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Les casse-tête du hasard

Des sacs, un loto, une bataille navale et un coffre : quatre casse-tête de probabilités, sans calculatrice.

Le sac mystère

Chaque sac contient des boules rouges \((\mathrm{R})\), bleues \((\mathrm{B})\) et vertes \((\mathrm{V})\), indiscernables au toucher, et l'on y tire une boule au hasard. Un seul des douze sacs vérifie les quatre indices écrits sous la figure : c'est le sac mystère.

Douze sacs numérotés de 1 à 12, chacun rempli de boules rouges, bleues et vertes : sac 1 : 2 rouges, 3 bleues, 4 vertes ; sac 2 : 5 rouges, 2 bleues, 2 vertes ; sac 3 : 2 rouges, 4 bleues, 0 vertes ; sac 4 : 1 rouges, 6 bleues, 2 vertes ; sac 5 : 5 rouges, 4 bleues, 3 vertes ; sac 6 : 7 rouges, 2 bleues, 3 vertes ; sac 7 : 2 rouges, 2 bleues, 4 vertes ; sac 8 : 4 rouges, 2 bleues, 0 vertes ; sac 9 : 3 rouges, 4 bleues, 5 vertes ; sac 10 : 3 rouges, 5 bleues, 2 vertes ; sac 11 : 4 rouges, 1 bleues, 2 vertes ; sac 12 : 3 rouges, 6 bleues, 0 vertes Sac 1 V V B R B R V V B Sac 2 R V R B V R R B R Sac 3 B R B R B B Sac 4 B B V B V B B B R Sac 5 R B B B V R R R R V B V Sac 6 R R R R R R V V B R B V Sac 7 B R R V V V V B Sac 8 B B R R R R Sac 9 R B B V V R V R V V B B Sac 10 B R B R R B V V B B Sac 11 B V R R R R V Sac 12 R R B R B B B B B
  1. Barrer les sacs qu'élimine chaque indice, en écrivant le numéro de l’indice dans leur pastille, puis entourer le sac mystère.

    Indice 1 : les sacs \(3\), \(8\) et \(12\) n'ont aucune boule verte. Y tirer une boule verte est impossible : ils sont éliminés.

    Indice 2 : la probabilité de tirer une boule rouge est inférieure à \(\frac{1}{2}\) quand les rouges font moins de la moitié du sac.

    $$ \text{sac } 1 : \frac{2}{9} \lt \frac{1}{2} \quad \text{sac } 2 : \frac{5}{9} \gt \frac{1}{2} \quad \text{sac } 4 : \frac{1}{9} \lt \frac{1}{2} $$
    $$ \text{sac } 5 : \frac{5}{12} \lt \frac{1}{2} \quad \text{sac } 6 : \frac{7}{12} \gt \frac{1}{2} \quad \text{sac } 7 : \frac{2}{8} \lt \frac{1}{2} $$
    $$ \text{sac } 9 : \frac{3}{12} \lt \frac{1}{2} \quad \text{sac } 10 : \frac{3}{10} \lt \frac{1}{2} \quad \text{sac } 11 : \frac{4}{7} \gt \frac{1}{2} $$

    Les sacs \(2\), \(6\) et \(11\) sont éliminés : par exemple \(\frac{7}{12} \gt \frac{6}{12}\).

    Indice 3 : ne pas tirer une boule bleue, c'est tirer une rouge ou une verte.

    $$ \text{sac } 1 : \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \quad \text{sac } 4 : \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \quad \text{sac } 5 : \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $$
    $$ \text{sac } 7 : \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \quad \text{sac } 9 : \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \quad \text{sac } 10 : \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $$

    Les sacs \(4\), \(7\) et \(10\) sont éliminés.

    Indice 4 :

    $$ \text{sac } 1 : \frac{4}{9} \quad \text{sac } 5 : \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \quad \text{sac } 9 : \frac{5}{12} $$

    Les sacs \(1\) et \(9\) sont éliminés.

