et $BC = 8 \ \text{cm}$.

Construire le triangle $ABC$ en vraie grandeur.

Étape 1 : Tracer le segment $\bigl[BC\bigr]$ de $8 \ \text{cm}$.

Étape 2 : Tracer la perpendiculaire à $(BC)$ passant par $B$, puis y placer le point $A$ tel que $AB = 6 \ \text{cm}$.

Étape 3 : Tracer le segment $\bigl[AC\bigr]$.

la construction se fait ici
Quel côté de ce triangle est l'hypoténuse ? Le repasser en rouge sur le tracé, et justifier en une phrase.

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. L'angle droit étant en $B$ :

$$ \text{l'hypoténuse est } \bigl[AC\bigr] $$

C'est le côté rouge de la figure de la question 1.
Écrire l'égalité de Pythagore dans ce même triangle.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, donc d'après le théorème de Pythagore :

$$ AB^2 + BC^2 = AC^2 $$
Calculer la longueur $AC$, puis l'écrire sur le tracé.

$$ AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 $$

$AC$ est une longueur, donc un nombre positif dont le carré vaut $100$ :

$$ AC = \sqrt{100} $$

$$ AC = 10 \ \text{cm} $$

Rectangle ou pas ?

On considère deux triangles :

$DEF$ avec $DE = 9 \ \text{cm}$, $EF = 12 \ \text{cm}$ et $DF = 15 \ \text{cm}$ ;
$GHI$ avec $GH = 5 \ \text{cm}$, $HI = 7 \ \text{cm}$ et $GI = 9 \ \text{cm}$.

Le triangle $DEF$ est-il rectangle ? Nommer le théorème utilisé.

Étape 1 : Repérer le plus grand côté du triangle $DEF$.

Étape 2 : Calculer séparément le carré de ce côté et la somme des carrés des deux autres.

Conclure :

Étape 1 : le plus grand côté est $\bigl[DF\bigr]$.

Étape 2 : on calcule séparément :

$$ DF^2 = 15^2 = 225 $$

$$ DE^2 + EF^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 $$

Conclusion : l'égalité $DE^2 + EF^2 = DF^2$ est vérifiée. D'après la réciproque du théorème de Pythagore :

$$ DEF \text{ est rectangle en } E $$
Construire le triangle $GHI$ en vraie grandeur, au compas.

Étape 1 : Tracer le segment $\bigl[GI\bigr]$ de $9 \ \text{cm}$.

Étape 2 : Tracer l'arc de cercle de centre $G$ et de rayon $5 \ \text{cm}$, puis celui de centre $I$ et de rayon $7 \ \text{cm}$.

Étape 3 : Placer $H$ à l'intersection des deux arcs, puis tracer le triangle.

Mesurer ensuite l'angle $\widehat{GHI}$ au rapporteur et écrire sa mesure sur le tracé.

la construction se fait ici

Les deux arcs se coupent en $H$, à $5 \ \text{cm}$ de $G$ et à $7 \ \text{cm}$ de $I$ :

$$ \widehat{GHI} \approx 96° $$

L'angle est proche d'un angle droit : seul le calcul de la question suivante peut trancher.
Le triangle $GHI$ est-il rectangle ? Nommer le théorème utilisé.

Étape 1 : Repérer le plus grand côté du triangle $GHI$.

Étape 2 : Calculer séparément le carré de ce côté et la somme des carrés des deux autres.

Conclure :

Étape 1 : le plus grand côté est $\bigl[GI\bigr]$.

Étape 2 : on calcule séparément :

$$ GI^2 = 9^2 = 81 $$

$$ GH^2 + HI^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74 $$

Conclusion : comme $74 \neq 81$, l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée. D'après la contraposée du théorème de Pythagore :

$$ GHI \text{ n'est pas rectangle} $$
Expliquer la différence entre les deux théorèmes employés.

Les deux partent des longueurs. La réciproque part d'une égalité vérifiée et prouve que le triangle est rectangle ; la contraposée part d'une égalité fausse et prouve qu'il ne l'est pas.

Milieux et cercle circonscrit

$MNP$ est un triangle rectangle en $N$, avec $MP = 10 \ \text{cm}$. On note $O$ le milieu de $\bigl[MP\bigr]$, $I$ le milieu de $\bigl[MN\bigr]$ et $J$ celui de $\bigl[NP\bigr]$. La figure, commencée ci-dessous, n'est pas en vraie grandeur.

Placer $O$ sur la figure, puis tracer le cercle de centre $O$ passant par $M$. Justifier que c'est le cercle circonscrit au triangle et donner son rayon.

