Problèmes sur les fonctions

Un programme de calcul

On considère le programme de calcul suivant :

1. choisir un nombre ;
2. le multiplier par \(5\) ;
3. retirer \(3\) au résultat.

1. Appliquer ce programme au nombre \(7\).
   $$ 7 \longrightarrow 7 \times 5 = 35 \longrightarrow 35 - 3 = 32 $$

   $$ 32 $$
2. En appelant \(x\) le nombre de départ, écrire l'expression obtenue à la fin du programme.
   $$ x \longrightarrow 5x \longrightarrow 5x - 3 $$

   $$ 5x - 3 $$

   En remplaçant \(x\) par \(7\), on retrouve bien \(5 \times 7 - 3 = 32\).

3. Quel nombre de départ donne \(42\) comme résultat ?

   On remonte le programme : opérations inverses, dans l'ordre inverse.

   $$ 42 \longrightarrow 42 + 3 = 45 \longrightarrow 45 \div 5 = 9 $$

   $$ \text{le nombre de départ est } 9 $$

   On vérifie : \(9 \times 5 - 3 = 42\).

La location d'un vélo

Un loueur demande \(4 \ \text{€}\) de forfait, auxquels s'ajoutent \(2 \ \text{€}\) par heure de location.

1. Calculer le prix à payer pour \(3\) heures de location.
   $$ 4 + 2 \times 3 = 4 + 6 $$

   $$ 10 \ \text{€} $$
2. Exprimer le prix \(P\) à payer en fonction du nombre \(h\) d'heures de location.

   On remplace les \(3\) heures du calcul précédent par \(h\) :

   $$ P = 2h + 4 \hspace{2em} \bigl[\text{€}\bigr] $$
3. Avec \(20 \ \text{€}\), combien d'heures peut-on louer le vélo ?

   On remonte le calcul : on retire le forfait, puis on divise par le prix d'une heure.

   $$ 20 - 4 = 16 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 16 \div 2 = 8 $$

   $$ 8 \ \text{heures} $$

   On vérifie : \(2 \times 8 + 4 = 20\).

4. Le prix est-il proportionnel à la durée de location ? Justifier.

   Non. Pour \(1\) heure on paie \(6 \ \text{€}\), pour \(2\) heures \(8 \ \text{€}\) : doubler la durée ne double pas le prix.

   C'est le forfait de \(4 \ \text{€}\), payé quelle que soit la durée, qui empêche la proportionnalité.

L'aire d'un carré

On s'intéresse à l'aire d'un carré, exprimée en fonction de la longueur de son côté.

1. Compléter le tableau de valeurs suivant.

   Côté \(c\) (en cm)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
   Aire \(\mathcal{A}\) (en cm²)

   L'aire d'un carré est le produit de son côté par lui-même :

   Côté \(c\) (en cm)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
   Aire \(\mathcal{A}\) (en cm²)	\(1\)	\(4\)	\(9\)	\(16\)	\(25\)

2. L'aire est-elle proportionnelle au côté ? Justifier à l'aide du tableau.

   Non. Quand le côté passe de \(1\) à \(2 \ \text{cm}\), il double, mais l'aire passe de \(1\) à \(4 \ \text{cm}^2\) : elle est multipliée par \(4\).

   $$ \frac{1}{1} = 1 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{4}{2} = 2 $$

   Les quotients ne sont pas égaux : il n'y a pas de coefficient de proportionnalité.

3. Exprimer l'aire \(\mathcal{A}\) en fonction du côté \(c\).
   $$ \mathcal{A} = c \times c = c^2 $$
4. Quel côté donne une aire de \(49 \ \text{cm}^2\) ?

   On cherche un nombre positif dont le carré vaut \(49\) : \(7 \times 7 = 49\).

   $$ c = 7 \ \text{cm} $$

Quelle formule pour ce tableau ?

