Problèmes sur les statistiques

Trois indicateurs

Voici les notes obtenues par un élève au cours du trimestre :

1. Calculer la moyenne de cette série.
   $$ \overline{x} = \frac{13 + 8 + 15 + 11 + 14 + 9 + 14}{7} = \frac{84}{7} $$

   $$ \overline{x} = 12 $$
2. Déterminer la médiane, après avoir rangé les notes dans l'ordre croissant.
   $$ 8 \ ; \ 9 \ ; \ 11 \ ; \ \textcolor{rgb(232 124 124)}{13} \ ; \ 14 \ ; \ 14 \ ; \ 15 $$

   Il y a \(7\) notes, un nombre impair : la médiane est la \(4^\text{e}\) valeur, qui laisse trois notes de chaque côté.

   $$ M = 13 $$
3. Calculer l'étendue de cette même série.
   $$ 15 - 8 $$

   $$ \text{étendue} = 7 $$

Une moyenne pondérée

Le tableau donne le nombre de frères et sœurs des élèves d'une classe.

1. Combien d'élèves compte cette classe ?
   $$ 5 + 9 + 7 + 3 + 1 $$

   $$ 25 \ \text{élèves} $$
2. Calculer le nombre moyen de frères et sœurs par élève, arrondi au dixième.

   Chaque valeur compte autant de fois que son effectif :

   $$ \overline{x} = \frac{0 \times 5 + 1 \times 9 + 2 \times 7 + 3 \times 3 + 4 \times 1}{25} = \frac{0 + 9 + 14 + 9 + 4}{25} = \frac{36}{25} = 1.44 $$

   $$ \overline{x} \approx 1.4 $$
3. Déterminer la médiane de cette série, et l'interpréter par une phrase.

   Il y a \(25\) valeurs, un nombre impair : la médiane est la \(13^\text{e}\) valeur rangée. Les \(5\) premières valeurs valent \(0\), les valeurs de la \(6^\text{e}\) à la \(14^\text{e}\) valent \(1\) : la \(13^\text{e}\) vaut donc \(1\).

   $$ M = 1 $$

   Au moins la moitié des élèves de la classe ont au plus un frère ou une sœur.

L'effet d'une valeur extrême

Les salaires mensuels, en euros, d'une petite entreprise de six personnes sont :

1. Calculer la moyenne et la médiane de ces salaires.
   $$ \overline{x} = \frac{1 \ 800 + 1 \ 900 + 2 \ 000 + 2 \ 100 + 2 \ 200 + 2 \ 600}{6} = \frac{12 \ 600}{6} = 2 \ 100 $$

   Les salaires sont déjà rangés. Il y en a \(6\), un nombre pair : la médiane est la moyenne des \(3^\text{e}\) et \(4^\text{e}\) valeurs.

   $$ M = \frac{2 \ 000 + 2 \ 100}{2} = 2 \ 050 $$

   $$ \overline{x} = 2 \ 100 \ \text{€} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} M = 2 \ 050 \ \text{€} $$
2. Le dirigeant, qui gagne \(9 \ 800 \ \text{€}\), rejoint la série. Recalculer la moyenne et la médiane.
   $$ \overline{x} = \frac{12 \ 600 + 9 \ 800}{7} = \frac{22 \ 400}{7} = 3 \ 200 $$

   Il y a maintenant \(7\) salaires, un nombre impair : la médiane est la \(4^\text{e}\) valeur rangée.

   $$ 1 \ 800 \ ; \ 1 \ 900 \ ; \ 2 \ 000 \ ; \ \textcolor{rgb(232 124 124)}{2 \ 100} \ ; \ 2 \ 200 \ ; \ 2 \ 600 \ ; \ 9 \ 800 $$

   $$ \overline{x} = 3 \ 200 \ \text{€} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} M = 2 \ 100 \ \text{€} $$
3. Lequel des deux indicateurs décrit le mieux les salaires de cette entreprise ? Justifier.

   La moyenne a gagné \(1 \ 100 \ \text{€}\) à cause d'un seul salaire, et six salariés sur sept gagnent moins qu'elle. La médiane n'a bougé que de \(50 \ \text{€}\) : c'est elle qui décrit le mieux les salaires, parce qu'elle résiste aux valeurs extrêmes.