    Les sacs éliminés sont barrés, avec le numéro de l'indice qui les élimine : l'indice 1 élimine les sacs 3, 8 et 12, l'indice 2 les sacs 2, 6 et 11, l'indice 3 les sacs 4, 7 et 10, l'indice 4 les sacs 1 et 9 ; le sac 5 reste seul Sac 1 V V B R B R V V B 4 Sac 2 R V R B V R R B R 2 Sac 3 B R B R B B 1 Sac 4 B B V B V B B B R 3 Sac 5 R B B B V R R R R V B V Sac 6 R R R R R R V V B R B V 2 Sac 7 B R R V V V V B 3 Sac 8 B B R R R R 1 Sac 9 R B B V V R V R V V B B 4 Sac 10 B R B R R B V V B B 3 Sac 11 B V R R R R V 2 Sac 12 R R B R B B B B B 1
    $$ \text{le sac mystère est le sac } 5 $$
  2. Dans le sac \(4\), la probabilité de tirer une boule bleue vaut \(\frac{2}{3}\). Expliquer pourquoi ce sac ne vérifie pas l'indice \(3\).

    Le sac \(4\) contient \(9\) boules, dont \(6\) bleues : \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3}\) est la probabilité de tirer une boule bleue.

    Ne pas tirer une boule bleue est l'évènement contraire :

    $$ 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $$

    Sa probabilité vaut \(\frac{1}{3}\), et non \(\frac{2}{3}\) : le sac \(4\) ne vérifie pas l'indice \(3\).

  3. Calculer, pour le sac mystère, la probabilité de tirer chaque couleur, puis vérifier que leur somme vaut \(1\).

    Le sac \(5\) contient \(5 + 4 + 3 = 12\) boules :

    $$ P(\text{rouge}) = \frac{5}{12} \quad P(\text{bleue}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \quad P(\text{verte}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $$
    $$ \frac{5}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{12}{12} = 1 $$

Le loto des évènements

Le boulier d'un loto contient vingt boules numérotées de \(1\) à \(20\), et l'on en tire une au hasard. On note \(A\) l'évènement « le numéro est pair », \(B\) l'évènement « le numéro est un multiple de \(3\) » et \(C\) l'évènement « le numéro est supérieur ou égal à \(17\) ».

Chaque boule de jeu porte un évènement, dont la probabilité irréductible figure une fois et une seule sur le carton.

En haut, le boulier : vingt boules numérotées de 1 à 20. Dessous, douze boules de jeu, chacune avec une case vide dessous : 1 : A ; 2 : B ; 3 : C ; 4 : contraire de B ; 5 : contraire de C ; 6 : A inter B ; 7 : A union B ; 8 : A inter C ; 9 : A union C ; 10 : B inter C ; 11 : B union C ; 12 : A inter contraire de C. À droite, le carton de douze cases : 2 sur 5, 1 sur 5, 3 sur 5, 9 sur 20, 3 sur 20, 1 sur 2, 1 sur 20, 1 sur 10, 13 sur 20, 3 sur 10, 4 sur 5, 7 sur 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1
$$ A $$
 2
$$ B $$
 3
$$ C $$
 4
$$ \overline{B} $$
 5
$$ \overline{C} $$
 6
$$ A \cap B $$
 7
$$ A \cup B $$
 8
$$ A \cap C $$
 9
$$ A \cup C $$
 10
$$ B \cap C $$
 11
$$ B \cup C $$
 12
$$ A \cap \overline{C} $$
 Carton
$$ \frac{2}{5} $$
$$ \frac{1}{5} $$
$$ \frac{3}{5} $$
$$ \frac{9}{20} $$
$$ \frac{3}{20} $$
$$ \frac{1}{2} $$
$$ \frac{1}{20} $$
$$ \frac{1}{10} $$
$$ \frac{13}{20} $$
$$ \frac{3}{10} $$
$$ \frac{4}{5} $$
$$ \frac{7}{10} $$
  1. Calculer la probabilité de chaque boule de jeu, l'écrire sous la boule, puis la barrer sur le carton, qui doit finir plein.

    Les vingt numéros ont la même chance d'être tirés : une probabilité est le nombre de numéros favorables divisé par \(20\).

