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Les casse-tête des graphiques

Les clubs du midi, la boisson du matin, le \(50\) mètres et le trajet vers le collège : quatre casse-tête pour lire et construire des représentations de données, sans calculatrice.

Les mots croisés des clubs

Le diagramme donne les filles et les garçons inscrits aux cinq clubs du midi d'un collège ; chaque inscrit ne suit qu'un club. Un carreau représente un élève.

Diagramme en barres horizontales des inscrits aux clubs du midi, un carreau pour un élève. Chorale : 23 filles et 10 garçons ; Échecs : 13 filles et 5 garçons ; Théâtre : 11 filles et 22 garçons ; Robotique : 21 filles et 15 garçons ; Jardin : 16 filles et 14 garçons F G Chorale F G Échecs F G Théâtre F G Robotique F G Jardin 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 élèves F : filles G : garçons
  1. Remplir la grille : chaque définition se lit ou se calcule sur le diagramme, et chaque chiffre est écrit par deux définitions, une horizontale et une verticale.
    Une grille de mots croisés de deux lignes et huit colonnes, dont les colonnes 3 et 6 sont noires : trois blocs de quatre cases, et leurs définitions horizontales et verticales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Horizontalement 1. Filles inscrites au théâtre. 3. Filles inscrites aux échecs. 5. Garçons inscrits au jardin. 7. Part du jardin parmi les inscrits, en %. 8. Part des filles parmi les inscrits, en %. 9. Nombre total de filles inscrites. Verticalement 1. Part des échecs parmi les inscrits, en %. 2. Garçons inscrits à la chorale. 3. Garçons inscrits en robotique. 4. Inscrits en robotique, filles et garçons. 5. Inscrits aux échecs, filles et garçons. 6. Part des garçons parmi les inscrits, en %.
    La grille remplie : 11, 13, 14 sur la première ligne, 20, 56, 84 sur la seconde ; en colonnes 12, 10, 15, 36, 18 et 44 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 3 1 4 2 0 5 6 8 4 Horizontalement 1. Filles inscrites au théâtre. 3. Filles inscrites aux échecs. 5. Garçons inscrits au jardin. 7. Part du jardin parmi les inscrits, en %. 8. Part des filles parmi les inscrits, en %. 9. Nombre total de filles inscrites. Verticalement 1. Part des échecs parmi les inscrits, en %. 2. Garçons inscrits à la chorale. 3. Garçons inscrits en robotique. 4. Inscrits en robotique, filles et garçons. 5. Inscrits aux échecs, filles et garçons. 6. Part des garçons parmi les inscrits, en %.

    Le diagramme compte \(84\) filles et \(66\) garçons :

    $$ 23 + 13 + 11 + 21 + 16 = 84 \quad \text{et} \quad 10 + 5 + 22 + 15 + 14 = 66 $$

    Les parts se calculent donc sur \(84 + 66 = 150\) inscrits. Par exemple, le jardin compte \(16 + 14 = 30\) inscrits :

    $$ \frac{30}{150} = \frac{1}{5} = \frac{20}{100} = 20 \ \% $$

    De même pour les échecs, les filles et les garçons :

    $$ \frac{18}{150} = \frac{3}{25} = \frac{12}{100} $$
    $$ \frac{84}{150} = \frac{28}{50} = \frac{56}{100} \quad \text{et} \quad \frac{66}{150} = \frac{22}{50} = \frac{44}{100} $$
  2. Le club de théâtre affirme être le club le plus suivi. Dire s'il a raison, en justifiant par un calcul.

    On additionne les filles et les garçons de chaque club :

    $$ \text{chorale} : 23 + 10 = 33 \hspace{2em} \text{échecs} : 13 + 5 = 18 $$
    $$ \text{théâtre} : 11 + 22 = 33 \hspace{2em} \text{robotique} : 21 + 15 = 36 \hspace{2em} \text{jardin} : 16 + 14 = 30 $$

    Le théâtre a tort : la robotique, avec \(36\) inscrits, est le club le plus suivi. Le théâtre est à égalité avec la chorale.

  3. On ne regarde plus que les garçons. Montrer que le théâtre réunit un tiers des garçons inscrits.

    Le théâtre compte \(22\) des \(66\) garçons inscrits :

    $$ \frac{22}{66} = \frac{1 \times \cancel{22}}{3 \times \cancel{22}} = \frac{1}{3} $$

La boucle des secteurs

On a demandé aux \(40\) élèves de 4e A ce qu'ils boivent le matin. Le diagramme circulaire n'écrit qu'une donnée par secteur, et aucune pour « rien » ; un secteur se décrit pourtant par son effectif, son angle et sa fréquence, écrite en pourcentage.