Une grandeur \(y\) dépend d'une grandeur \(x\). On connaît quelques valeurs :

Trois formules sont proposées :

1. Tester chacune des trois formules sur le tableau, et choisir la bonne.

   Pour \(x = 0\), \(y = 3x + 2\) donne \(2\) et \(y = 5x\) donne \(0\), au lieu de \(3\) : ces deux formules sont fausses.

   La formule \(y = 2x + 3\) donne \(3\), \(5\), \(7\) et \(9\) pour \(x = 0\), \(1\), \(2\) et \(3\) : elle convient pour toutes les colonnes.

   $$ y = 2x + 3 $$
2. Écrire en mots le programme de calcul que traduit cette même formule.

   Choisir un nombre, le multiplier par \(2\), puis ajouter \(3\) au résultat.

3. Mehdi a choisi \(y = 5x\), parce qu'elle donne bien \(5\) pour \(x = 1\). Expliquer son erreur.

   Mehdi n'a testé qu'une colonne. Une formule doit convenir pour toutes les valeurs du tableau : pour \(x = 2\), \(y = 5x\) donne \(10\) et non \(7\).

Deux loueurs de vélos

On revient au loueur de vélos : \(4 \ \text{€}\) de forfait, puis \(2 \ \text{€}\) par heure. Un concurrent, installé en face, demande \(3 \ \text{€}\) par heure, sans forfait. Le graphique représente le prix à payer chez chacun en fonction de la durée de location.

1. Exprimer le prix \(Q\) à payer chez le concurrent en fonction du nombre \(h\) d'heures de location.
   $$ Q = 3h \hspace{2em} \bigl[\text{€}\bigr] $$

   Sans forfait, ce prix-là est proportionnel à la durée.

2. Laquelle des deux droites représente le prix chez le concurrent ? Justifier.

   Pour \(0\) heure, le concurrent ne demande rien : sa droite passe par l'origine du repère. La droite \((d_1)\) part de \(4 \ \text{€}\), le forfait du premier loueur.

   $$ \text{le concurrent est représenté par } (d_2) $$
3. Lire sur le graphique la durée pour laquelle les deux loueurs demandent le même prix, puis la vérifier par le calcul.

   Les deux droites se coupent au point d'abscisse \(4\) et d'ordonnée \(12\). On vérifie avec les deux formules :

   $$ P = 2 \times 4 + 4 = 12 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} Q = 3 \times 4 = 12 $$

   $$ 4 \ \text{heures, pour } 12 \ \text{€ chez chacun} $$
4. Trancher : quel loueur choisir pour une location de \(3\) heures ? et pour une location de \(6\) heures ?
   $$ 3 \ \text{h} : \ P = 10 \ \text{€} \quad \text{et} \quad Q = 9 \ \text{€} \hspace{2em} \hspace{2em} 6 \ \text{h} : \ P = 16 \ \text{€} \quad \text{et} \quad Q = 18 \ \text{€} $$

   Avant \(4\) heures, la droite \((d_2)\) est en dessous ; après, c'est \((d_1)\).

   $$ 3 \ \text{h} : \text{le concurrent} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 6 \ \text{h} : \text{le premier loueur} $$

La mare du jardin

Lina remplit sa mare vide avec un tuyau d'arrosage, dont le débit ne change pas. Vue en coupe, la mare a deux niveaux aux parois verticales : une partie haute, et au fond une fosse plus étroite.

Le graphique donne la hauteur d'eau dans la mare en fonction de la durée de remplissage.

1. Lire sur le graphique la profondeur de la mare et la durée du remplissage, puis la hauteur d'eau au bout de \(5\) minutes et la durée nécessaire pour atteindre \(50 \ \text{cm}\).

