Problèmes sur la représentation de données

Lire un tableau à double entrée

Le tableau suivant donne la répartition des \(180\) élèves d'un collège selon leur niveau et leur régime.

1. Compléter les deux cases manquantes du tableau.

   Demi-pensionnaires de quatrième, puis total des demi-pensionnaires :

   $$ 90 - 36 = 54 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 63 + 54 = 117 $$

   On vérifie avec la dernière ligne : \(63 + 117 = 180\).

   $$ 54 \quad \text{et} \quad 117 $$
2. Quelle est la fréquence des élèves externes dans l'ensemble du collège ? Exprimer le résultat en pourcentage.

   Le collège compte \(63\) externes sur \(180\) élèves :

   $$ \frac{63}{180} = 0.35 $$

   $$ 35 \ \% $$
3. Parmi les seuls élèves de quatrième, quelle est la fréquence des demi-pensionnaires ?

   On ne regarde plus que la ligne des quatrièmes : \(54\) demi-pensionnaires sur \(90\) élèves.

   $$ \frac{54}{90} = 0.6 $$

   $$ 60 \ \% $$

Préparer un diagramme circulaire

Une classe de \(30\) élèves a choisi une activité : \(12\) le théâtre, \(9\) la musique, \(6\) le sport et \(3\) la peinture.

1. Calculer la fréquence de chaque activité, en pourcentage.
   $$ \text{théâtre} : \frac{12}{30} = 0.4 \hspace{2em} \text{musique} : \frac{9}{30} = 0.3 \hspace{2em} \text{sport} : \frac{6}{30} = 0.2 \hspace{2em} \text{peinture} : \frac{3}{30} = 0.1 $$

   $$ 40 \ \% \hspace{2em} 30 \ \% \hspace{2em} 20 \ \% \hspace{2em} 10 \ \% $$
2. Calculer l'angle du secteur correspondant à chaque activité.

   Le disque entier, \(360°\), représente les \(30\) élèves. Un élève correspond donc à \(360° \div 30 = 12°\).

   $$ \text{théâtre} : 12 \times 12° \hspace{2em} \text{musique} : 9 \times 12° \hspace{2em} \text{sport} : 6 \times 12° \hspace{2em} \text{peinture} : 3 \times 12° $$

   $$ 144° \hspace{2em} 108° \hspace{2em} 72° \hspace{2em} 36° $$
3. Vérifier que la somme des angles trouvés vaut bien \(360°\).
   $$ 144° + 108° + 72° + 36° = 360° $$

Choisir la bonne représentation

Un journal doit publier trois informations différentes, puis répondre à la question d'un lecteur.

1. Première information : la répartition du budget d'une commune en cinq postes. Quelle représentation choisir ? Pourquoi ?

   Il s'agit de montrer comment un tout se partage : le diagramme circulaire convient, chaque secteur montrant la part d'un poste dans le budget total.

2. Deuxième information : l'évolution de la population d'une ville de 1950 à 2020. Quelle représentation choisir ?

   Il s'agit d'une évolution dans le temps : un graphique en ligne, avec les années en abscisse et la population en ordonnée, montre d'un coup d'œil les hausses et les baisses.

3. Troisième information : le nombre d'élèves par classe dans un collège. Quelle représentation choisir ?

   Il s'agit de comparer des effectifs entre classes : un diagramme en barres, une barre par classe, permet de voir tout de suite les classes les plus chargées.

4. Un lecteur demande : un diagramme circulaire peut-il représenter une évolution dans le temps ? Justifier.

   Non. Un diagramme circulaire montre les parts d'un tout à un moment donné ; ses secteurs n'ont pas d'ordre, et on ne peut pas y lire une valeur qui monte ou qui descend d'une année à l'autre.

Le diagramme de Tom

On a demandé à \(40\) élèves leur moyen de transport pour venir au collège.

Tom a représenté ces données par le diagramme circulaire suivant.