La note manquante

Inès a eu cinq notes ce trimestre, et sa moyenne vaut exactement \(12\). Elle se souvient de quatre d'entre elles : \(10\), \(15\), \(9\) et \(13\).

1. Retrouver la cinquième note.

   Une moyenne de \(12\) sur cinq notes veut dire que la somme des cinq notes vaut :

   $$ 12 \times 5 = 60 $$

   Les quatre notes connues font \(10 + 15 + 9 + 13 = 47\). Il manque donc :

   $$ 60 - 47 $$

   $$ 13 $$
2. Un sixième contrôle arrive. Quelle note Inès doit-elle obtenir pour que la moyenne de ses six notes soit \(13\) ?

   Sur six notes, une moyenne de \(13\) demande une somme de \(13 \times 6 = 78\). Ses cinq premières notes font déjà \(60\) :

   $$ 78 - 60 $$

   $$ 18 $$
3. Avec ce même sixième contrôle, Inès peut-elle atteindre une moyenne de \(14\) ? Justifier.

   Il faudrait une somme de \(14 \times 6 = 84\), donc une sixième note de :

   $$ 84 - 60 = 24 $$

   Une note sur \(20\) ne peut pas valoir \(24\) :

   $$ \text{c'est impossible} $$

Quelle joueuse pour la finale ?

Un entraîneur de basket doit choisir entre deux joueuses pour la finale. Voici les points qu'elles ont marqués lors des sept derniers matchs.

1. Calculer la moyenne de points de chaque joueuse. Que remarque-t-on ?
   $$ \text{Alice} : \frac{11 + 12 + 13 + 14 + 14 + 15 + 12}{7} = \frac{91}{7} = 13 $$

   $$ \text{Bérénice} : \frac{4 + 20 + 6 + 21 + 18 + 19 + 3}{7} = \frac{91}{7} = 13 $$

   $$ 13 \ \text{points chacune} $$

   Les deux moyennes sont égales : la moyenne seule ne permet pas de choisir.

2. Déterminer la médiane et l'étendue de chacune des deux séries.

   On range chaque série ; avec \(7\) valeurs, la médiane est la \(4^\text{e}\).

   $$ \text{Alice} : 11 \ ; \ 12 \ ; \ 12 \ ; \ \textcolor{rgb(232 124 124)}{13} \ ; \ 14 \ ; \ 14 \ ; \ 15 $$

   $$ \text{Bérénice} : 3 \ ; \ 4 \ ; \ 6 \ ; \ \textcolor{rgb(232 124 124)}{18} \ ; \ 19 \ ; \ 20 \ ; \ 21 $$

   $$ \text{Alice} : M = 13, \quad \text{étendue} = 15 - 11 = 4 $$

   $$ \text{Bérénice} : M = 18, \quad \text{étendue} = 21 - 3 = 18 $$
3. L'entraîneur hésite. Trancher : quelle joueuse choisir s'il veut une joueuse régulière ? et s'il veut celle qui atteint le plus souvent \(18\) points ? Justifier chaque choix par un indicateur.

   Pour la régularité, c'est l'étendue qui renseigne : celle d'Alice vaut \(4\), celle de Bérénice \(18\). Alice marque toujours entre \(11\) et \(15\) points : l'entraîneur choisit Alice.

   La médiane de Bérénice vaut \(18\) : elle a marqué \(18\) points ou plus dans au moins la moitié des matchs, quatre sur sept. Alice n'a jamais atteint \(18\) points : pour ce second critère, l'entraîneur choisit Bérénice.

La feuille de marque tachée

Au tir à l'arc, chaque flèche rapporte de \(1\) à \(10\) points, et la feuille de marque inscrit les six flèches d'une volée de la plus forte à la plus faible. Sur celle de Lina, une tache cache quatre flèches, notées \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\).

1. Calculer la moyenne de la volée, puis la somme \(a + b + c + d\).
   $$ \overline{x} = \frac{48}{6} = 8 $$

   Les deux flèches visibles font \(10 + 5 = 15\) points ; les quatre autres font le reste :

   $$ a + b + c + d = 48 - 15 $$

   $$ \overline{x} = 8 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} a + b + c + d = 33 $$
2. L'entraîneur se souvient que la médiane de la volée valait \(8\). En déduire \(b + c\), puis \(a + d\).

