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Indicateurs statistiques

Une série de données se résume en quelques nombres ; encore faut-il choisir les bons pour la décrire.

Deux classes ont \(11\) de moyenne. Dans la première, toutes les notes sont entre \(9\) et \(13\) ; dans la seconde, entre \(2\) et \(19\).

Le professeur qui ne regarde que la moyenne prépare le même cours pour les deux.

La moyenne donne le niveau ; l'étendue et la médiane, la répartition des notes.

La série des exemples :

Taille (m)
1.75
1.76
1.77
1.78
1.79
1.80
1.81
1.82
Effectif
1
2
2
4
3
4
2
1
tailles et effectifs

Lexique du langage statistique

Minimum / maximum

Le minimum d'une série est sa plus petite valeur.

Le maximum d'une série est sa plus grande valeur.

Exemple :

Le minimum est 1.75 m, et le maximum est 1.82 m.

Étendue

L'étendue de la série est la différence entre le maximum et le minimum.

Exemple :

Ici, l'étendue vaut :

$$ 1.82 - 1.75 = 0.07 \ \text{m} $$

Moyenne / médiane

Moyenne (arithmétique)

La moyenne arithmétique vaut le rapport suivant:

$$ \overline{x} = \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre total de valeurs}} $$

Exemple :

Avec notre série :

$$ \overline{x} = \frac{1.75 \times \textcolor{rgb(157 171 234)}{1} + 1.76 \times \textcolor{rgb(157 171 234)}{2} + 1.77 \times \textcolor{rgb(157 171 234)}{2} + 1.78 \times \textcolor{rgb(157 171 234)}{4} + 1.79 \times \textcolor{rgb(157 171 234)}{3} + 1.80 \times \textcolor{rgb(157 171 234)}{4} + 1.81 \times \textcolor{rgb(157 171 234)}{2} + 1.82 \times \textcolor{rgb(157 171 234)}{1}}{\textcolor{rgb(157 171 234)}{1} + \textcolor{rgb(157 171 234)}{2} + \textcolor{rgb(157 171 234)}{2} + \textcolor{rgb(157 171 234)}{4} + \textcolor{rgb(157 171 234)}{3} + \textcolor{rgb(157 171 234)}{4} + \textcolor{rgb(157 171 234)}{2} + \textcolor{rgb(157 171 234)}{1}} $$
$$ \overline{x} \approx 1.79 \ \text{m} $$

La médiane

Pour trouver la médiane \((M)\), on range d'abord les données en ordre croissant, en gardant les répétitions.

$$ X = \Bigl \{ \underbrace{1.75} _\text{1}, \ \underbrace{1.76, \ 1.76} _\text{2}, \ \underbrace{1.77, \ 1.77} _\text{2}, \ \underbrace{1.78, \ 1.78, \ 1.78, \ 1.78} _\text{4}, \ \underbrace{1.79, \ 1.79, \ 1.79} _\text{3}, \ \underbrace{1.80, \ 1.80, \ 1.80, \ 1.80} _\text{4}, \ \underbrace{1.81, \ 1.81} _\text{2}, \ \underbrace{1.82} _\text{1} \Bigr \} $$

  1. Médiane \( : M\)

    La médiane

    La médiane est la valeur centrale d'un jeu de données.

    Avec \(n\) valeurs rangées, si \(n\) est impair, c'est la valeur de rang \(\frac{n+1}{2}\) ; si \(n\) est pair, la moyenne des valeurs de rangs \(\frac{n}{2}\) et \(\frac{n}{2} + 1\).

      Exemples :


    • Si \(n\) est impair :

      Ici :

      $$ (n = 19) \Longrightarrow \frac{n+1}{2} = 10 $$

      On prend la 10 ème valeur :

      $$ X = \Bigl \{ \underbrace{1.75} _\text{1}, \ \underbrace{1.76, \ 1.76} _\text{2}, \ \underbrace{1.77, \ 1.77} _\text{2}, \ \underbrace{1.78, \ 1.78, \ 1.78, \ 1.78} _\text{4}, \ \underbrace{\textcolor{rgb(232 124 124)}{1.79}, \ 1.79, \ 1.79} _\text{3}, \ \underbrace{1.80, \ 1.80, \ 1.80, \ 1.80} _\text{4}, \ \underbrace{1.81, \ 1.81} _\text{2}, \ \underbrace{1.82} _\text{1} \Bigr \} $$
      $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{M = 1.79 \ \text{m}} $$
      Les dix-neuf tailles rangées par ordre croissant : la dixième est au milieu, avec neuf valeurs de chaque côté
      \(M = 1.79\)
      \(9\) valeurs
      \(9\) valeurs
             Les dix-neuf tailles rangées par ordre croissant : la dixième est au milieu, avec neuf valeurs de chaque côté - support à compléter

    • Si \(n\) est pair :

      Sans la dernière valeur :

      $$ (n = 18) \Longrightarrow \frac{n}{2} = 9 \quad \text{et} \quad \frac{n}{2} + 1 = 10 $$

      On prend la moyenne des 9 ème et 10 ème valeurs :

      $$ X = \Bigl \{ \underbrace{1.75} _\text{1}, \ \underbrace{1.76, \ 1.76} _\text{2}, \ \underbrace{1.77, \ 1.77} _\text{2}, \ \underbrace{1.78, \ 1.78, \ 1.78, \ \textcolor{rgb(232 124 124)}{1.78}} _\text{4}, \ \underbrace{\textcolor{rgb(232 124 124)}{1.79}, \ 1.79, \ 1.79} _\text{3}, \ \underbrace{1.80, \ 1.80, \ 1.80, \ 1.80} _\text{4}, \ \underbrace{1.81, \ 1.81} _\text{2} \Bigr \} $$
      $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{M = \frac{1.78 + 1.79}{2}} $$
      $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{M = 1.785 \ \text{m}} $$

      Arrondie au centième :

      $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{M = 1.79 \ \text{m}} $$

Les indicateurs au tableur

Au tableur, les indicateurs se calculent sur la plage des valeurs : 

=MOYENNE(B2:B20)
=MEDIANE(B2:B20)
=MAX(B2:B20)-MIN(B2:B20)

L'étendue n'a pas de fonction.

Pour la médiane, le tableur range les valeurs lui-même.

Avec des effectifs, \(\text{MOYENNE}\) sur la seule colonne des valeurs est fausse : il faut \(\text{SOMMEPROD}\), ou déplier les effectifs.

Ajouter une valeur à une série

La moyenne et la médiane ne réagissent pas pareil à une valeur extrême.

Reprenons sept notes rangées dans l'ordre croissant:

$$ 8 \ ; \ 9 \ ; \ 10 \ ; \ 11 \ ; \ 12 \ ; \ 13 \ ; \ 14 $$

Leur moyenne et leur médiane valent toutes deux \(11\). Ajoutons une note de \(2\) :

Série
Moyenne
Médiane
Étendue
Les sept notes
\(11\)
\(11\)
\(6\)
Avec la note de \(2\)
\(9.875\)
\(10.5\)
\(12\)
Effet d'une note très basse

La moyenne perd plus d'un point, la médiane un demi. L'étendue double : c'est l'indicateur le plus sensible aux valeurs extrêmes.

La moyenne dépend de toutes les valeurs, la médiane seulement de leur rang.

Comparer deux séries

On ne compare pas deux séries sur un seul indicateur.