Problèmes sur la proportionnalité

Quatrième proportionnelle et pourcentages

1. \(5 \ \text{kg}\) de pommes coûtent \(9 \ \text{€}\). Quel est le prix de \(12 \ \text{kg}\) de ces mêmes pommes ?

   Le prix est proportionnel à la masse. On calcule d'abord le prix d'un kilogramme :

   $$ 9 \div 5 = 1.80 \ \text{€/kg} $$

   $$ 12 \times 1.80 $$

   $$ 21.60 \ \text{€} $$
2. On passe à un autre achat : un article coûte \(45 \ \text{€}\). Calculer son prix après une remise de \(20 \ \%\).

   Une baisse de \(20 \ \%\) revient à multiplier par le coefficient \(1 - \frac{20}{100} = 0.8\) :

   $$ 45 \times 0.8 $$

   $$ 36 \ \text{€} $$
3. Dans une classe de \(25\) élèves, \(15\) sont des filles. Quel pourcentage de la classe cela représente-t-il ?
   $$ \frac{15}{25} = 0.6 = \frac{60}{100} $$

   $$ 60 \ \% $$

Des grandeurs quotients

Un cycliste parcourt \(45 \ \text{km}\) en \(1 \ \text{h} \ 30 \ \text{min}\). Un robinet remplit une cuve de \(120 \ \text{L}\) en \(8 \ \text{min}\).

1. Calculer la vitesse moyenne du cycliste, en \(\text{km/h}\).

   On convertit la durée en heures : \(1 \ \text{h} \ 30 \ \text{min} = 1.5 \ \text{h}\).

   $$ v = \frac{\text{distance}}{\text{durée}} = \frac{45}{1.5} $$

   $$ v = 30 \ \text{km/h} $$
2. Calculer le débit du robinet, en \(\text{L/min}\).
   $$ \text{débit} = \frac{\text{volume}}{\text{durée}} = \frac{120}{8} $$

   $$ 15 \ \text{L/min} $$
3. On revient au cycliste : à cette même allure, quelle distance parcourt-il en \(2 \ \text{h} \ 20 \ \text{min}\) ?

   À \(30 \ \text{km/h}\), le cycliste parcourt \(30 \ \text{km}\) en \(60 \ \text{min}\), donc \(10 \ \text{km}\) en \(20 \ \text{min}\).

   $$ 2 \ \text{h} \ 20 \ \text{min} \ : \ 30 + 30 + 10 $$

   $$ 70 \ \text{km} $$
4. Pourquoi la vitesse et le débit sont-ils appelés « grandeurs quotients » ?

   Chacune s'obtient en divisant une grandeur par une autre : une distance par une durée, un volume par une durée. Leur unité en garde la trace, avec le mot « par » : kilomètres par heure, litres par minute.

Un partage proportionnel

Trois amis se partagent un gain de \(4 \ 200 \ \text{€}\), proportionnellement à leur mise : \(15 \ \text{€}\), \(25 \ \text{€}\) et \(30 \ \text{€}\).

1. Calculer le montant total des mises.
   $$ 15 + 25 + 30 $$

   $$ 70 \ \text{€} $$
2. Calculer la part de chacun.

   Chaque euro misé rapporte :

   $$ 4 \ 200 \div 70 = 60 \ \text{€} $$

   $$ 15 \times 60 = 900 \ \text{€} \hspace{2em} 25 \times 60 = 1 \ 500 \ \text{€} \hspace{2em} 30 \times 60 = 1 \ 800 \ \text{€} $$
3. Vérifier que la somme des trois parts redonne bien le gain total.
   $$ 900 + 1 \ 500 + 1 \ 800 = 4 \ 200 \ \text{€} $$
4. Écrire le ratio des trois mises sous sa forme la plus simple.