Le triangle $MNP$ est rectangle en $N$, donc son hypoténuse $\bigl[MP\bigr]$ est un diamètre de son cercle circonscrit. Le centre de ce cercle est le milieu de $\bigl[MP\bigr]$, c'est-à-dire $O$.

$$ r = \frac{MP}{2} = \frac{10}{2} $$

$$ r = 5 \ \text{cm} $$
Placer $I$ et $J$, puis tracer la droite $(IJ)$. Que peut-on dire de $(IJ)$ par rapport à $(MP)$ ? Nommer le théorème utilisé.

Dans le triangle $MNP$, $I$ est le milieu de $\bigl[MN\bigr]$ et $J$ celui de $\bigl[NP\bigr]$. D'après le théorème des milieux :

$$ (IJ) \parallel (MP) $$
Calculer la longueur $IJ$.

Le même théorème des milieux donne aussi la longueur :

$$ IJ = \frac{MP}{2} = \frac{10}{2} $$

$$ IJ = 5 \ \text{cm} $$

Où est l'erreur ?

Le triangle $RST$ ci-dessous est rectangle en $S$, avec $RS = 5 \ \text{cm}$ et $RT = 13 \ \text{cm}$.

Lucas veut calculer $ST$ et écrit :

$$ ST^2 = RS^2 + RT^2 = 25 + 169 = 194 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} ST \approx 13.9 \ \text{cm} $$

Sans refaire le calcul, expliquer pourquoi le résultat de Lucas ne peut pas être juste.

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le plus grand côté. Ici, $ST \approx 13.9 \ \text{cm}$ serait plus long que $RT = 13 \ \text{cm}$, ce qui est impossible si $\bigl[RT\bigr]$ est l'hypoténuse.
Nommer l'hypoténuse de ce triangle, puis repérer l'erreur de Lucas.

L'angle droit est en $S$ : l'hypoténuse est le côté opposé, $\bigl[RT\bigr]$. C'est donc $RT^2$ qui doit être isolé dans l'égalité :

$$ RS^2 + ST^2 = RT^2 $$

Lucas a mis $ST$ à la place de l'hypoténuse.
Calculer la longueur $ST$ correctement.

$$ ST^2 = RT^2 - RS^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 $$

$$ ST = \sqrt{144} $$

$$ ST = 12 \ \text{cm} $$

On retrouve bien un côté plus court que l'hypoténuse.

L'angle droit du maçon

Pour tracer un angle droit sans équerre, les bâtisseurs de l'Antiquité utilisaient une corde à $13$ nœuds, qui découpe la corde en $12$ intervalles égaux. Ils la tendaient en un triangle dont les côtés mesuraient $3$, $4$ et $5$ intervalles.

Justifier que ce triangle de corde est rectangle, puis coder l'angle droit sur la figure.

Étape 1 : Repérer le plus grand côté du triangle.

Étape 2 : Calculer séparément le carré de ce côté et la somme des carrés des deux autres.

Conclure :

Étape 1 : le plus grand côté mesure $5$ intervalles.

Étape 2 : on calcule séparément :

$$ 5^2 = 25 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $$

Conclusion : l'égalité de Pythagore est vérifiée. D'après sa réciproque :

$$ \text{le triangle est rectangle} $$

L'angle droit est entre les côtés de $3$ et de $4$ intervalles, en face du plus grand.
On change de situation : un maçon contrôle le coin d'un mur. Il mesure $60 \ \text{cm}$ le long d'un côté, $80 \ \text{cm}$ le long de l'autre, et $1.02 \ \text{m}$ entre les deux marques. Le coin est-il droit ? Justifier.

Étape 1 : Convertir les trois longueurs dans la même unité.

Étape 2 : Calculer séparément le carré de la plus grande longueur et la somme des carrés des deux autres.

Conclure :

Étape 1 : on convertit d'abord : $1.02 \ \text{m} = 102 \ \text{cm}$.

Étape 2 : on calcule séparément :

$$ 102^2 = 10 \ 404 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 60^2 + 80^2 = 3 \ 600 + 6 \ 400 = 10 \ 000 $$

Conclusion : comme $10 \ 000 \neq 10 \ 404$, d'après la contraposée du théorème de Pythagore :

$$ \text{le coin n'est pas droit} $$
Quelle longueur le maçon aurait-il dû lire entre ses deux marques pour que ce même coin soit droit ?