   Avec six flèches, la médiane est la moyenne de la \(3^\text{e}\) et de la \(4^\text{e}\) valeur, que la série soit rangée dans l'ordre croissant ou décroissant. Ici, ce sont \(b\) et \(c\) :

   $$ \frac{b + c}{2} = 8 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} b + c = 16 $$

   $$ a + d = 33 - 16 $$

   $$ b + c = 16 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} a + d = 17 $$
3. Trouver toutes les volées possibles et prouver qu'il n'y en a pas d'autre, en complétant le tableau : chaque ligne essaie un couple \((b \ ; \ c)\), chaque colonne un couple \((a \ ; \ d)\). Une case ne donne une volée que si les six flèches restent rangées.

   	\((10 \ ; \ 7)\)	\((\ldots \ ; \ \ldots)\)
   \((8 \ ; \ 8)\)	\(10 \ ; \ 10 \ ; \ 8 \ ; \ 8 \ ; \ 7 \ ; \ 5\)
   \((\ldots \ ; \ \ldots)\)
   \((\ldots \ ; \ \ldots)\)

   Lina ajoute : « Trois de mes flèches étaient dans le jaune », la zone qui rapporte \(9\) ou \(10\) points. Retrouver sa volée.

   Comme \(b \geqslant c\) et \(b + c = 16\), \(b\) vaut au moins \(8\) ; il vaut au plus \(10\) :

   $$ (b \ ; \ c) = (8 \ ; \ 8) \quad \text{ou} \quad (9 \ ; \ 7) \quad \text{ou} \quad (10 \ ; \ 6) $$

   Comme \(a \leqslant 10\) et \(a + d = 17\), \(d\) vaut au moins \(7\) ; comme \(d \leqslant a\), \(d\) vaut au plus \(8.5\), donc au plus \(8\) :

   $$ (a \ ; \ d) = (10 \ ; \ 7) \quad \text{ou} \quad (9 \ ; \ 8) $$

   Il reste à vérifier, case par case, que \(a \geqslant b\) et \(c \geqslant d\) :

   	\((10 \ ; \ 7)\)	\((9 \ ; \ 8)\)
   \((8 \ ; \ 8)\)	\(10 \ ; \ 10 \ ; \ 8 \ ; \ 8 \ ; \ 7 \ ; \ 5\)	\(10 \ ; \ 9 \ ; \ 8 \ ; \ 8 \ ; \ 8 \ ; \ 5\)
   \((9 \ ; \ 7)\)	\(10 \ ; \ 10 \ ; \ 9 \ ; \ 7 \ ; \ 7 \ ; \ 5\)	non : \(d = 8\) dépasse \(c = 7\)
   \((10 \ ; \ 6)\)	non : \(d = 7\) dépasse \(c = 6\)	non : \(a = 9\) est inférieur à \(b = 10\)

   Le tableau essaie tous les couples possibles : il n'y a pas d'autre volée.

   $$ 3 \ \text{volées possibles} $$

   Les deux premières n'ont que deux flèches dans le jaune ; la troisième en a trois, \(10\), \(10\) et \(9\) :

   $$ 10 \ ; \ 10 \ ; \ 9 \ ; \ 7 \ ; \ 7 \ ; \ 5 $$

   Vérification : \(10 + 10 + 9 + 7 + 7 + 5 = 48\), et \(\frac{9 + 7}{2} = 8\).

4. On change de volée : Hugo a lui aussi totalisé \(48\) points, avec \(10\) pour sa plus forte flèche et \(5\) pour sa plus faible. Il annonce une médiane de \(7.5\). Prouver qu'il se trompe, et même qu'une telle volée a toujours une médiane d'au moins \(8\).

   On note encore \(a \geqslant b \geqslant c \geqslant d\) les quatre flèches du milieu : elles totalisent \(48 - 10 - 5 = 33\) points. Supposons la médiane inférieure à \(8\) : alors \(b + c < 16\), et comme ce sont des nombres entiers, \(b + c \leqslant 15\).

   Comme \(c \leqslant b\), on a \(2c \leqslant b + c \leqslant 15\) : \(c\) vaut au plus \(7.5\), donc au plus \(7\), et \(d \leqslant c \leqslant 7\). Avec \(a \leqslant 10\) :

   $$ a + b + c + d \leqslant 10 + 15 + 7 = 32 $$

   C'est moins que les \(33\) points à atteindre : une médiane inférieure à \(8\) est impossible, et celle de \(7.5\) annoncée par Hugo aussi.

   $$ M \geqslant 8 $$

   La borne est atteinte : les trois volées possibles de Lina ont une médiane de \(8\) exactement.