Chaque carte donne une réponse, puis pose une question sur le diagramme : sa réponse est écrite sur une autre carte.

Diagramme circulaire de la boisson du matin des 40 élèves de 4e A : chocolat, 126° ; jus d'orange, 25 % ; un petit secteur, rien, qui ne porte aucune donnée ; lait, 8 élèves ; thé, 54° chocolat 126° jus d'orange 25 % rien lait 8 élèves thé 54° 4e A : 40 élèves
Onze cartes, de A à K. A : J'ai 14 élèves, Qui a l'angle du lait ? ; B : J'ai 15 %, Qui a la fréquence du chocolat ? ; C : J'ai 20 %, Qui a l'effectif du thé ? ; D : J'ai 18°, Qui a la fréquence du lait ? ; E : J'ai 35 %, Qui a l'angle de « rien » ? ; F : J'ai 6 élèves, Qui a l'angle du jus d'orange ? ; G : J'ai 10 élèves, Qui a la fréquence du thé ? ; H : J'ai 90°, Qui a l'effectif de « rien » ? ; I : J'ai 72°, Qui a la fréquence de « rien » ? ; J : J'ai 2 élèves, Qui a l'effectif du chocolat ? ; K : J'ai 5 %, Qui a l'effectif du jus d'orange ? A J'ai 14 élèves Qui a l'angle du lait ? B J'ai 15 % Qui a la fréquence du chocolat ? C J'ai 20 % Qui a l'effectif du thé ? D J'ai 18° Qui a la fréquence du lait ? E J'ai 35 % Qui a l'angle de « rien » ? F J'ai 6 élèves Qui a l'angle du jus d'orange ? G J'ai 10 élèves Qui a la fréquence du thé ? H J'ai 90° Qui a l'effectif de « rien » ? I J'ai 72° Qui a la fréquence de « rien » ? J J'ai 2 élèves Qui a l'effectif du chocolat ? K J'ai 5 % Qui a l'effectif du jus d'orange ?
Les onze cartes rangées dans l'ordre de la boucle : A, qui a 14 élèves, I, qui a 72°, K, qui a 5 %, G, qui a 10 élèves, B, qui a 15 %, E, qui a 35 %, D, qui a 18°, C, qui a 20 %, F, qui a 6 élèves, H, qui a 90°, J, qui a 2 élèves, puis retour en A A J'ai 14 élèves Qui a l'angle du lait ? I J'ai 72° Qui a la fréquence de « rien » ? K J'ai 5 % Qui a l'effectif du jus d'orange ? G J'ai 10 élèves Qui a la fréquence du thé ? B J'ai 15 % Qui a la fréquence du chocolat ? E J'ai 35 % Qui a l'angle de « rien » ? D J'ai 18° Qui a la fréquence du lait ? C J'ai 20 % Qui a l'effectif du thé ? F J'ai 6 élèves Qui a l'angle du jus d'orange ? H J'ai 90° Qui a l'effectif de « rien » ? J J'ai 2 élèves Qui a l'effectif du chocolat ? retour à la carte A
  1. Partir de la carte A et écrire les lettres dans l'ordre de la boucle, qui passe par les onze cartes.

    Le disque entier, \(360 \ [°]\), représente les \(40\) élèves, et \(100 \ \%\) aussi. Un élève compte donc pour :

    $$ 360 \div 40 = 9 \ [°] \quad \text{et} \quad 100 \div 40 = 2.5 \ \% $$

    Secteur par secteur :

    $$ \text{chocolat} : 126 \div 9 = 14 \ \text{élèves} \quad \text{et} \quad 14 \times 2.5 = 35 \ \% $$
    $$ \text{jus d'orange} : 25 \div 2.5 = 10 \ \text{élèves} \quad \text{et} \quad 10 \times 9 = 90 \ [°] $$
    $$ \text{lait} : 8 \times 9 = 72 \ [°] \quad \text{et} \quad 8 \times 2.5 = 20 \ \% $$
    $$ \text{thé} : 54 \div 9 = 6 \ \text{élèves} \quad \text{et} \quad 6 \times 2.5 = 15 \ \% $$

    Il reste pour « rien » :

    $$ 40 - 14 - 10 - 8 - 6 = 2 \ \text{élèves} \quad \text{soit} \quad 2 \times 9 = 18 \ [°] \quad \text{et} \quad 2 \times 2.5 = 5 \ \% $$