   Les trois mises sont des multiples de \(5\) : on les divise toutes par \(5\).

   $$ 15 : 25 : 30 $$

   $$ 3 : 5 : 6 $$

Le prix avant les soldes

Pendant les soldes, un blouson est affiché à \(48 \ \text{€}\) après une remise de \(25 \ \%\). Lina veut retrouver son prix de départ et écrit :

1. Appliquer la remise de \(25 \ \%\) au prix trouvé par Lina. Retrouve-t-on \(48 \ \text{€}\) ?
   $$ 60 \times \left(1 - \frac{25}{100}\right) = 60 \times 0.75 = 45 \ \text{€} $$

   On ne retrouve pas \(48 \ \text{€}\) :

   $$ \text{le prix de Lina est faux} $$
2. Expliquer l'erreur de Lina.

   Les \(25 \ \%\) de la remise sont calculés sur le prix de départ, pas sur le prix soldé. Ajouter \(25 \ \%\) de \(48 \ \text{€}\) ne défait donc pas la remise : une hausse de \(25 \ \%\) n'annule pas une baisse de \(25 \ \%\).

3. Calculer le vrai prix de départ du blouson.

   Le prix soldé est le prix de départ multiplié par \(0.75\). On remonte donc en divisant par ce même coefficient :

   $$ 48 \div 0.75 $$

   $$ 64 \ \text{€} $$

   On vérifie : \(64 \times 0.75 = 48\).

Arriver au refuge avant la nuit

Un groupe de randonneurs part à \(16\text{h}30\) vers un refuge. Sur leur carte au \(\frac{1}{25 \ 000}\), le sentier qui y mène mesure \(14 \ \text{cm}\). Ils marchent à \(3 \ \text{km/h}\), et le soleil se couche à \(17\text{h}45\).

1. Calculer la longueur réelle du sentier, en kilomètres.

   Sur la carte, \(1 \ \text{cm}\) représente \(25 \ 000 \ \text{cm}\) sur le terrain :

   $$ 14 \times 25 \ 000 = 350 \ 000 \ \text{cm} $$

   $$ 3.5 \ \text{km} $$
2. Calculer la durée de marche du groupe jusqu'au refuge.

   À \(3 \ \text{km/h}\), le groupe parcourt \(3 \ \text{km}\) en \(60 \ \text{min}\), donc \(1 \ \text{km}\) en \(20 \ \text{min}\) et \(0.5 \ \text{km}\) en \(10 \ \text{min}\).

   $$ 3.5 \ \text{km} \ : \ 60 + 10 $$

   $$ 70 \ \text{min} = 1 \ \text{h} \ 10 \ \text{min} $$
3. Le groupe arrive-t-il au refuge avant le coucher du soleil ?
   $$ 16\text{h}30 + 1 \ \text{h} \ 10 \ \text{min} = 17\text{h}40 $$

   $$ \text{oui, avec } 5 \ \text{min d'avance} $$
4. Un second groupe, plus lent, marche à \(2.5 \ \text{km/h}\) sur ce même sentier. Chercher l'heure à laquelle il doit partir, au plus tard, pour arriver avant le coucher du soleil.

   À \(2.5 \ \text{km/h}\), le groupe parcourt \(2.5 \ \text{km}\) en \(60 \ \text{min}\), donc \(0.5 \ \text{km}\) en \(12 \ \text{min}\). Les \(3.5 \ \text{km}\) font \(7\) fois \(0.5 \ \text{km}\) :

   $$ 7 \times 12 = 84 \ \text{min} = 1 \ \text{h} \ 24 \ \text{min} $$

   On remonte le temps depuis le coucher du soleil :

   $$ 17\text{h}45 - 1 \ \text{h} \ 24 \ \text{min} $$

   $$ 16\text{h}21 \ \text{au plus tard} $$

Le tapis roulant de l'aéroport

Dans un aéroport, un tapis roulant mesure \(90 \ \text{m}\). Léo le longe à pied, sur le sol du couloir, en \(60 \ \text{s}\). Immobile sur le tapis, il met \(120 \ \text{s}\).