Si le coin est droit, le théorème de Pythagore s'applique, et la distance entre les marques est l'hypoténuse :

$$ d^2 = 60^2 + 80^2 = 10 \ 000 $$

$$ d = \sqrt{10 \ 000} $$

$$ d = 100 \ \text{cm} = 1 \ \text{m} $$
Sur un grand chantier, le maçon referme en triangle une ficelle de $12 \ \text{m}$. Proposer les longueurs des trois côtés pour obtenir un angle droit, et vérifier. Puis dessiner ce triangle à l'échelle $1 \ \text{cm}$ pour $1 \ \text{m}$.

la construction se fait ici

La corde à nœuds donne l'idée : $3 + 4 + 5 = 12$. Il suffit de prendre des intervalles de $1 \ \text{m}$.

$$ 3 \ \text{m}, \quad 4 \ \text{m} \quad \text{et} \quad 5 \ \text{m} $$

Vérification : $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$, donc le triangle est rectangle d'après la réciproque du théorème de Pythagore.

Les élastiques du géoplan

Sur ce géoplan, deux clous voisins sont écartés d'un carreau. Un élastique est tendu autour des clous $A$, $B$ et $D$.

Le triangle $ABD$ est-il rectangle ? Justifier par le calcul, puis coder sur le géoplan l'angle droit s'il y en a un.

Étape 1 : Calculer $AB^2$, $AD^2$ et $BD^2$ à l'aide du quadrillage.

Étape 2 : Repérer le plus grand côté du triangle $ABD$.

Étape 3 : Calculer séparément le carré de ce côté et la somme des carrés des deux autres.

Conclure :

Étape 1 : chaque côté est l'hypoténuse d'un triangle rectangle tracé le long du quadrillage. Pour aller de $A$ à $B$, on se déplace de $3$ carreaux horizontalement et de $1$ verticalement ; d'après le théorème de Pythagore :

$$ AB^2 = 3^2 + 1^2 = 10 \hspace{2em} AD^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \hspace{2em} BD^2 = 2^2 + 2^2 = 8 $$

Étape 2 : le plus grand côté est $\bigl[AB\bigr]$.

Étape 3 : on calcule séparément :

$$ AB^2 = 10 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} AD^2 + BD^2 = 2 + 8 = 10 $$

Conclusion : l'égalité de Pythagore est vérifiée. D'après la réciproque du théorème de Pythagore :

$$ ABD \text{ est rectangle en } D $$
On cherche tous les clous $C$ pour lesquels le triangle $ABC$ est rectangle. Chaque case des grilles correspond au clou placé au même endroit sur le géoplan. Compléter les grilles, marquer sur le géoplan les clous qui conviennent, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre.

Étape 1 : Trouver les clous $C$ pour lesquels le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

Étape 2 : Trouver les clous $C$ pour lesquels il est rectangle en $A$.

Étape 3 : Trouver les clous $C$ pour lesquels il est rectangle en $B$.

Conclure :

On lit les écarts sur le quadrillage, comme à la question 1. Par exemple, le clou en haut à droite est à $3$ carreaux de $A$ horizontalement et à $2$ verticalement, donc $AC^2 = 3^2 + 2^2 = 13$.

L'angle droit peut être en $C$, en $A$ ou en $B$. Dans chaque cas, si l'égalité de Pythagore est vérifiée, le triangle est rectangle d'après la réciproque ; sinon, il ne l'est pas d'après la contraposée.

Étape 1 : si l'angle droit est en $C$, l'hypoténuse est $\bigl[AB\bigr]$, il faut $AC^2 + BC^2 = 10$. On additionne les deux grilles case par case :

Étape 2 : si l'angle droit est en $A$, l'hypoténuse est $\bigl[BC\bigr]$, il faut $BC^2 = AC^2 + 10$, donc $BC^2 > 10$. Trois clous seulement ont $BC^2 > 10$, et aucun ne convient :

$$ 18 \neq 4 + 10 \hspace{2em} 13 \neq 5 + 10 \hspace{2em} 13 \neq 1 + 10 $$

Étape 3 : si l'angle droit est en $B$, l'hypoténuse est $\bigl[AC\bigr]$, il faut $AC^2 = BC^2 + 10$, donc $AC^2 > 10$. Un seul clou a $AC^2 > 10$, et il ne convient pas : $13 \neq 9 + 10$.

Conclusion : seuls les clous de l'étape 1, où la somme vaut $10$, conviennent.

Quatre clous conviennent, et l'angle droit est chaque fois au clou choisi.

Vérification : les quatre clous $D$, $E$, $F$ et $G$ sont sur le cercle de diamètre $\bigl[AB\bigr]$, tracé au compas depuis le milieu $O$ de $\bigl[AB\bigr]$.
Parmi ces triangles rectangles, lequel a la plus grande aire ? Justifier par le calcul.