    Il y a \(10\) numéros pairs, et :

    $$ B = \{3 \ ; \ 6 \ ; \ 9 \ ; \ 12 \ ; \ 15 \ ; \ 18\} \quad C = \{17 \ ; \ 18 \ ; \ 19 \ ; \ 20\} $$
    $$ P(A) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \quad P(B) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \quad P(C) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} $$

    Le contraire d'un évènement regroupe les autres numéros :

    $$ P\left(\overline{B}\right) = \frac{14}{20} = \frac{7}{10} \quad P\left(\overline{C}\right) = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} $$

    L'intersection garde les numéros communs :

    $$ A \cap B = \{6 \ ; \ 12 \ ; \ 18\} \quad P(A \cap B) = \frac{3}{20} $$
    $$ A \cap C = \{18 \ ; \ 20\} \quad P(A \cap C) = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} $$
    $$ B \cap C = \{18\} \quad P(B \cap C) = \frac{1}{20} $$
    $$ A \cap \overline{C} = \{2 \ ; \ 4 \ ; \ 6 \ ; \ 8 \ ; \ 10 \ ; \ 12 \ ; \ 14 \ ; \ 16\} $$
    $$ P\left(A \cap \overline{C}\right) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} $$

    La réunion garde les numéros de l'un ou de l'autre, sans écrire deux fois les numéros communs. \(A \cup B\) compte les \(10\) pairs et les multiples de \(3\) impairs, \(3\), \(9\) et \(15\) ; \(A \cup C\) compte les \(10\) pairs, \(17\) et \(19\) :

    $$ P(A \cup B) = \frac{13}{20} \quad P(A \cup C) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} $$
    $$ B \cup C = \{3 \ ; \ 6 \ ; \ 9 \ ; \ 12 \ ; \ 15 \ ; \ 17 \ ; \ 18 \ ; \ 19 \ ; \ 20\} $$
    $$ P(B \cup C) = \frac{9}{20} $$

    Les douze probabilités sont toutes différentes, et chacune est sur le carton : il est plein.

    Le loto corrigé : sous chaque boule de jeu, sa probabilité ; boule 1 : 1 sur 2, boule 2 : 3 sur 10, boule 3 : 1 sur 5, boule 4 : 7 sur 10, boule 5 : 4 sur 5, boule 6 : 3 sur 20, boule 7 : 13 sur 20, boule 8 : 1 sur 10, boule 9 : 3 sur 5, boule 10 : 1 sur 20, boule 11 : 9 sur 20, boule 12 : 2 sur 5. Les douze cases du carton sont barrées, chacune une fois 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1
    $$ A $$
    $$ \frac{1}{2} $$
     2
    $$ B $$
    $$ \frac{3}{10} $$
     3
    $$ C $$
    $$ \frac{1}{5} $$
     4
    $$ \overline{B} $$
    $$ \frac{7}{10} $$
     5
    $$ \overline{C} $$
    $$ \frac{4}{5} $$
     6
    $$ A \cap B $$
    $$ \frac{3}{20} $$
     7
    $$ A \cup B $$
    $$ \frac{13}{20} $$
     8
    $$ A \cap C $$
    $$ \frac{1}{10} $$
     9
    $$ A \cup C $$
    $$ \frac{3}{5} $$
     10
    $$ B \cap C $$
    $$ \frac{1}{20} $$
     11
    $$ B \cup C $$
    $$ \frac{9}{20} $$
     12
    $$ A \cap \overline{C} $$
    $$ \frac{2}{5} $$
     Carton
    $$ \frac{2}{5} $$
     12
    $$ \frac{1}{5} $$
     3
    $$ \frac{3}{5} $$
     9
    $$ \frac{9}{20} $$
     11
    $$ \frac{3}{20} $$
     6
    $$ \frac{1}{2} $$
     1
    $$ \frac{1}{20} $$
     10
    $$ \frac{1}{10} $$
     8
    $$ \frac{13}{20} $$
     7
    $$ \frac{3}{10} $$
     2
    $$ \frac{4}{5} $$
     5
    $$ \frac{7}{10} $$
     4
  2. Les boules \(2\) et \(4\) sont contraires : vérifier que leurs probabilités ont pour somme \(1\), puis trouver une autre paire.
    $$ P(B) + P\left(\overline{B}\right) = \frac{3}{10} + \frac{7}{10} = 1 $$

    Les boules \(3\) et \(5\) portent \(C\) et \(\overline{C}\) :

    $$ P(C) + P\left(\overline{C}\right) = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1 $$
  3. Trouver le seul numéro du boulier qui réalise à la fois \(A\), \(B\) et \(C\).