1. Calculer la vitesse de Léo à pied et celle du tapis, en \(\text{m/s}\) puis en \(\text{km/h}\).
   $$ v = \frac{\text{distance}}{\text{durée}} \hspace{2em} \frac{90}{60} = 1.5 \ \text{m/s} \hspace{2em} \frac{90}{120} = 0.75 \ \text{m/s} $$

   En une heure, soit \(3 \ 600 \ \text{s}\), Léo parcourt \(1.5 \times 3 \ 600 = 5 \ 400 \ \text{m}\), et le tapis avance de \(0.75 \times 3 \ 600 = 2 \ 700 \ \text{m}\).

   $$ \text{Léo} : 1.5 \ \text{m/s} = 5.4 \ \text{km/h} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{tapis} : 0.75 \ \text{m/s} = 2.7 \ \text{km/h} $$
2. Léo marche maintenant sur le tapis en marche, à la même allure. Léa prévoit \(90 \ \text{s}\), la moyenne de \(60\) et de \(120 \ \text{s}\). Trancher en calculant la durée réelle, puis celle d'un retour en marchant sur ce même tapis, à contre-sens.

   Chaque seconde, Léo avance de \(1.5 \ \text{m}\) par ses pas, et le tapis le porte de \(0.75 \ \text{m}\) de plus :

   $$ 1.5 + 0.75 = 2.25 \ \text{m/s} \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} \frac{90}{2.25} = 40 \ \text{s} $$

   Vérification : en \(40 \ \text{s}\), Léo fait \(40 \times 1.5 = 60 \ \text{m}\) par ses pas et le tapis \(40 \times 0.75 = 30 \ \text{m}\), soit \(90 \ \text{m}\).

   À contre-sens, le tapis le recule de \(0.75 \ \text{m}\) chaque seconde :

   $$ 1.5 - 0.75 = 0.75 \ \text{m/s} \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} \frac{90}{0.75} = 120 \ \text{s} $$

   $$ \text{Léa a tort} : 40 \ \text{s dans le sens du tapis} \quad \text{et} \quad 120 \ \text{s à contre-sens} $$

   Ce sont les vitesses qui s'ajoutent, pas les durées.

3. On note \(L\) la longueur, en mètres, d'un tapis quelconque que Léo longe à pied en \(60 \ \text{s}\) et parcourt immobile en \(120 \ \text{s}\). Démontrer qu'en marchant dessus, il met toujours \(40 \ \text{s}\). En une seconde, à pied, il parcourt \(\frac{L}{60}\) mètres.

   En une seconde, le tapis avance de \(\frac{L}{120}\) mètres. Léo, en marchant dessus, parcourt donc :

   $$ \frac{L}{60} + \frac{L}{120} = \frac{2L}{120} + \frac{L}{120} = \frac{3L}{120} $$

   $$ \frac{L}{60} + \frac{L}{120} = \frac{L}{40} $$

   Avançant de \(\frac{L}{40}\) mètres chaque seconde, il parcourt les \(L\) mètres en \(40 \ \text{s}\), puisque \(40 \times \frac{L}{40} = L\).

   $$ 40 \ \text{s, quelle que soit la longueur } L $$
4. On change de tapis et de voyageuse : Mia longe un autre tapis à pied en \(40 \ \text{s}\), et le parcourt en \(24 \ \text{s}\) en marchant dessus. Combien de temps mettrait-elle immobile sur ce tapis ? Et en marchant dessus à contre-sens ?

   On note \(L\) la longueur de ce tapis. Chaque seconde, Mia parcourt \(\frac{L}{40}\) à pied et \(\frac{L}{24}\) en marchant sur le tapis : la différence est ce qu'apporte le tapis.

   $$ \frac{L}{24} - \frac{L}{40} = \frac{5L}{120} - \frac{3L}{120} = \frac{2L}{120} = \frac{L}{60} $$

   Le tapis parcourt \(\frac{L}{60}\) chaque seconde : immobile, Mia met \(60 \ \text{s}\). À contre-sens, elle avance chaque seconde de :

   $$ \frac{L}{40} - \frac{L}{60} = \frac{3L}{120} - \frac{2L}{120} = \frac{L}{120} $$

   $$ \text{immobile} : 60 \ \text{s} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{à contre-sens} : 120 \ \text{s} $$

   Vérification avec un tapis de \(45 \ \text{m}\) : Mia marche à \(45 \div 40 = 1.125 \ \text{m/s}\) et le tapis avance à \(45 \div 60 = 0.75 \ \text{m/s}\). Ensemble, \(1.875 \ \text{m/s}\), et \(45 \div 1.875 = 24 \ \text{s}\).

