Les probabilités

Décrire une expérience aléatoire

Une expérience aléatoire

Une expérience est dite aléatoire lorsqu'on connaît tous ses résultats possibles, mais qu'on ne peut pas prévoir lequel se produira.

Lancer un dé à six faces est une expérience aléatoire : on sait que le résultat sera l'un des six nombres , sans savoir lequel.

Issues et univers

Chaque résultat possible s'appelle une issue . L'ensemble de toutes les issues s'appelle l'univers , et se note $\Omega$.

$$ \Omega = \{1 \ ; \ 2 \ ; \ 3 \ ; \ 4 \ ; \ 5 \ ; \ 6\} $$

Un évènement

Un évènement est un ensemble d'issues, c'est-à-dire une partie de l'univers. Il est réalisé lorsque l'issue obtenue lui appartient.

L'évènement $A$ « obtenir un nombre pair » regroupe trois issues :

$$ A = \{2 \ ; \ 4 \ ; \ 6\} $$

Opérations sur les évènements

Trois opérations permettent de construire de nouveaux évènements à partir d'évènements connus.

Évènement contraire

Le contraire de $A$, noté $\overline{A}$, est l'évènement formé de toutes les issues qui ne sont pas dans $A$.

Réunion et intersection

La réunion $A \cup B$ est réalisée lorsque $A$ ou $B$ l'est. L' intersection $A \cap B$ est réalisée lorsque $A$ et $B$ le sont tous les deux.

Avec $A = \{2 \ ; \ 4 \ ; \ 6\}$ et $B = \{4 \ ; \ 5 \ ; \ 6\}$ l'évènement « obtenir au moins $4$ » :

$$ A \cup B = \{2 \ ; \ 4 \ ; \ 5 \ ; \ 6\} $$

$$ A \cap B = \{4 \ ; \ 6\} $$

Lorsque deux évènements ne peuvent pas se produire en même temps, leur intersection ne contient aucune issue : c'est l'ensemble vide , noté $\varnothing$, qui décrit un évènement impossible .

$$ \{1 \ ; \ 3\} \cap \{2 \ ; \ 4\} = \varnothing $$

Calculer une probabilité

Probabilité d'un évènement

Lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire, la probabilité d'un évènement est le quotient :

$$ P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}} $$

C'est un nombre compris entre $0$ et $1$, qui peut s'écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. Une probabilité de $0$ décrit un évènement impossible , une probabilité de $1$ un évènement certain .

$$ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\ \% $$

Probabilité de l'évènement contraire

Un évènement et son contraire couvrent à eux deux toutes les issues, sans jamais se chevaucher. Leurs probabilités se complètent donc à $1$.

$$ P\left(\overline{A}\right) = 1 - P(A) $$

Cette formule fait souvent gagner du temps : il est parfois bien plus rapide de compter les issues qu'on ne veut pas .

Expériences à deux épreuves

Certaines expériences enchaînent deux épreuves : lancer deux pièces, lancer une pièce puis un dé, lancer deux dés. On dénombre alors les issues à l'aide d'un tableau à double entrée .

	Pile	Face
Pile	(P ; P)	(P ; F)
Face	(F ; P)	(F ; F)

Les quatre issues du lancer de deux pièces

Le tableau montre qu'il y a quatre issues , et non trois. La probabilité d'obtenir deux fois le même côté vaut donc :

$$ P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$

Fréquences et probabilités

En répétant réellement une expérience, ou en la simulant, on relève la fréquence de chaque issue. Cette fréquence n'est pas la probabilité : elle change d'une série de lancers à l'autre. C'est ce qu'on appelle la fluctuation .

Série de $100$ lancers d'un dé	Série 1	Série 2	Série 3
Fréquence du $6$	$0{,}14$	$0{,}19$	$0{,}15$

Trois séries de même taille donnent trois fréquences différentes

La probabilité théorique vaut pourtant $\frac{1}{6} \approx 0{,}17$ dans les trois cas. Plus le nombre de répétitions augmente, plus les fréquences observées se rapprochent de la probabilité, et moins elles fluctuent d'une série à l'autre.

La fréquence se mesure après l'expérience, la probabilité se calcule avant. Une fréquence éloignée de la probabilité ne prouve donc pas que le dé est truqué, surtout sur un petit nombre de lancers.