    Les numéros pairs et multiples de \(3\) sont \(6\), \(12\) et \(18\) ; seul \(18\) est supérieur ou égal à \(17\).

    $$ 18 $$

La bataille navale aux deux dés

Pour tirer sur la grille, on lance un dé rouge et un dé bleu, équilibrés : le dé rouge donne la colonne, le dé bleu la ligne. Chaque case est une issue, et les \(36\) cases ont la même chance d'être visées.

La flotte est cachée ; ses navires sont droits et ne se touchent pas, même par un coin. Sous chaque colonne, la probabilité que le dé rouge donne ce nombre et que le tir touche un navire ; à droite de chaque ligne, la même pour le dé bleu.

Une grille de six colonnes, numérotées de 1 à 6 par le dé rouge, et de six lignes, numérotées de 1 à 6 par le dé bleu. Sous les colonnes, les probabilités : 1 sur 9, 0, 1 sur 12, 1 sur 18, 0, 0 ; à droite des lignes : 1 sur 36, 1 sur 12, 1 sur 36, 1 sur 18, 1 sur 36, 1 sur 36. Une case vide attend chaque nombre de cases. À droite, la flotte : un croiseur de trois cases, deux torpilleurs de deux cases, deux sous-marins d'une case dé rouge dé bleu 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
$$ \frac{1}{9} $$
$$ 0 $$
$$ \frac{1}{12} $$
$$ \frac{1}{18} $$
$$ 0 $$
$$ 0 $$
 cases
$$ \frac{1}{36} $$
$$ \frac{1}{12} $$
$$ \frac{1}{36} $$
$$ \frac{1}{18} $$
$$ \frac{1}{36} $$
$$ \frac{1}{36} $$
 cases La flotte un croiseur deux torpilleurs deux sous-marins
  1. Écrire dans la case sous chaque probabilité le nombre de cases touchées qu'elle donne, puis placer la flotte sur la grille.

    Une case a une chance sur \(36\) d'être visée : on écrit chaque probabilité en trente-sixièmes.

    $$ \frac{1}{9} = \frac{4}{36} \quad \frac{1}{12} = \frac{3}{36} \quad \frac{1}{18} = \frac{2}{36} \quad \frac{1}{36} $$

    Les colonnes \(2\), \(5\) et \(6\), de probabilité \(0\), ne portent aucun navire. La ligne \(2\) compte alors \(3\) cases touchées parmi les colonnes \(1\), \(3\) et \(4\) : elles le sont toutes les trois.

    Les cases qui touchent celles-ci par un coin sont de l'eau : les lignes \(1\) et \(3\) n'ont plus que la colonne \(1\). La colonne \(1\) porte donc le croiseur, des lignes \(1\) à \(3\), et la ligne \(2\) un torpilleur en colonnes \(3\) et \(4\).

    Sous le croiseur, la case de la colonne \(1\), ligne \(4\), est de l'eau : les \(2\) cases de la ligne \(4\) sont en colonnes \(3\) et \(4\), le second torpilleur.

    Il manque une case à la colonne \(1\) et une à la colonne \(3\), en lignes \(5\) et \(6\). Celle de la colonne \(3\), ligne \(5\), toucherait le torpilleur : les sous-marins sont en colonne \(1\), ligne \(5\), et en colonne \(3\), ligne \(6\).