Les pots de peinture

Lina repeint les murs de sa chambre : \(35 \ \text{m}^2\), en deux couches. Un litre de peinture couvre \(10 \ \text{m}^2\) par couche. Le magasin vend cette peinture en trois pots.

1. Calculer la quantité de peinture nécessaire, puis le prix d'un litre dans chacun des trois pots.

   Deux couches sur \(35 \ \text{m}^2\) couvrent \(70 \ \text{m}^2\), à raison de \(10 \ \text{m}^2\) par litre :

   $$ 70 \div 10 = 7 \ \text{L} $$

   Le prix d'un litre est le prix du pot divisé par sa contenance :

   $$ 9 \div 0.5 = 18 \ \text{€/L} \hspace{2em} 32 \div 2.5 = 12.80 \ \text{€/L} \hspace{2em} 110 \div 10 = 11 \ \text{€/L} $$
2. Lina veut prendre le pot de \(10 \ \text{L}\), « le moins cher au litre ». Son frère propose trois pots de \(2.5 \ \text{L}\). Trancher.

   Trois pots de \(2.5 \ \text{L}\) donnent \(7.5 \ \text{L}\), assez pour les \(7 \ \text{L}\) nécessaires :

   $$ 3 \times 32 = 96 \ \text{€} \hspace{2em} \text{contre} \hspace{2em} 110 \ \text{€} $$

   $$ \text{le frère a raison} : 14 \ \text{€ d'économie} $$

   Le pot de \(10 \ \text{L}\) a le meilleur prix au litre, mais Lina paierait \(3 \ \text{L}\) dont elle n'a pas besoin.

3. Trouver l'achat le moins cher qui donne au moins \(7 \ \text{L}\), et prouver qu'il n'y en a pas de moins cher. On pourra compléter ce tableau, selon le nombre de pots de \(2.5 \ \text{L}\) achetés sans pot de \(10 \ \text{L}\).

   Pots de \(2.5 \ \text{L}\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
   Pots de \(0.5 \ \text{L}\)	\(14\)
   Peinture (L)	\(7\)
   Prix (€)	\(126\)

   Un achat avec un pot de \(10 \ \text{L}\) coûte au moins \(110 \ \text{€}\). Sans lui, on complète avec le moins possible de pots de \(0.5 \ \text{L}\) :

   Pots de \(2.5 \ \text{L}\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
   Pots de \(0.5 \ \text{L}\)	\(14\)	\(9\)	\(4\)	\(0\)
   Peinture (L)	\(7\)	\(7\)	\(7\)	\(7.5\)
   Prix (€)	\(126\)	\(113\)	\(100\)	\(96\)

   Au-delà de trois pots de \(2.5 \ \text{L}\), l'achat coûte déjà au moins \(4 \times 32 = 128 \ \text{€}\), et ajouter des petits pots ne fait que l'augmenter.

   $$ 3 \ \text{pots de } 2.5 \ \text{L, pour } 96 \ \text{€} $$
4. On change de chantier : Lina peint aussi le plafond, \(14 \ \text{m}^2\) en deux couches. Trouver le nouvel achat le moins cher, et prouver qu'il n'y en a pas de moins cher. Sans le pot de \(10 \ \text{L}\), combien coûte au moins un litre ?

   Le plafond demande \(28 \div 10 = 2.8 \ \text{L}\) de plus :

   $$ 7 + 2.8 = 9.8 \ \text{L} $$

   Le pot de \(10 \ \text{L}\) suffit, pour \(110 \ \text{€}\) ; tout achat qui le contient coûte au moins autant. Sans lui, chaque litre coûte au moins \(12.80 \ \text{€}\), le prix au litre des pots de \(2.5 \ \text{L}\), et il en faut au moins \(9.8\) :

   $$ 9.8 \times 12.80 = 125.44 \ \text{€} $$

   $$ 1 \ \text{pot de } 10 \ \text{L, pour } 110 \ \text{€} $$

   Pour les murs seuls, ce raisonnement ne suffisait pas : \(7 \times 12.80 = 89.60 \ \text{€}\), moins que \(96 \ \text{€}\). Il fallait le tableau.