L'aire d'un triangle rectangle est la moitié du produit des deux côtés de l'angle droit. Leurs carrés se lisent dans les grilles :

$$ \mathcal{A}_{ABG} = \frac{1 \times 3}{2} = 1.5 \hspace{2em} \mathcal{A}_{ABF} = \frac{3 \times 1}{2} = 1.5 $$

$$ \mathcal{A}_{ABE} = \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 $$

Pour $ABD$, les côtés de l'angle droit mesurent $\sqrt{2}$ et $\sqrt{8}$. Le carré de leur produit vaut :

$$ \bigl(\sqrt{2} \times \sqrt{8}\bigr)^2 = \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{8} \times \sqrt{8} = 2 \times 8 = 16 $$

$$ \sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} \mathcal{A}_{ABD} = \frac{4}{2} = 2 $$

$$ \mathcal{A}_{ABE} = 2.5 \ \text{carreaux} $$

Le plus grand est le triangle isocèle $ABE$.
Inès affirme qu'un point $C$ placé ailleurs qu'à un clou peut donner un triangle $ABC$ rectangle en $C$ d'aire plus grande. Trancher par une démonstration, en notant $O$ le milieu de $\bigl[AB\bigr]$ et $K$ le pied de la hauteur issue de $C$.

Étape 1 : Justifier que $OC$ vaut la moitié de $AB$.

Étape 2 : Comparer les longueurs $CK$ et $CO$.

Étape 3 : Trouver une valeur que l'aire du triangle $ABC$ ne peut pas dépasser.

Conclure :

Étape 1 : le triangle $ABC$ est rectangle en $C$, donc son hypoténuse $\bigl[AB\bigr]$ est un diamètre de son cercle circonscrit, de centre $O$. Le rayon $OC$ vaut la moitié de $AB$.

Étape 2 : si $K$ n'est pas en $O$, le triangle $CKO$ est rectangle en $K$, et son hypoténuse $\bigl[CO\bigr]$ est son plus grand côté. Dans tous les cas :

$$ CK \leqslant CO = \frac{AB}{2} $$

Étape 3 : on en déduit une borne pour l'aire, avec $AB \times AB = AB^2 = 10$ :

$$ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \times CK}{2} \leqslant \frac{AB \times AB}{4} = \frac{10}{4} $$

Conclusion : or $\frac{10}{4} = 2.5$, l'aire du triangle $ABE$ trouvée à la question précédente.

Inès a tort : l'aire ne dépasse jamais $2.5$ carreaux.

Ce maximum est atteint quand $K$ est en $O$ : c'est le triangle $ABE$ du géoplan.

L'échelle qui glisse

Une échelle de $5 \ \text{m}$ est posée contre un mur vertical, son pied $P$ à $1.40 \ \text{m}$ du coin $O$. Le sol glisse : le pied recule jusqu'en $P'$, à $3 \ \text{m}$ du mur, et le haut descend de $H$ en $H'$. Un seau pend au barreau du milieu, en $M$ puis en $M'$.

Tom affirme : « Le haut de l'échelle est descendu d'autant que le pied a reculé. » Trancher par le calcul.

Étape 1 : Calculer la hauteur $OH$ du haut de l'échelle avant la glissade.

Étape 2 : Calculer la hauteur $OH'$ après la glissade.

Étape 3 : Comparer la descente du haut de l'échelle au recul de son pied.

Conclure :

Étape 1 : le mur est vertical et le sol horizontal : le triangle $OHP$ est rectangle en $O$, et son hypoténuse est l'échelle $\bigl[HP\bigr]$. D'après le théorème de Pythagore :

$$ OH^2 = HP^2 - OP^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96 = 23.04 $$

$$ OH = \sqrt{23.04} = 4.8 \ \text{m} $$

Étape 2 : dans le triangle $OH'P'$, rectangle en $O$, d'après le théorème de Pythagore :

$$ OH'^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} OH' = 4 \ \text{m} $$

Étape 3 : le pied a reculé de $3 - 1.4 = 1.6 \ \text{m}$, mais le haut n'est descendu que de $4.8 - 4 = 0.8 \ \text{m}$.

Conclusion : les deux déplacements ne sont pas égaux.

Tom a tort : $0.80 \ \text{m}$ de descente pour $1.60 \ \text{m}$ de recul.
Calculer la distance $OM$ du seau au coin du mur, puis la distance $OM'$ après la glissade. On pourra placer le point $K$ du mur situé à la hauteur de $M$.