    La flotte placée : le croiseur en colonne 1, lignes 1 à 3 ; un torpilleur en ligne 2, colonnes 3 et 4 ; l'autre en ligne 4, colonnes 3 et 4 ; un sous-marin en colonne 1, ligne 5 ; l'autre en colonne 3, ligne 6. Sous les colonnes, 4, 0, 3, 2, 0 et 0 cases ; à droite des lignes, 1, 3, 1, 2, 1 et 1 dé rouge dé bleu 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
    $$ \frac{1}{9} $$
     4
    $$ 0 $$
     0
    $$ \frac{1}{12} $$
     3
    $$ \frac{1}{18} $$
     2
    $$ 0 $$
     0
    $$ 0 $$
     0 cases
    $$ \frac{1}{36} $$
     1
    $$ \frac{1}{12} $$
     3
    $$ \frac{1}{36} $$
     1
    $$ \frac{1}{18} $$
     2
    $$ \frac{1}{36} $$
     1
    $$ \frac{1}{36} $$
     1 cases La flotte un croiseur deux torpilleurs deux sous-marins
  2. Additionner les six probabilités du bas, puis les six de droite. Que représente le résultat ? En déduire la probabilité que le tir tombe à l'eau.
    $$ \frac{4}{36} + 0 + \frac{3}{36} + \frac{2}{36} + 0 + 0 = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} $$
    $$ \frac{1}{36} + \frac{3}{36} + \frac{1}{36} + \frac{2}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} $$

    Les deux sommes comptent les \(9\) cases de la flotte : c'est la probabilité que le tir touche un navire. Tomber à l'eau est l'évènement contraire :

    $$ 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$
  3. Calculer la probabilité que le tir touche le croiseur, puis celle qu'il touche un navire avec un double.
    $$ P(\text{croiseur}) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} $$

    Les doubles sont les six cases de la diagonale, de \((1 \ ; \ 1)\) à \((6 \ ; \ 6)\). Deux portent un navire : \((1 \ ; \ 1)\), sur le croiseur, et \((4 \ ; \ 4)\), sur un torpilleur.

    $$ P(\text{double et touché}) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} $$

Le coffre du forain

Le gros lot d'un forain est enfermé dans un coffre à trois cadenas.

Le code de chaque cadenas donne la composition d'un objet, urne, roue ou sac, qu'il faut reconstituer à partir de probabilités.

Un code est juste quand l'objet reconstitué donne bien la probabilité affichée par le voyant du cadenas.

  1. L'urne du cadenas 1 contient \(6\) boules vertes et des boules rouges et bleues. On tire une boule au hasard, et l'on note \(R\), \(B\) et \(V\) les évènements « la boule est rouge », « bleue », « verte ». On sait que :$$ \begin{cases} P(V) = \frac{2}{5} \\ P\left(\overline{R}\right) = \frac{2}{3} \end{cases} $$Dessiner les boules rouges et bleues dans les places de l'urne, puis écrire le code du cadenas 1.

    À gauche, une urne de vingt places : six portent une boule verte, les quatorze autres sont vides, en pointillés. À droite, le cadenas 1 : trois cases de code, R, B et V ; son voyant affiche : probabilité de B égale 4 sur 15 V V V V V V Cadenas 1 R B V
    $$ P(B) = \frac{4}{15} $$

    Les \(6\) boules vertes font les \(\frac{2}{5}\) de l'urne : un cinquième de l'urne compte \(6 \div 2 = 3\) boules, et l'urne en compte \(5 \times 3 = 15\).

    $$ P\left(\overline{R}\right) = \frac{2}{3} = \frac{10}{15} $$

    \(10\) boules ne sont pas rouges : \(15 - 10 = 5\) rouges, et \(10 - 6 = 4\) bleues.

    Le voyant : \(4\) bleues sur \(15\), soit \(P(B) = \frac{4}{15}\). Le code est juste.

    $$ \text{code} : 5 \ ; \ 4 \ ; \ 6 $$
    L'urne complétée : six boules vertes, cinq rouges et quatre bleues ; cinq places restent vides. Le code du cadenas 1 : 5, 4, 6 R B V V B R V B R V B R V R V Cadenas 1 R 5 B 4 V 6
    $$ P(B) = \frac{4}{15} $$

  2. La roue du cadenas 2 compte \(12\) secteurs égaux, rouges, bleus, verts ou blancs, avec autant de blancs que de verts. La flèche s'arrête au hasard sur l'un d'eux, et l'on sait que :$$ \begin{cases} P(\text{non bleu}) = \frac{3}{4} \\ P(\text{rouge ou blanc}) = \frac{7}{12} \end{cases} $$Colorier la roue, puis écrire le code du cadenas 2.