    Chaque carte appelle la suivante, et la dernière renvoie à A :

    $$ \mathrm{A} \to \mathrm{I} \to \mathrm{K} \to \mathrm{G} \to \mathrm{B} \to \mathrm{E} \to \mathrm{D} \to \mathrm{C} \to \mathrm{F} \to \mathrm{H} \to \mathrm{J} \to \mathrm{A} $$
  2. On passe à la 4e B, où \(24\) élèves ont répondu : \(9\) chocolat, \(6\) jus d'orange, \(4\) lait, \(3\) thé et \(2\) rien. Calculer l'angle de chaque secteur, puis construire le diagramme circulaire dans le disque : le dernier secteur doit fermer le disque.
    Un disque vierge de 4 cm de rayon : son centre est marqué, et un premier rayon est tracé vers le haut

    Un élève compte pour \(360 \div 24 = 15 \ [°]\) :

    $$ \text{chocolat} : 9 \times 15 = 135 \ [°] \hspace{2em} \text{jus d'orange} : 6 \times 15 = 90 \ [°] $$
    $$ \text{lait} : 4 \times 15 = 60 \ [°] \hspace{2em} \text{thé} : 3 \times 15 = 45 \ [°] \hspace{2em} \text{rien} : 2 \times 15 = 30 \ [°] $$

    On vérifie : \(135 + 90 + 60 + 45 + 30 = 360\). Le chocolat y prend \(135 \ [°]\), plus qu'en 4e A, avec pourtant moins d'élèves : un angle montre une part de la classe.

    Le diagramme circulaire de la 4e B : chocolat 135°, jus d'orange 90°, rien 30°, lait 60°, thé 45° chocolat 135° jus d'orange 90° rien 30° lait 60° thé 45° 4e B : 24 élèves

L'histogramme qui parle

Les \(28\) élèves d'une classe ont couru le \(50\) mètres. Voici leurs temps, en secondes.

Les 28 temps au 50 mètres, en secondes : 8.4 ; 7.9 ; 9.1 ; 8.6 ; 8.0 ; 9.5 ; 8.8 ; 7.2 ; 8.2 ; 9.0 ; 8.5 ; 7.7 ; 9.4 ; 8.9 ; 8.3 ; 7.5 ; 8.7 ; 9.8 ; 8.1 ; 8.6 ; 7.4 ; 9.3 ; 8.8 ; 8.2 ; 7.8 ; 8.9 ; 9.4 ; 8.4 8.4 7.9 9.1 8.6 8.0 9.5 8.8 7.2 8.2 9.0 8.5 7.7 9.4 8.9 8.3 7.5 8.7 9.8 8.1 8.6 7.4 9.3 8.8 8.2 7.8 8.9 9.4 8.4
  1. Ranger les \(28\) temps dans les six classes du tableau, puis compléter la ligne des effectifs.
    Un tableau à compléter : six classes de temps, de 7 à 10 secondes par pas de 0.5 seconde, et une ligne d'effectifs vide
    $$ \text{temps } t $$
     Effectif
    $$ 7 \leqslant t < 7.5 $$
    $$ 7.5 \leqslant t < 8 $$
    $$ 8 \leqslant t < 8.5 $$
    $$ 8.5 \leqslant t < 9 $$
    $$ 9 \leqslant t < 9.5 $$
    $$ 9.5 \leqslant t < 10 $$
    Le tableau des effectifs complété : 2, 4, 7, 8, 5 et 2 élèves, de la classe de 7 à 7.5 secondes à celle de 9.5 à 10 secondes
    $$ \text{temps } t $$
     Effectif
    $$ 7 \leqslant t < 7.5 $$
     2
    $$ 7.5 \leqslant t < 8 $$
     4
    $$ 8 \leqslant t < 8.5 $$
     7
    $$ 8.5 \leqslant t < 9 $$
     8
    $$ 9 \leqslant t < 9.5 $$
     5
    $$ 9.5 \leqslant t < 10 $$
     2

    Cinq temps tombent pile sur une borne : \(7.5\), \(8\), \(8.5\), \(9\) et \(9.5\). Chacun va dans la classe qui commence par lui, par exemple \(8.0\) dans la classe \(8 \leqslant t < 8.5\).

    On vérifie que personne n'est oublié : \(2 + 4 + 7 + 8 + 5 + 2 = 28\).

  2. Colorier l'histogramme sur la grille, une case par élève en partant du bas, puis lire les lettres coloriées ligne par ligne, de haut en bas et de gauche à droite : elles forment une phrase.
    Une grille de six colonnes, une par classe de temps de 7 à 10 secondes, et de dix lignes, une par élève ; chaque case porte une lettre C H A Q U E D I X I E M E D E S E C O N D E C O M P T E N T N N S U R L S O P M L J N Y K G T P F M E N P M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 temps (s) élèves
    L'histogramme colorié sur la grille de lettres : six rectangles de hauteurs 2, 4, 7, 8, 5 et 2 ; lues de haut en bas, les lettres coloriées forment CHAQUE DIXIÈME DE SECONDE COMPTE C H A Q U E D I X I E M E D E S E C O N D E C O M P T E N T N N S U R L S O P M L J N Y K G T P F M E N P M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 temps (s) élèves

    La phrase cachée : « Chaque dixième de seconde compte. » Une colonne trop haute ou trop basse d'une seule case ajoute ou retire une lettre, et la phrase ne se lit plus.

