Problèmes sur les probabilités

Vocabulaire et évènement contraire

On tire une carte au hasard dans un jeu de \(32\) cartes, qui compte \(8\) cartes de chacune des quatre couleurs : cœur, carreau, trèfle et pique.

1. Combien d'issues comporte cette expérience aléatoire ?

   Chaque carte du jeu est une issue, et toutes ont la même chance d'être tirées :

   $$ 32 \ \text{issues} $$
2. Calculer la probabilité de l'évènement \(A\) : « obtenir un cœur ».

   Il y a \(8\) cœurs parmi les \(32\) cartes :

   $$ P(A) = \frac{8}{32} $$

   $$ P(A) = \frac{1}{4} $$
3. Décrire l'évènement contraire \(\overline{A}\), puis calculer sa probabilité de deux façons.

   \(\overline{A}\) est l'évènement « ne pas obtenir un cœur », c'est-à-dire obtenir un carreau, un trèfle ou un pique.

   En comptant les issues favorables, \(32 - 8 = 24\) cartes ne sont pas des cœurs :

   $$ P\left(\overline{A}\right) = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} $$

   Avec la probabilité du contraire :

   $$ P\left(\overline{A}\right) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} $$

   $$ P\left(\overline{A}\right) = \frac{3}{4} $$

Une expérience à deux épreuves

On lance simultanément une pièce équilibrée et un dé équilibré à six faces.

1. Construire un tableau à double entrée donnant toutes les issues possibles.

   	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
   Pile	(P ; 1)	(P ; 2)	(P ; 3)	(P ; 4)	(P ; 5)	(P ; 6)
   Face	(F ; 1)	(F ; 2)	(F ; 3)	(F ; 4)	(F ; 5)	(F ; 6)

2. Combien d'issues cette expérience comporte-t-elle ?

   Le tableau a \(2\) lignes et \(6\) colonnes :

   $$ 2 \times 6 $$

   $$ 12 \ \text{issues} $$
3. Calculer la probabilité d'obtenir pile et un nombre pair.

   Les issues favorables sont (P ; 2), (P ; 4) et (P ; 6), soit \(3\) issues sur \(12\) :

   $$ P = \frac{3}{12} $$

   $$ P = \frac{1}{4} $$
4. Calculer la probabilité d'obtenir face et un nombre supérieur ou égal à \(5\).

   Les issues favorables sont (F ; 5) et (F ; 6), soit \(2\) issues sur \(12\) :

   $$ P = \frac{2}{12} $$

   $$ P = \frac{1}{6} $$

Fréquences et probabilités

On lance un dé à six faces, et on relève la fréquence d'apparition du \(6\) au fil des lancers.

1. Calculer la probabilité théorique d'obtenir un \(6\), sous forme de fraction puis arrondie au millième.

   Le dé a six faces qui ont la même chance de sortir, et une seule porte le \(6\) :

   $$ P = \frac{1}{6} \approx 0.167 $$
2. Que constate-t-on lorsque le nombre de lancers augmente ?

   Plus le nombre de lancers augmente, plus la fréquence du \(6\) se rapproche de la probabilité \(0.167\) : elle s'en écarte de \(0.083\) après \(20\) lancers, et de moins de \(0.001\) après \(10 \ 000\).

3. Après \(20\) lancers, la fréquence vaut \(0.25\). Peut-on en conclure que le dé est truqué ? Justifier.

   Non. Sur \(20\) lancers, une fréquence de \(0.25\) correspond à \(5\) six au lieu des \(3\) ou \(4\) attendus : c'est la fluctuation, forte sur un petit nombre de lancers.

   La suite du tableau le confirme : sur \(10 \ 000\) lancers, la fréquence \(0.1664\) est très proche de \(\frac{1}{6}\), le dé semble donc équilibré.

Ce que contient le sac

Un sac contient \(20\) billes indiscernables au toucher : des rouges, des bleues et des vertes. On tire une bille au hasard. La probabilité de tirer une bille rouge vaut \(0.35\), celle de tirer une bille bleue vaut \(\frac{1}{4}\).