1. Calculer l'angle qui représente un seul élève.

   Les \(360°\) du disque représentent les \(40\) élèves :

   $$ 360° \div 40 $$

   $$ 9° \ \text{par élève} $$
2. Calculer l'angle que devrait avoir chacun des quatre secteurs.
   $$ \text{bus} : 18 \times 9° \hspace{2em} \text{vélo} : 10 \times 9° \hspace{2em} \text{voiture} : 8 \times 9° \hspace{2em} \text{à pied} : 4 \times 9° $$

   $$ 162° \hspace{2em} 90° \hspace{2em} 72° \hspace{2em} 36° $$
3. Repérer l'erreur de Tom dans son diagramme.

   Les secteurs du bus et de la marche à pied sont justes. Mais Tom a donné \(72°\) au vélo et \(90°\) à la voiture : il a inversé les deux étiquettes.

4. Sans aucun calcul, comment pouvait-on voir que ce diagramme était faux ?

   Plus d'élèves viennent à vélo (\(10\)) qu'en voiture (\(8\)) : le secteur du vélo doit donc être plus grand que celui de la voiture. Sur le diagramme de Tom, c'est l'inverse.

Le club qui grandit

Pour son assemblée générale, un club de judo présente le nombre de ses adhérents depuis 2021.

1. Le président affirme : « Le nombre d'adhérents a augmenté chaque année. » Trancher à l'aide du diagramme.

   De 2022 à 2023, le club est passé de \(125\) à \(120\) adhérents : il en a perdu \(5\).

   $$ \text{le président a tort} $$
2. Calculer la hausse de 2023 à 2024, puis celle de 2024 à 2025 : en nombre d'adhérents, puis en pourcentage.

   De 2023 à 2024 :

   $$ 150 - 120 = 30 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{30}{120} = 0.25 = 25 \ \% $$

   De 2024 à 2025 :

   $$ 180 - 150 = 30 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{30}{150} = 0.2 = 20 \ \% $$

   $$ + 30 \ \text{adhérents chaque fois, soit } + 25 \ \% \ \text{puis } + 20 \ \% $$
3. Le trésorier affirme : « Le club a progressé autant de 2023 à 2024 que de 2024 à 2025. » A-t-il raison ? Répondre selon l'indicateur choisi.

   En nombre d'adhérents, oui : \(30\) de plus chaque fois. En pourcentage, non : ces \(30\) adhérents pèsent plus sur \(120\) que sur \(150\), et la hausse passe de \(25 \ \%\) à \(20 \ \%\).

4. Si la hausse en pourcentage de 2024 à 2025 se reproduit l'année suivante, combien le club comptera-t-il d'adhérents en 2026 ?

   Une hausse de \(20 \ \%\) revient à multiplier par \(1.2\) :

   $$ 180 \times 1.2 $$

   $$ 216 \ \text{adhérents} $$

L'autonomie des deux téléphones

La marque du téléphone B publie ce graphique pour comparer l'autonomie de son téléphone en lecture vidéo à celle du téléphone A.

1. Lire l'autonomie de chaque téléphone. En comptant les graduations, combien de fois la barre du téléphone B est-elle plus haute que celle du téléphone A ?

   Le téléphone A tient \(20 \ \text{h}\), le téléphone B \(24 \ \text{h}\). L'axe part de \(18\) : la barre du A monte de \(18\) à \(20\), celle du B de \(18\) à \(24\).

   $$ \frac{24 - 18}{20 - 18} = \frac{6}{2} $$

   $$ 3 \ \text{fois plus haute} $$
2. Calculer combien de fois l'autonomie du téléphone B est réellement plus grande que celle du A, puis l'écart en pourcentage. Quel procédé rend le graphique trompeur ?
   $$ \frac{24}{20} = 1.2 $$

   Multiplier par \(1.2\), c'est ajouter \(20 \ \%\) :

   $$ 1.2 \ \text{fois plus} \hspace{2em} \text{soit} \hspace{2em} + 20 \ \% $$

   L'axe vertical ne commence pas à \(0\) mais à \(18\) : les \(18\) premières heures, communes aux deux téléphones, sont coupées, et le dessin ne montre plus que le haut des barres. Avec un axe qui part de \(0\), les deux barres ont presque la même hauteur :

3. La marque B veut maintenant que sa barre paraisse cinq fois plus haute que celle du téléphone A. À quelle valeur doit-elle faire commencer l'axe ?