  3. Le professeur affirme : « La moitié de la classe a couru en moins de \(8.5 \ \text{s}\). » Dire s'il a raison, puis calculer la fraction de la classe qui a mis \(9 \ \text{s}\) ou plus.

    Moins de \(8.5 \ \text{s}\), ce sont les trois premières classes :

    $$ 2 + 4 + 7 = 13 $$

    Or la moitié de \(28\) vaut \(14\) : il manque un élève, le professeur a tort.

    \(9 \ \text{s}\) ou plus, ce sont les deux dernières classes :

    $$ \frac{5 + 2}{28} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4} $$

L'enquête en morceaux

On a demandé à \(60\) élèves de 4e comment ils viennent au collège. Les réponses ont été publiées en trois morceaux : deux diagrammes, et une phrase.

Indice 1 : diagramme en barres des 60 élèves selon leur trajet, un carreau pour un élève : à pied 18, bus 18, vélo 9, voiture 15. Indice 2 : diagramme circulaire des filles seules, sans leur nombre : à pied 135°, bus 90°, vélo 45°, voiture 90° à pied bus vélo voiture 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 élèves Indice 1 : les 60 élèves à pied 135° bus 90° vélo 45° voiture 90° Indice 2 : les filles

Indice 3 : les filles représentent \(40 \ \%\) des élèves interrogés.

  1. Compléter le tableau à double entrée à l'aide des trois indices. Il n'y a qu'un tableau possible ; pour le vérifier, deux fois plus de garçons que de filles viennent en bus.
    Un tableau à double entrée vide : en lignes filles, garçons et total ; en colonnes à pied, bus, vélo, voiture et total à pied bus vélo voiture total filles garçons total
    Le tableau complété. Filles : à pied 9, bus 6, vélo 3, voiture 6, total 24. Garçons : 9, 12, 6, 9, total 36. Total : 18, 18, 9, 15, et 60 élèves à pied bus vélo voiture total filles 9 6 3 6 24 garçons 9 12 6 9 36 total 18 18 9 15 60

    L'indice 1 donne la ligne du total, l'indice 3 le nombre de filles :

    $$ 60 \times \frac{40}{100} = 24 \ \text{filles} \quad \text{et} \quad 60 - 24 = 36 \ \text{garçons} $$

    Le disque des filles représente ces \(24\) filles, soit \(360 \div 24 = 15 \ [°]\) par fille :

    $$ 135 \div 15 = 9 \hspace{2em} 90 \div 15 = 6 \hspace{2em} 45 \div 15 = 3 \hspace{2em} 90 \div 15 = 6 $$

    La ligne des garçons s'obtient par différence avec le total, par exemple pour le bus \(18 - 6 = 12\). Elle redonne bien \(36\) garçons, et \(12\) est le double de \(6\).

  2. On passe au diagramme circulaire des garçons. Calculer l'angle de chacun de ses secteurs, puis vérifier que leur somme vaut \(360 \ [°]\).

    Le disque représente les \(36\) garçons, soit \(360 \div 36 = 10 \ [°]\) par garçon :

    $$ \text{à pied} : 90 \ [°] \hspace{2em} \text{bus} : 120 \ [°] \hspace{2em} \text{vélo} : 60 \ [°] \hspace{2em} \text{voiture} : 90 \ [°] $$

    On vérifie : \(90 + 120 + 60 + 90 = 360\).

  3. Autant de filles que de garçons viennent à pied, et pourtant leurs deux secteurs « à pied » n'ont pas le même angle. À l'inverse, leurs secteurs « voiture » ont le même angle, pour des effectifs différents. Expliquer ces deux constats.

    Un angle montre la part d'un groupe, pas un effectif. Les \(9\) filles à pied forment une plus grande part des \(24\) filles que les \(9\) garçons à pied des \(36\) garçons :

    $$ \frac{9}{24} = \frac{3}{8} \quad \text{et} \quad \frac{9}{36} = \frac{1}{4} $$

    En voiture, \(6\) filles sur \(24\) et \(9\) garçons sur \(36\) font la même part :

    $$ \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = \frac{9}{36} $$

    Pour comparer des effectifs, il faut un diagramme en barres ; deux diagrammes circulaires comparent des parts.