1. Retrouver le nombre de billes rouges et le nombre de billes bleues du sac.

   Une probabilité est le nombre d'issues favorables divisé par \(20\). On remonte donc en multipliant par \(20\) :

   $$ 0.35 \times 20 = 7 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{1}{4} \times 20 = 5 $$

   $$ 7 \ \text{billes rouges} \quad \text{et} \quad 5 \ \text{billes bleues} $$
2. En déduire le nombre de billes vertes, puis la probabilité de tirer une bille verte.
   $$ 20 - 7 - 5 = 8 \ \text{billes vertes} $$

   $$ P(\text{verte}) = \frac{8}{20} $$

   $$ P(\text{verte}) = \frac{2}{5} = 0.4 $$

   On vérifie : \(0.35 + 0.25 + 0.4 = 1\).

3. Léo affirme : « Si j'ajoute \(6\) billes rouges dans ce même sac, j'aurai une chance sur deux de tirer une bille rouge. » A-t-il raison ? Justifier.

   Après l'ajout, le sac contient \(20 + 6 = 26\) billes, dont \(7 + 6 = 13\) rouges :

   $$ P(\text{rouge}) = \frac{13}{26} $$

   $$ P(\text{rouge}) = \frac{1}{2} $$

   Léo a raison. Attention : ajouter des billes rouges augmente aussi le nombre total de billes, il ne suffit pas d'en ajouter \(3\) pour passer de \(7\) à \(10\) sur \(20\).

Le jeu des deux dés

À la fête du collège, on lance deux dés équilibrés à six faces et on additionne les deux nombres obtenus. Marius parie sur une somme égale à \(7\), Zoé sur un double, et Hugo sur une somme supérieure ou égale à \(10\).

1. Compléter le tableau à double entrée des sommes. Combien d'issues cette expérience comporte-t-elle ?

   \(+\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
   \(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)
   \(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)
   \(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)
   \(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)
   \(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)	\(11\)
   \(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)	\(11\)	\(12\)

   Le tableau a \(6\) lignes et \(6\) colonnes :

   $$ 6 \times 6 = 36 \ \text{issues} $$
2. Calculer la probabilité que Marius gagne.

   La somme \(7\) apparaît dans \(6\) cases, sur la diagonale qui va de \(1 + 6\) à \(6 + 1\) :

   $$ P(\text{Marius}) = \frac{6}{36} $$

   $$ P(\text{Marius}) = \frac{1}{6} $$
3. Qui, de Zoé ou de Hugo, a le plus de chances de gagner ? Comparer avec Marius.

   Les doubles occupent les \(6\) cases de la diagonale \(1 + 1\), \(2 + 2\), …, \(6 + 6\).

   Les sommes \(10\), \(11\) et \(12\) occupent \(3 + 2 + 1 = 6\) cases.

   $$ P(\text{Zoé}) = P(\text{Hugo}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $$

   Les trois paris ont exactement la même probabilité de gagner.

4. Le responsable du stand affirme : « La somme \(12\) sort aussi souvent que la somme \(7\), puisque ce n'est qu'une somme parmi les \(11\) possibles. » Trancher.

   Il a tort. Les \(11\) sommes possibles, de \(2\) à \(12\), ne sont pas des issues de même chance : la somme \(12\) n'apparaît que dans une case du tableau, la somme \(7\) dans six.

   $$ P(12) = \frac{1}{36} \quad \text{et} \quad P(7) = \frac{6}{36} $$

Les trois roues

Chaque roue est partagée en trois secteurs égaux. Deux joueurs choisissent chacun une roue différente et la font tourner : le plus grand nombre gagne.

1. Léa prend la roue A, Tom la roue B. Compléter le tableau, puis calculer la probabilité que Léa gagne.

   	\(1\)	\(6\)	\(8\)
   \(2\)	A	B	B
   \(4\)
   \(9\)

   Chaque roue a trois secteurs de même taille : les \(3 \times 3 = 9\) issues du tableau ont toutes la même chance.

   	\(1\)	\(6\)	\(8\)
   \(2\)	A	B	B
   \(4\)	A	B	B
   \(9\)	A	A	A

   La roue A gagne dans \(5\) cases sur \(9\) :

   $$ P(\text{Léa gagne}) = \frac{5}{9} $$
2. Calculer de même la probabilité que la roue B batte la roue C, puis celle que la roue C batte la roue A. Quelle est la meilleure des trois roues ?

