Les fonctions

Les programmes de calcul

Un programme de calcul

Un programme de calcul est une suite d'opérations à appliquer, dans l'ordre, à un nombre de départ.

Prenons le programme suivant :

choisir un nombre
le multiplier par $3$
ajouter $4$ au résultat

Appliqué au nombre $5$, il donne :

$$ 5 \longrightarrow 5 \times 3 = 15 \longrightarrow 15 + 4 = 19 $$

Appliquer un programme à une variable

Pour décrire le programme une fois pour toutes , on remplace le nombre de départ par une lettre. Le résultat s'écrit alors sous la forme d'une expression littérale.

$$ x \longrightarrow 3x \longrightarrow 3x + 4 $$

L'expression $3x + 4$ résume le programme entier : elle vaut pour n'importe quel nombre de départ . En remplaçant $x$ par $5$, on retrouve bien $19$.

Remonter un programme de calcul

Connaissant le résultat, on retrouve le nombre de départ en appliquant les opérations inverses , et en les prenant dans l'ordre inverse .

Quel nombre de départ donne $25$ ? On remonte le programme :

$$ 25 \longrightarrow 25 - 4 = 21 \longrightarrow 21 \div 3 = 7 $$

$$ \text{Le nombre de départ est } 7 $$

On vérifie : $7 \times 3 + 4 = 25$.

La dépendance entre deux grandeurs

Grandeur dépendante

Une grandeur dépend d'une autre lorsque la donnée de la seconde suffit à déterminer la première, sans ambiguïté.

Dans un magasin, un article coûte $1{,}50\ \text{€}$ l'unité, et la livraison coûte $2\ \text{€}$ quel que soit le nombre d'articles. Le prix total dépend du nombre d'articles achetés .

On traduit cette dépendance par une formule , où $x$ désigne le nombre d'articles :

$$ \text{prix} = 1{,}5 \times x + 2 \qquad \bigl[\text{€}\bigr] $$

Produire une telle formule, c'est exprimer une grandeur en fonction d'une autre. La lettre $x$ est la grandeur dont tout dépend : on l'appelle la variable .

Le tableau de valeurs

En remplaçant $x$ par plusieurs valeurs, on dresse un tableau qui décrit la dépendance point par point :

Nombre d'articles $x$	$0$	$1$	$2$	$4$	$6$
Prix (en €)	$2$	$3{,}5$	$5$	$8$	$11$

Le prix à payer selon le nombre d'articles

Cette situation n'est pas une situation de proportionnalité : doubler le nombre d'articles ne double pas le prix, à cause des 2 € de livraison qui ne dépendent pas de la quantité.

La représentation graphique

Chaque couple du tableau donne un point : la valeur de $x$ en abscisse , la grandeur qui en dépend en ordonnée . En plaçant tous ces points, on obtient la représentation graphique de la situation.

Le prix à payer en fonction du nombre d'objets achetés

Lire un graphique

Le graphique répond aux deux questions inverses l'une de l'autre :

partant d'une valeur en abscisse , on monte jusqu'à la courbe puis on lit l'ordonnée : c'est le prix correspondant ;
partant d'une valeur en ordonnée , on rejoint la courbe puis on lit l'abscisse : c'est le nombre d'articles correspondant.

Sur la figure, les pointillés partent de $4$ articles et aboutissent à $8\ \text{€}$, ce qui redonne bien la valeur du tableau .

Une lecture graphique ne donne qu'une valeur approchée : seul le calcul avec la formule donne le résultat exact.