Les droites $(KM)$ et $(OP)$ sont perpendiculaires au mur, donc parallèles. Dans le triangle $OHP$, $M$ est le milieu de $\bigl[HP\bigr]$ et $(KM) \parallel (OP)$. D'après le théorème des milieux, $K$ est le milieu de $\bigl[OH\bigr]$ et :

$$ KM = \frac{OP}{2} = \frac{1.4}{2} = 0.7 \ \text{m} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} OK = \frac{OH}{2} = \frac{4.8}{2} = 2.4 \ \text{m} $$

Dans le triangle $OKM$, rectangle en $K$, d'après le théorème de Pythagore :

$$ OM^2 = OK^2 + KM^2 = 2.4^2 + 0.7^2 = 5.76 + 0.49 = 6.25 $$

$$ OM = \sqrt{6.25} = 2.5 \ \text{m} $$

Après la glissade, avec le point $K'$ du mur à la hauteur de $M'$, le même raisonnement donne $K'M' = 1.5 \ \text{m}$ et $OK' = 2 \ \text{m}$ :

$$ OM'^2 = 2^2 + 1.5^2 = 4 + 2.25 = 6.25 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} OM' = 2.5 \ \text{m} $$

$$ OM = OM' = 2.5 \ \text{m} $$
Démontrer que, pendant toute la glissade, le seau reste à la même distance du coin $O$. Quelle ligne décrit-il ?

Étape 1 : Nommer la nature du triangle formé par l'échelle, le mur et le sol, et son hypoténuse.

Étape 2 : Repérer le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

Étape 3 : En déduire la distance du coin $O$ au seau.

Conclure :

Étape 1 : à chaque instant, le haut de l'échelle est sur le mur et son pied sur le sol : le triangle qu'elle forme avec le coin $O$ est rectangle en $O$, et son hypoténuse est l'échelle.

Étape 2 : cette hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit au triangle, de centre le milieu de l'échelle, là où pend le seau.

Étape 3 : le coin $O$ est sur ce cercle, donc sa distance au seau est le rayon :

$$ OM = \frac{5}{2} = 2.5 \ \text{m} $$

Conclusion : le seau reste donc sur le cercle de centre $O$ et de rayon $2.5 \ \text{m}$ :

il décrit un arc de ce cercle, de $M$ à $M'$.

Vérification : au compas, l'arc de centre $O$ qui passe par $M$ passe aussi par $M'$.
Lina accroche une lampe au barreau $Q$, au quart de l'échelle en partant du haut, c'est-à-dire au milieu de $\bigl[HM\bigr]$ ; après la glissade, elle est en $Q'$. Reste-t-elle, elle aussi, à la même distance du coin $O$ ? Trancher.

Étape 1 : Calculer $OQ^2$ avant la glissade, en plaçant le point $L$ du mur à la hauteur de $Q$.

Étape 2 : Calculer $OQ'^2$ après la glissade.

Étape 3 : Comparer ces deux résultats.

Conclure :

Étape 1 : avant la glissade, on place le point $L$ du mur à la hauteur de $Q$. Les droites $(LQ)$ et $(KM)$ sont perpendiculaires au mur, donc parallèles. Dans le triangle $HKM$, $Q$ est le milieu de $\bigl[HM\bigr]$ et $(LQ) \parallel (KM)$. D'après le théorème des milieux, $L$ est le milieu de $\bigl[HK\bigr]$ et :

$$ LQ = \frac{KM}{2} = \frac{0.7}{2} = 0.35 \ \text{m} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} OL = OK + \frac{KH}{2} = 2.4 + 1.2 = 3.6 \ \text{m} $$

Dans le triangle $OLQ$, rectangle en $L$, d'après le théorème de Pythagore :

$$ OQ^2 = 3.6^2 + 0.35^2 = 12.96 + 0.1225 = 13.0825 $$

Étape 2 : après la glissade, le même raisonnement donne $L'Q' = \frac{1.5}{2} = 0.75 \ \text{m}$ et $OL' = 2 + 1 = 3 \ \text{m}$ :

$$ OQ'^2 = 3^2 + 0.75^2 = 9 + 0.5625 = 9.5625 $$

Étape 3 : comme $13.0825 \neq 9.5625$, les distances diffèrent : $OQ \approx 3.62 \ \text{m}$ puis $OQ' \approx 3.09 \ \text{m}$.

Conclusion : la lampe ne reste pas à la même distance du coin.

Lina a tort : sa lampe se rapproche du coin.

Seul le milieu de l'échelle, centre du cercle circonscrit, garde sa distance au coin.