   Quel que soit le début de l'axe, la barre du B dépasse celle du A de \(24 - 20 = 4\) heures. Si la barre du A montre \(h\) heures, celle du B en montre \(h + 4\) ; pour qu'elle soit cinq fois plus haute :

   $$ h + 4 = 5h \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} 4 = 4h \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} h = 1 $$

   La barre du A ne doit plus montrer qu'une heure : l'axe commence à \(20 - 1\).

   $$ 19 \ \text{h} $$

   Vérification : les barres montent de \(19\) à \(20\) et de \(19\) à \(24\), soit \(1\) graduation et \(5\) graduations.

4. Prouver qu'en choisissant bien le début de l'axe, la marque B peut faire paraître sa barre autant de fois plus haute qu'elle le veut, mais jamais moins de \(1.2\) fois plus haute tant que l'axe commence à \(0\) ou au-dessus. On pourra noter \(h\) le nombre d'heures que montre la barre du téléphone A.

   La barre du B montre toujours \(4\) heures de plus que celle du A, donc \(h + 4\) heures.

   Autant de fois qu'elle le veut : pour une barre \(k\) fois plus haute, avec \(k\) plus grand que \(1\), il faut \(h + 4 = k \times h\), c'est-à-dire \(4 = k \times h - h = (k - 1) \times h\) :

   $$ h = \frac{4}{k - 1} $$

   L'axe commence alors à \(20 - h\). Par exemple, pour \(k = 100\), \(h = \frac{4}{99} \approx 0.04\) : l'axe commence vers \(19.96 \ \text{h}\), et la barre du B paraît cent fois plus haute.

   Jamais moins de \(1.2\) fois : si l'axe commence à \(0\) ou au-dessus, la barre du A montre au plus \(20\) heures, donc \(h \leqslant 20\). Le rapport des hauteurs s'écrit :

   $$ \frac{h + 4}{h} = 1 + \frac{4}{h} $$

   Plus \(h\) est petit, plus \(\frac{4}{h}\) est grand : avec \(h \leqslant 20\), on a \(\frac{4}{h} \geqslant \frac{4}{20} = 0.2\).

   $$ \frac{h + 4}{h} \geqslant 1.2 $$

   Couper l'axe ne peut donc qu'exagérer l'écart : seul l'axe qui commence à \(0\) montre le vrai rapport.

Les écrans du soir

Le journal du collège a interrogé \(50\) élèves qui utilisent au moins un écran le soir : chacun a coché, dans une liste, tous les écrans qu'il utilise. Le diagramme donne le pourcentage d'élèves qui ont coché chaque écran.

1. Léna veut représenter ces résultats par un diagramme circulaire. Calculer la somme des pourcentages, puis expliquer pourquoi c'est impossible. Le diagramme en barres, lui, convient-il ?
   $$ 70 + 44 + 26 + 20 $$

   $$ 160 \ \% $$

   Les secteurs d'un diagramme circulaire partagent un tout sans se chevaucher : leurs pourcentages font \(100 \ \%\) et leurs angles \(360°\). Ici, les angles feraient \(1.6 \times 360° = 576°\) : les élèves qui ont coché plusieurs écrans sont comptés plusieurs fois.

   Chaque barre, elle, se lit seule, sans que les autres aient à compléter un tout : le diagramme en barres convient.