   La courbe s'arrête au point d'abscisse \(20\) et d'ordonnée \(60\) : la mare est pleine au bout de \(20\) minutes.

   $$ \text{profondeur} : 60 \ \text{cm} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{remplissage} : 20 \ \text{min} $$

   Au point d'abscisse \(5\), on lit l'ordonnée \(20\) ; l'ordonnée \(50\) est atteinte au point d'abscisse \(15\).

   $$ 5 \ \text{min} : 20 \ \text{cm} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 50 \ \text{cm} : 15 \ \text{min} $$
2. La hauteur d'eau est-elle proportionnelle à la durée de remplissage ? Expliquer, à l'aide de la coupe, pourquoi le graphique change de direction au bout de \(10\) minutes.

   Non : en \(10\) minutes l'eau monte à \(40 \ \text{cm}\), mais en \(20\) minutes elle n'atteint que \(60 \ \text{cm}\), et non \(80 \ \text{cm}\).

   $$ \frac{40}{10} = 4 \ \text{cm/min} \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} \frac{60 - 40}{20 - 10} = 2 \ \text{cm/min} $$

   $$ \text{l'eau monte de } 4 \ \text{cm par minute, puis de } 2 \ \text{cm par minute} $$

   Au bout de \(10\) minutes, la fosse, profonde de \(40 \ \text{cm}\), est pleine. La même quantité d'eau par minute s'étale ensuite dans la partie haute, plus large : elle y monte deux fois moins vite, car sa surface est deux fois plus grande.

3. Le tuyau débite \(20\) litres par minute. Calculer, en \(\text{m}^2\), l'aire de la surface de l'eau dans la fosse, puis dans la partie haute. On rappelle que \(1 \ \text{L} = 1 \ \text{dm}^3\).

   En \(10\) minutes, le tuyau verse \(20 \times 10 = 200 \ \text{L}\), soit \(200 \ \text{dm}^3\), qui remplissent la fosse sur \(40 \ \text{cm} = 4 \ \text{dm}\) de hauteur. Aux parois verticales, le volume est l'aire de la base multipliée par la hauteur :

   $$ 200 \div 4 = 50 \ \text{dm}^2 $$

   Les \(200 \ \text{L}\) suivants montent de \(20 \ \text{cm} = 2 \ \text{dm}\) dans la partie haute :

   $$ 200 \div 2 = 100 \ \text{dm}^2 $$

   $$ \text{fosse} : 0.5 \ \text{m}^2 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{partie haute} : 1 \ \text{m}^2 $$

   On retrouve une surface deux fois plus grande en haut, comme à la question précédente.

4. Pour la nettoyer, Lina vide ensuite la mare pleine avec une pompe qui retire \(10\) litres par minute. Tracer la hauteur d'eau en fonction de la durée de vidange, puis trouver au bout de combien de temps l'eau est à \(30 \ \text{cm}\).

   L'eau baisse d'abord dans la partie haute : ses \(100 \ \text{dm}^2 \times 2 \ \text{dm} = 200 \ \text{L}\) se vident en \(200 \div 10 = 20\) minutes, de \(60\) à \(40 \ \text{cm}\). Les \(200 \ \text{L}\) de la fosse se vident en \(20\) minutes de plus, de \(40 \ \text{cm}\) à \(0\) : la hauteur baisse deux fois plus vite.

   Pour descendre de \(40\) à \(30 \ \text{cm}\), il faut vider \(1 \ \text{dm}\) de fosse, soit \(50 \ \text{dm}^2 \times 1 \ \text{dm} = 50 \ \text{L}\), en \(5\) minutes :

   $$ 20 + 5 $$

   $$ 25 \ \text{min} $$

   Vérification : en \(25\) minutes, la pompe retire \(250 \ \text{L}\) des \(400 \ \text{L}\) de la mare pleine. Les \(150 \ \text{L}\) qui restent sont tous dans la fosse, sur une hauteur de \(150 \div 50 = 3 \ \text{dm}\).

La fusée à eau

Au club de sciences, on lance une fusée à eau à la verticale. Sa hauteur \(h\), en mètres, au bout de \(t\) secondes, est donnée par la formule \(h = 20t - 5t^2\), du décollage jusqu'au retour au sol. Le graphique la représente.