   En ligne la roue B, en colonne la roue C, puis en ligne la roue C, en colonne la roue A :

   	\(3\)	\(5\)	\(7\)
   \(1\)	C	C	C
   \(6\)	B	B	C
   \(8\)	B	B	B

   	\(2\)	\(4\)	\(9\)
   \(3\)	C	A	A
   \(5\)	C	C	A
   \(7\)	C	C	A

   La roue B gagne dans \(5\) cases sur \(9\), la roue C aussi :

   $$ P(\text{B bat C}) = P(\text{C bat A}) = \frac{5}{9} $$

   La roue A bat la roue B, qui bat la roue C, qui bat la roue A, chaque fois avec une probabilité supérieure à \(\frac{1}{2}\). Chaque roue est battue par une autre :

   $$ \text{aucune roue n'est la meilleure} $$
3. On change de partie : Tom propose à Léa de choisir sa roue la première. Trouver la meilleure stratégie de Tom et sa probabilité de gagner. Son offre est-elle généreuse ?

   Tom attend le choix de Léa, puis prend la roue qui bat la sienne : la roue C si Léa prend la roue A, la roue A si elle prend la roue B, la roue B si elle prend la roue C. D'après les questions précédentes, il gagne alors avec la même probabilité quel que soit le choix de Léa :

   $$ P(\text{Tom gagne}) = \frac{5}{9} $$

   L'offre n'a rien de généreux : dans ce jeu, celui qui choisit en second a l'avantage.

4. Léa fabrique une roue D en écrivant sur ses trois secteurs des nombres pairs de \(0\) à \(10\), éventuellement répétés : contre la roue C, qui ne porte que des nombres impairs, aucune égalité n'est possible. Elle veut que la roue D batte la roue C avec une moyenne la plus petite possible. Trouver sa roue, et prouver qu'aucune roue D de plus petite moyenne ne bat la roue C. Que conclure ?

   La roue D bat la roue C si elle gagne dans au moins \(5\) des \(9\) cases. Contre les nombres \(3\), \(5\) et \(7\), un secteur gagne dans d'autant plus de cases que son nombre est grand :

   Nombre du secteur	\(0\)	\(2\)	\(4\)	\(6\)	\(8\)	\(10\)
   Cases gagnées	\(0\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(3\)

   Pour gagner dans une case, il faut donc au moins \(4\) ; dans deux cases, au moins \(6\) ; dans trois, au moins \(8\).

   Un secteur gagne dans trois cases : il vaut au moins \(8\). Les deux autres doivent gagner dans au moins deux cases à eux deux : soit l'un d'eux en gagne deux et vaut au moins \(6\), soit chacun en gagne une et vaut au moins \(4\). La somme des trois nombres vaut au moins \(8 + 6 = 14\).

   Aucun secteur ne gagne dans trois cases : chacun en gagne deux au plus, et il en faut cinq. Deux secteurs gagnent donc dans deux cases, le troisième dans une au moins, et la somme vaut au moins \(6 + 6 + 4 = 16\).

   La plus petite somme est donc \(14\). Elle n'est atteinte que dans le premier cas, avec un secteur à \(8\), un à \(6\) et un à \(0\) :

   $$ \text{roue D} : 0 \ ; \ 6 \ ; \ 8 $$

   Vérification : \(0\) ne gagne jamais, \(6\) bat \(3\) et \(5\), \(8\) bat les trois nombres, soit \(0 + 2 + 3 = 5\) cases sur \(9\).

   $$ \overline{x} = \frac{14}{3} \approx 4.67 $$

   La roue D bat la roue C avec une moyenne plus petite que la sienne, qui vaut \(5\) : la moyenne d'une roue ne dit pas si elle gagne souvent.

Qui débarrasse la table ?

Chaque soir, Nina, Yanis et Chloé tirent au sort celui qui débarrasse la table. Ils lancent une pièce de \(1 \ \text{€}\) et une pièce de \(2 \ \text{€}\), toutes deux équilibrées.

1. Yanis propose : « Deux piles, c'est Nina ; deux faces, c'est Chloé ; un pile et un face, c'est moi. » Nina et Chloé acceptent aussitôt. Compléter le tableau, puis expliquer pourquoi elles acceptent.

   	Pile	Face
   Pile	Nina
   Face

   	Pile	Face
   Pile	Nina	Yanis
   Face	Yanis	Chloé

   Les pièces sont équilibrées : les \(4\) issues ont la même chance. « Un pile et un face » en occupe deux.

   $$ P(\text{Yanis}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} P(\text{Nina}) = P(\text{Chloé}) = \frac{1}{4} $$

   Yanis serait désigné deux fois plus souvent que Nina ou que Chloé : sa règle le désavantage.