Les avis de la crêperie

Sur une application, une crêperie a reçu \(40\) avis, notés de \(1\) à \(5\) étoiles. Le diagramme donne le nombre d'avis pour chaque note.

1. Calculer la note moyenne et la note médiane de la crêperie.

   Chaque note compte autant de fois que son nombre d'avis :

   $$ \overline{x} = \frac{5 \times 12 + 4 \times 23 + 3 \times 3 + 2 \times 1 + 1 \times 1}{40} = \frac{60 + 92 + 9 + 2 + 1}{40} = \frac{164}{40} $$

   Dans l'ordre croissant, les avis à \(1\), à \(2\) et à \(3\) étoiles occupent les rangs \(1\) à \(5\), ceux à \(4\) étoiles les rangs \(6\) à \(28\). Avec \(40\) avis, la médiane est la moyenne des \(20^\text{e}\) et \(21^\text{e}\) valeurs, qui valent toutes deux \(4\).

   $$ \overline{x} = 4.1 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} M = 4 $$
2. Un concurrent publie de faux avis à \(1\) étoile. Combien lui en faut-il, au minimum, pour que la moyenne de la crêperie passe sous \(4\) ? Et avec de faux avis à \(3\) étoiles, plus discrets ?

   Avec \(40\) avis, une moyenne de \(4\) demande \(4 \times 40 = 160\) étoiles : la crêperie en a \(164\), soit \(4\) étoiles d'avance.

   Faux avis à \(1\) étoile : chaque faux avis apporte \(1\) étoile, alors qu'une moyenne de \(4\) en demande \(4\) de plus. L'avance fond de \(3\) étoiles par faux avis :

   $$ 4 - 3 = 1 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 1 - 3 = -2 $$

   Après un faux avis, il reste de l'avance : \(\frac{165}{41} \approx 4.02\). Après deux, il n'en reste plus : \(\frac{166}{42} \approx 3.95\).

   $$ 2 \ \text{faux avis} $$

   Faux avis à \(3\) étoiles : l'avance ne fond plus que d'une étoile par faux avis. Après quatre, elle est nulle et la moyenne vaut exactement \(\frac{176}{44} = 4\) : il en faut un cinquième.

   $$ 5 \ \text{faux avis} $$

   Vérification : \(\frac{179}{45} \approx 3.98\).

3. L'application décide d'afficher la médiane plutôt que la moyenne. Combien faut-il alors de faux avis à \(3\) étoiles ou moins, au minimum, pour faire passer la médiane sous \(4\) ? Prouver qu'un de moins ne suffit pas, puis trancher : quel indicateur protège le mieux la crêperie ?

   La crêperie compte \(12 + 23 = 35\) avis à \(4\) ou \(5\) étoiles, et \(5\) avis à \(3\) étoiles ou moins. Avec \(k\) faux avis, il y a \(40 + k\) avis, dont \(5 + k\) à \(3\) étoiles ou moins : dans l'ordre croissant, ce sont eux qui passent en tête.

   Tant que \(k\) est inférieur à \(30\) : \(5 + k\) reste inférieur à \(35\), donc les avis à \(4\) ou \(5\) étoiles sont les plus nombreux et forment plus de la moitié de la série. La valeur du milieu, ou les deux valeurs du milieu, en font partie : la médiane vaut au moins \(4\).

   Avec \(k = 30\) : sur \(70\) avis, \(35\) sont à \(3\) étoiles ou moins, exactement la moitié. La médiane est la moyenne de la \(35^\text{e}\) valeur, qui vaut au plus \(3\), et de la \(36^\text{e}\), qui vaut \(4\) :

   $$ M \leqslant \frac{3 + 4}{2} = 3.5 $$

   $$ 30 \ \text{faux avis} $$

   Deux faux avis à \(1\) étoile suffisent contre la moyenne, il en faut trente contre la médiane : c'est la médiane qui protège le mieux la crêperie. Elle ne dépend que du rang des avis, et un avis à \(1\) étoile n'y pèse pas plus qu'un avis à \(3\) étoiles.