1. Lire sur le graphique la hauteur maximale de la fusée et la durée de son vol, puis les instants où elle se trouve à \(15 \ \text{m}\). Vérifier ces deux instants avec la formule.

   Le point le plus haut de la courbe a pour abscisse \(2\) et pour ordonnée \(20\) ; la courbe revient à \(0\) pour l'abscisse \(4\).

   $$ 20 \ \text{m au bout de } 2 \ \text{s} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{vol} : 4 \ \text{s} $$

   L'ordonnée \(15\) est atteinte deux fois, à la montée et à la descente :

   $$ 20 \times 1 - 5 \times 1^2 = 20 - 5 = 15 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 20 \times 3 - 5 \times 3^2 = 60 - 45 = 15 $$

   $$ t = 1 \ \text{s} \quad \text{et} \quad t = 3 \ \text{s} $$
2. Développer et réduire \(20 - 5(t - 2)^2\). Que peut-on en conclure ?

   On développe d'abord le carré, par la deuxième identité remarquable :

   $$ 20 - 5(t - 2)^2 = 20 - 5(t^2 - 4t + 4) $$

   $$ 20 - 5(t - 2)^2 = 20 - 5t^2 + 20t - 20 $$

   $$ 20 - 5(t - 2)^2 = 20t - 5t^2 $$

   On retrouve la formule de la hauteur, qui peut donc s'écrire autrement :

   $$ h = 20 - 5(t - 2)^2 $$
3. À l'aide de cette nouvelle écriture, démontrer que la fusée ne monte jamais au-dessus de \(20 \ \text{m}\), et qu'elle n'atteint \(20 \ \text{m}\) qu'à un seul instant.

   \((t - 2)^2\) est le produit de deux nombres de même signe : il est positif ou nul, et \(5(t - 2)^2\) aussi. La hauteur \(h\) vaut \(20\) moins un nombre positif ou nul : elle ne dépasse jamais \(20\).

   Elle vaut \(20\) lorsque \(5(t - 2)^2 = 0\), donc \((t - 2)^2 = 0\). Seul \(0\) a pour carré \(0\) : \(t - 2 = 0\), soit \(t = 2\).

   $$ h \leqslant 20 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} h = 20 \ \text{seulement pour } t = 2 $$
4. Trouver tous les instants où la fusée est à \(18.75 \ \text{m}\), et prouver qu'il n'y en a pas d'autre. On pourra chercher les nombres dont le carré vaut \(0.25\).

   Sur le graphique, \(18.75\) tombe entre deux lignes : la lecture ne donne qu'une idée des instants. On résout avec la nouvelle écriture :

   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{20} - 5(t - 2)^2 \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 18.75 $$

   $$ - 5(t - 2)^2 = 18.75 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 20} $$

   $$ - 5(t - 2)^2 = - 1.25 $$

   $$ \frac{- 5(t - 2)^2}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{- 5}} = \frac{- 1.25}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{- 5}} $$

   $$ (t - 2)^2 = 0.25 $$

   Le seul nombre positif de carré \(0.25\) est \(\sqrt{0.25} = 0.5\). Un nombre négatif de carré \(0.25\) a pour opposé un nombre positif de même carré, donc \(0.5\) : c'est \(- 0.5\). Il n'y a pas d'autre possibilité.

   $$ t - 2 = 0.5 \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} t - 2 = - 0.5 $$

   $$ t = 2.5 \ \text{s} \quad \text{ou} \quad t = 1.5 \ \text{s} $$

   Vérification avec la formule de départ :

   $$ 20 \times 1.5 - 5 \times 1.5^2 = 30 - 11.25 = 18.75 $$

   $$ 20 \times 2.5 - 5 \times 2.5^2 = 50 - 31.25 = 18.75 $$