    À gauche, une roue de douze secteurs égaux, tous blancs, et une flèche à droite. À droite, le cadenas 2 : quatre cases de code, R, B, V et blanc ; son voyant affiche : probabilité de rouge ou bleu égale 2 sur 3 Cadenas 2 R B V blanc
    $$ P(\text{rouge ou bleu}) = \frac{2}{3} $$
    $$ P(\text{non bleu}) = \frac{3}{4} = \frac{9}{12} $$

    \(9\) secteurs ne sont pas bleus : la roue compte \(3\) secteurs bleus. Les rouges et les blancs font \(7\) secteurs, il reste \(12 - 3 - 7 = 2\) secteurs verts.

    Autant de blancs que de verts : \(2\) blancs, puis \(7 - 2 = 5\) rouges.

    $$ P(\text{rouge ou bleu}) = \frac{5 + 3}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $$

    Le voyant s'allume : le code est juste.

    $$ \text{code} : 5 \ ; \ 3 \ ; \ 2 \ ; \ 2 $$
    La roue complétée : cinq secteurs rouges, trois bleus, deux verts et deux blancs. Le code du cadenas 2 : 5, 3, 2, 2 R B R V R B R blanc R V B blanc Cadenas 2 R 5 B 3 V 2 blanc 2
    $$ P(\text{rouge ou bleu}) = \frac{2}{3} $$
  3. Le sac 1 du cadenas 3 contient deux boules rouges et une bleue, le sac 2 quatre boules rouges ou bleues. On tire au hasard une boule dans chaque sac, et la probabilité de tirer deux boules de la même couleur doit valoir \(\frac{7}{12}\). Compléter le tableau des issues, puis trouver la couleur des boules du sac 2 et écrire le code du cadenas 3.
    À gauche, un tableau vide : en ligne les trois boules du sac 1, rouge, rouge et bleue ; en colonne les quatre boules du sac 2, en pointillés, à colorier. À droite, le cadenas 3 : deux cases de code, R et B ; son voyant affiche : probabilité de deux rouges égale 1 sur 2 Cadenas 3 R B
    $$ P(\text{deux rouges}) = \frac{1}{2} $$
     sac 2 sac 1 R R B

    On tire une boule parmi \(3\), puis une parmi \(4\) : le tableau compte \(3 \times 4 = 12\) issues, qui ont la même chance.

    Il faut donc \(7\) issues de même couleur. Chaque boule rouge du sac 2 en donne deux, avec les deux rouges du sac 1 ; chaque boule bleue en donne une, avec la bleue du sac 1.

    $$ 3 \ \text{rouges et} \ 1 \ \text{bleue} : 2 \times 3 + 1 = 7 $$

    Avec \(2\) rouges, on n'en aurait que \(2 \times 2 + 2 = 6\), et avec \(4\) rouges, \(8\).

    $$ P(\text{deux rouges}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$

    Le voyant s'allume : le code est juste.

    $$ \text{code} : 3 \ ; \ 1 $$
    Le sac 2 complété : trois boules rouges et une bleue ; le code du cadenas 3 : 3, 1. Le tableau donne les douze issues ; les sept de même couleur sont coloriées : six fois deux rouges, une fois deux bleues Cadenas 3 R 3 B 1
    $$ P(\text{deux rouges}) = \frac{1}{2} $$
     sac 2 R R R B sac 1 R
    $$ \mathrm{R} \ ; \ \mathrm{R} $$
    $$ \mathrm{R} \ ; \ \mathrm{R} $$
    $$ \mathrm{R} \ ; \ \mathrm{R} $$
    $$ \mathrm{R} \ ; \ \mathrm{B} $$
     R
    $$ \mathrm{R} \ ; \ \mathrm{R} $$
    $$ \mathrm{R} \ ; \ \mathrm{R} $$
    $$ \mathrm{R} \ ; \ \mathrm{R} $$
    $$ \mathrm{R} \ ; \ \mathrm{B} $$
     B
    $$ \mathrm{B} \ ; \ \mathrm{R} $$
    $$ \mathrm{B} \ ; \ \mathrm{R} $$
    $$ \mathrm{B} \ ; \ \mathrm{R} $$
    $$ \mathrm{B} \ ; \ \mathrm{B} $$