La proportionnalité en quatrième

Vitesses, prix, comparaisons, hausses : la proportionnalité les traite tous avec quelques outils.

Calculer une quatrième proportionnelle par un produit en croix
Retrouver une formule avec le triangle de proportionnalité
Comparer deux grandeurs par leur rapport
Appliquer une hausse ou une baisse avec le coefficient multiplicateur

Sur une carte au $\frac{1}{25 \ 000}$, $4 \ \text{cm}$ représentent $1 \ \text{km}$ sur le terrain. Le refuge est à $7 \ \text{cm}$ du village : à quelle distance réelle ?

$$ \frac{\style{color:var(--red-text)}{4 \ \text{cm}}}{\style{color:var(--blue-text)}{1 \ \text{km}}} = \frac{\style{color:var(--blue-text)}{7 \ \text{cm}}}{\style{color:var(--red-text)}{d}} $$

$$ \style{color:var(--red-text)}{d} = \frac{\style{color:var(--blue-text)}{7 \times 1}}{\style{color:var(--red-text)}{4}} $$

$$ d = 1.75 \ \text{km} $$

L'échelle vaut pour toutes les distances, pas pour les aires.

Trois valeurs d'une situation de proportionnalité donnent la quatrième par un produit en croix.

Le produit en croix

La quatrième proportionnelle

Dans un tableau de proportionnalité à quatre cases, la case manquante s'appelle la quatrième proportionnelle.

Dans un tableau de proportionnalité, on multiplie en diagonale :

$$ \style{color:var(--red-text)}{a \times d} = \style{color:var(--blue-text)}{b \times c} $$

Pour trouver la case manquante, on multiplie les deux nombres de la diagonale complète, puis on divise par le troisième :

$$ d = \frac{b \times c}{a} $$

Exemple : $5 \ \text{kg}$ de pommes coûtent $12 \ \text{€}$. Combien coûtent $8 \ \text{kg}$ ?

Masse en kg	$5$	$8$
Prix en €	$12$	$p$

$$ p = \frac{12 \times 8}{5} $$

$$ p = \frac{96}{5} $$

$$ p = 19.2 \ \text{€} $$

Sur une même ligne, les nombres ont la même unité.

Si les produits en croix diffèrent, le tableau n'est pas de proportionnalité. $3$ cahiers à $4.50 \ \text{€}$ et $5$ cahiers à $7 \ \text{€}$ :

$$ 3 \times 7 = 21 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 5 \times 4.5 = 22.5 $$

Le triangle de proportionnalité

À vitesse constante, la distance est proportionnelle au temps, de coefficient la vitesse :

$$ \text{distance} = \text{vitesse} \times \text{temps} $$

Avec $d$ la distance, $v$ la vitesse et $t$ le temps, elle s'écrit $d = v \times t$, et le triangle la retient :

le triangle de la vitesse

On cache la grandeur cherchée : les deux qui restent côte à côte se multiplient, l'une au-dessus de l'autre se divisent - d'où $v = d \div t$ et $t = d \div v$.

À $60 \ \text{km/h}$, le temps pour parcourir $150 \ \text{km}$ :

$$ t = d \div v = 150 \div 60 $$

$$ t = 2.5 \ \text{h} $$

Comparer par un rapport

Le rapport, ou ratio

Le rapport de deux grandeurs, aussi appelé ratio, est leur quotient : il dit « combien de fois plus ». Il s'écrit $\frac{a}{b}$ ou $a : b$.

Une tour de $120\ \text{m}$ et un immeuble de $30\ \text{m}$ diffèrent de $90\ \text{m}$, mais leur rapport vaut :

$$ 120 : 30 = \frac{120}{30} = 4 $$

La tour est quatre fois plus haute que l'immeuble.

Le coefficient multiplicateur

Une hausse ou une baisse en pourcentage revient à multiplier la valeur de départ par le coefficient multiplicateur.

Pour une évolution de $t\ \%$ :

$$ \text{hausse de } t\ \% \ : \ \times \left(1 + \frac{t}{100}\right) $$

$$ \text{baisse de } t\ \% \ : \ \times \left(1 - \frac{t}{100}\right) $$

Exemple : un article à $80\ \text{€}$ augmente de $15\ \%$. Quel est son nouveau prix ?

Méthode 1 : on calcule la hausse par un produit en croix, puis on l'ajoute.

$$ \frac{15}{100} = \frac{h}{80} $$

$$ h = \frac{15 \times 80}{100} = 12 \ \text{€} $$

$$ 80 + 12 = 92 \ \text{€} $$

Méthode 2 : on multiplie directement par le coefficient.

$$ 80 \times \left(1 + \frac{15}{100}\right) = 80 \times 1.15 $$

$$ 80 \times 1.15 = 92\ \text{€} $$

Le coefficient remplace deux étapes par une seule multiplication. Plusieurs évolutions s'enchaînent en multipliant les coefficients entre eux.

Une hausse de $15\ \%$ puis une baisse de $15\ \%$ ne ramènent pas au prix de départ : $1.15 \times 0.85 = 0.9775$, soit une baisse d'environ $2\ \%$.