Les fonctions en quatrième

Un programme de calcul, une formule, un tableau, un graphique : quatre façons de décrire le même lien.

À $50 \ \text{km/h}$, une voiture s'arrête en $28 \ \text{m}$ ; à $90 \ \text{km/h}$, il lui en faut $70$.

La distance n'est pas proportionnelle à la vitesse.

Une fonction relie deux grandeurs : à chaque valeur de l'une correspond une seule valeur de l'autre.

Les programmes de calcul

Un programme de calcul est une suite d'opérations à appliquer, dans l'ordre, à un nombre de départ.

Prenons le programme suivant :

Avec $5$ :

$$ 5 \longrightarrow 5 \times 3 = 15 \longrightarrow 15 + 4 = 19 $$

Pour décrire le programme une fois pour toutes, on remplace le nombre de départ par une lettre : le résultat est une expression littérale.

$$ x \longrightarrow 3x \longrightarrow 3x + 4 $$

Pour $x = 5$, on retrouve $19$.

Pour retrouver le nombre de départ, on applique les opérations inverses dans l'ordre inverse.

Quel nombre de départ donne $25$ ? On remonte le programme :

$$ 25 \longrightarrow 25 - 4 = 21 \longrightarrow 21 \div 3 = 7 $$

$$ \text{Le nombre de départ est } 7 $$

On vérifie : $7 \times 3 + 4 = 25$.

Une grandeur dépend d'une autre lorsque la donnée de la seconde suffit à déterminer la première.

Un article coûte $1.50\ \text{€}$, et la livraison $2\ \text{€}$ quel que soit le nombre d'articles. Le prix total dépend du nombre d'articles.

On traduit cette dépendance par une formule, où $x$ désigne le nombre d'articles :

$$ \text{prix} = 1.5 \times x + 2 \hspace{2em} \bigl[\text{€}\bigr] $$

Une telle formule exprime une grandeur en fonction d'une autre. $x$ est la variable.

En remplaçant $x$ par plusieurs valeurs, on dresse un tableau point par point :

Nombre d'articles $x$	$0$	$1$	$2$	$4$	$6$
Prix (en €)	$2$	$3.5$	$5$	$8$	$11$

Prix selon le nombre d'articles

Ce n'est pas une situation de proportionnalité, à cause des $2\ \text{€}$ de livraison.

Chaque couple du tableau donne un point : la valeur de $x$ en abscisse, le prix en ordonnée. Ces points forment la représentation graphique.

Le graphique répond aux deux questions inverses l'une de l'autre :

partant d'une valeur en abscisse, on monte à la courbe et on lit l'ordonnée : le prix ;
partant d'une valeur en ordonnée, on rejoint la courbe et on lit l'abscisse : le nombre d'articles.

Sur la figure, $4$ articles mènent à $8\ \text{€}$, comme dans le tableau.

Une lecture graphique est approchée ; la formule donne la valeur exacte.