2. Calculer le nombre d'élèves qui ont coché chaque écran, puis le nombre total de cases cochées. Combien d'élèves, au plus, ont coché plusieurs écrans ? Donner une répartition qui atteint ce nombre.
   $$ 0.7 \times 50 = 35 \hspace{2em} 0.44 \times 50 = 22 \hspace{2em} 0.26 \times 50 = 13 \hspace{2em} 0.2 \times 50 = 10 $$

   $$ 35 + 22 + 13 + 10 = 80 \ \text{cases cochées} $$

   Chaque élève coche au moins une case : les \(50\) élèves en cochent \(50\), et les \(80 - 50 = 30\) cases en plus viennent des élèves qui cochent plusieurs écrans, chacun au moins une case en plus. Ces élèves sont donc au plus \(30\).

   $$ 30 \ \text{élèves au plus} $$

   Ce nombre est atteint, par exemple, avec \(30\) élèves qui cochent deux écrans :

   Écrans cochés	Élèves
   téléphone et télévision	\(22\)
   téléphone et console	\(8\)
   téléphone seul	\(5\)
   console seule	\(5\)
   ordinateur seul	\(10\)

   Vérification : \(22 + 8 + 5 = 35\) téléphones, \(22\) télévisions, \(8 + 5 = 13\) consoles, \(10\) ordinateurs, et \(22 + 8 + 5 + 5 + 10 = 50\) élèves.

3. Combien d'élèves, au minimum, ont coché plusieurs écrans ? Prouver qu'il ne peut pas y en avoir moins, et donner une répartition qui atteint ce nombre.

   Un élève coche au plus les \(4\) écrans, donc au plus \(3\) cases en plus. Pour fournir les \(30\) cases en plus, il faut au moins :

   $$ 30 \div 3 = 10 $$

   $$ 10 \ \text{élèves au moins} $$

   Ce nombre est atteint si \(10\) élèves cochent les quatre écrans :

   Écrans cochés	Élèves
   les quatre écrans	\(10\)
   téléphone seul	\(25\)
   télévision seule	\(12\)
   console seule	\(3\)

   Vérification : \(10 + 25 = 35\) téléphones, \(10 + 12 = 22\) télévisions, \(10 + 3 = 13\) consoles, \(10\) ordinateurs, et \(10 + 25 + 12 + 3 = 50\) élèves.

4. Le journal apprend qu'aucun élève n'a coché à la fois la console et l'ordinateur. Combien d'élèves, au minimum, ont alors coché plusieurs écrans ? Le journal peut-il titrer : « La majorité des élèves n'utilise qu'un seul écran le soir » ? Trancher.

   Un élève coche maintenant au plus \(3\) écrans : le téléphone, la télévision, et la console ou l'ordinateur. Il apporte au plus \(2\) cases en plus :

   $$ 30 \div 2 = 15 $$

   $$ 15 \ \text{élèves au moins} $$

   Ce nombre est atteint, par exemple, avec cette répartition :

   Écrans cochés	Élèves
   téléphone, télévision et console	\(10\)
   téléphone, télévision et ordinateur	\(5\)
   téléphone seul	\(20\)
   télévision seule	\(7\)
   console seule	\(3\)
   ordinateur seul	\(5\)

   Vérification : \(15 + 20 = 35\) téléphones, \(15 + 7 = 22\) télévisions, \(10 + 3 = 13\) consoles, \(5 + 5 = 10\) ordinateurs, et \(15 + 20 + 7 + 3 + 5 = 50\) élèves.

   Ici, \(50 - 15 = 35\) élèves n'utilisent qu'un écran, plus de la moitié. Mais la répartition de la question 2 respecte aussi la nouvelle information, puisque personne n'y coche la console avec l'ordinateur : \(50 - 30 = 20\) élèves seulement n'y utilisent qu'un écran, moins de la moitié.

   $$ \text{le journal ne peut pas conclure} $$