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On ne sait pas ce que donnera le dé, mais on peut dire quelles chances a chaque résultat.
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Décrire une expérience aléatoire, ses issues et ses évènements
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Former le contraire, la réunion et l'intersection d'évènements
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Calculer la probabilité d'un évènement et de son contraire
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Dénombrer les issues d'une expérience à deux épreuves avec un tableau
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Relier la fréquence observée à la probabilité
On lance deux pièces. On croit souvent à trois résultats : deux piles, deux faces, ou une de chaque. Il y en a quatre : « une de chaque » arrive de deux façons.
Mal compter les issues, c'est se tromper de probabilité.
On liste d'abord toutes les issues, puis on compte les issues favorables.
Décrire une expérience aléatoire
Une expérience aléatoire
Une expérience est dite aléatoire lorsqu'on connaît tous ses résultats possibles sans pouvoir prévoir lequel se produira.
Pour un dé à six faces, le résultat sera l'un des six nombres.
Issues et univers
Un résultat possible est une issue. L'ensemble des issues est l'univers, noté \(\Omega\).
Un évènement
Un évènement est un ensemble d'issues. Il est réalisé lorsque l'issue obtenue lui appartient.
L'évènement \(A\) « obtenir un nombre pair » regroupe trois issues:
Opérations sur les évènements
Trois opérations construisent de nouveaux évènements.
Évènement contraire
Le contraire de \(A\), noté \(\overline{A}\), est l'évènement formé de toutes les issues qui ne sont pas dans \(A\).
Réunion et intersection
La réunion \(A \cup B\) est réalisée lorsque \(A\) ou \(B\) l'est. L'intersection \(A \cap B\) est réalisée lorsque \(A\) et \(B\) le sont tous les deux.
Avec \(A\) et \(B\) « obtenir au moins \(4\) », soit \(B = \{4 \ ; \ 5 \ ; \ 6\}\) :
Deux évènements qui ne peuvent pas se produire en même temps ont pour intersection l'ensemble vide, noté \(\varnothing\) : un évènement impossible.
Calculer une probabilité
Probabilité d'un évènement
Lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire, la probabilité d'un évènement est le quotient:
C'est un nombre entre \(0\) et \(1\). Une probabilité de \(0\) décrit un évènement impossible, une probabilité de \(1\) un évènement certain.
Probabilité de l'évènement contraire
Un évènement et son contraire couvrent toutes les issues, sans se chevaucher : leurs probabilités ont pour somme \(1\).
Il est parfois plus rapide de compter les issues qu'on ne veut pas.
Expériences à deux épreuves
Pour deux épreuves (deux pièces, une pièce puis un dé…), on dénombre les issues avec un tableau à double entrée.
Pile |
Face |
|
|---|---|---|
Pile |
(P ; P) |
(P ; F) |
Face |
(F ; P) |
(F ; F) |
Il y a quatre issues. Probabilité d'obtenir deux fois le même côté :
Fréquences et probabilités
En répétant ou en simulant une expérience, on relève la fréquence de chaque issue. Elle change d'une série à l'autre : c'est la fluctuation.
Série de \(100\) lancers d'un dé |
Série 1 |
Série 2 |
Série 3 |
|---|---|---|---|
Fréquence du \(6\) |
\(0.14\) |
\(0.19\) |
\(0.15\) |
La probabilité vaut pourtant \(\frac{1}{6} \approx 0.17\). Plus on répète l'expérience, plus les fréquences se rapprochent de la probabilité.
Sur peu de lancers, une fréquence éloignée de la probabilité ne prouve pas que le dé est truqué.