2. Chloé cherche une règle équitable, où chacun a la même probabilité d'être désigné, toujours avec un seul lancer des deux pièces. Prouver qu'il n'en existe aucune.

   Une règle attribue chacune des \(4\) cases du tableau à l'un des trois enfants, et la probabilité d'un enfant vaut son nombre de cases divisé par \(4\). Pour que les trois probabilités soient égales, les trois enfants devraient avoir le même nombre de cases, et ce nombre, multiplié par \(3\), devrait donner \(4\).

   Or \(3 \times 1 = 3\) et \(3 \times 2 = 6\) : aucun nombre entier ne convient.

   $$ \text{aucune règle n'est équitable} $$
3. Nina propose : « Pile sur les deux pièces, c'est Yanis ; face sur les deux, c'est moi ; pile sur la pièce de \(1 \ \text{€}\) et face sur celle de \(2 \ \text{€}\), c'est Chloé ; dans le dernier cas, on relance. » Cette règle est-elle équitable ? Justifier, sans contredire la question précédente.

   À chaque lancer, chaque enfant occupe une case sur quatre, et la dernière case fait relancer :

   $$ P(\text{Yanis}) = P(\text{Nina}) = P(\text{Chloé}) = P(\text{relance}) = \frac{1}{4} $$

   Une relance remet les trois enfants dans la même situation qu'avant : elle ne favorise personne. Au bout du compte, chacun a donc la même chance d'être désigné, une chance sur trois.

   $$ \text{la règle est équitable} $$

   La question précédente n'est pas contredite : cette règle demande parfois plusieurs lancers.

4. On change de situation : pendant les vacances, des cousins les rejoignent, et il y a de \(2\) à \(12\) enfants à table selon les soirs. Ils ont aussi trouvé un dé équilibré à six faces, et lancent les deux pièces et le dé une seule fois, sans relance. Pour quels nombres d'enfants existe-t-il une règle équitable ? Donner une règle pour \(8\) enfants, et prouver que pour les autres nombres, aucune règle ne convient.

   	(P ; P)	(P ; F)	(F ; P)	(F ; F)
   \(1\)
   \(2\)
   \(3\)
   \(4\)
   \(5\)
   \(6\)

   Le lancer des deux pièces a \(4\) issues, le dé en a \(6\) : le tableau compte \(4 \times 6 = 24\) issues qui ont la même chance.

   Une règle pour \(8\) enfants : chacun doit recevoir \(24 \div 8 = 3\) cases. Numérotons les enfants de \(1\) à \(8\) : les pièces désignent deux enfants, et le dé choisit entre eux selon qu'il est impair ou pair.

   	(P ; P)	(P ; F)	(F ; P)	(F ; F)
   \(1\)	\(1\)	\(3\)	\(5\)	\(7\)
   \(2\)	\(2\)	\(4\)	\(6\)	\(8\)
   \(3\)	\(1\)	\(3\)	\(5\)	\(7\)
   \(4\)	\(2\)	\(4\)	\(6\)	\(8\)
   \(5\)	\(1\)	\(3\)	\(5\)	\(7\)
   \(6\)	\(2\)	\(4\)	\(6\)	\(8\)

   Chaque enfant occupe \(3\) cases sur \(24\), et a donc une probabilité de \(\frac{3}{24} = \frac{1}{8}\) d'être désigné.

   Le cas général : avec \(n\) enfants, une règle équitable donne à chacun le même nombre de cases, disons \(k\). Toutes les cases sont attribuées, donc \(n \times k = 24\) : \(n\) doit être un diviseur de \(24\). Réciproquement, si \(n\) divise \(24\), on partage les \(24\) cases en \(n\) paquets de \(24 \div n\) cases, un par enfant.

   $$ 2 \ ; \ 3 \ ; \ 4 \ ; \ 6 \ ; \ 8 \quad \text{ou} \quad 12 \ \text{enfants} $$

   Pour \(5 \ ; \ 7 \ ; \ 9 \ ; \ 10\) ou \(11\) enfants, qui ne divisent pas \(24\), aucune règle ne convient. Et pour trois enfants, le dé suffit désormais : \(1\) ou \(2\) pour l'un, \(3\) ou \(4\) pour le deuxième, \(5\) ou \(6\) pour le troisième.