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Ce chapitre complète les deux fiches communes sur les situations de proportionnalité et sur les taux d'évolution , en abordant ce qui est propre au programme de quatrième.
Les grandeurs quotients
Une grandeur quotient
Une grandeur quotient s'obtient en divisant une grandeur par une autre. Son unité garde la trace de cette division, avec le mot « par ».
Grandeur quotient |
Division effectuée |
Unité |
|---|---|---|
Vitesse |
distance ÷ durée |
\(\text{km/h}\) |
Débit |
volume ÷ durée |
\(\text{L/min}\) |
Masse volumique |
masse ÷ volume |
\(\text{g/cm}^3\) |
Prix au kilogramme |
prix ÷ masse |
\(\text{€/kg}\) |
Une grandeur quotient est précisément le coefficient de proportionnalité entre les deux grandeurs qu'elle relie : rouler à \(60\ \text{km/h}\), c'est parcourir un nombre de kilomètres proportionnel à la durée, avec \(60\) pour coefficient.
Certaines grandeurs quotients n'ont pas d'unité, parce que les deux grandeurs divisées ont la même : c'est le cas d'un pourcentage ou d'une échelle.
Comparer par un rapport
Le rapport de deux grandeurs
Comparer deux grandeurs par leur rapport , c'est les diviser l'une par l'autre pour savoir « combien de fois plus », et non « combien de plus ».
Une tour de \(120\ \text{m}\) et un immeuble de \(30\ \text{m}\) diffèrent de \(90\ \text{m}\), mais leur rapport vaut :
La tour est donc quatre fois plus haute que l'immeuble.
Le ratio
Un ratio
Un ratio exprime une répartition entre plusieurs parts. La notation \(a : b\) signifie que la première part contient \(a\) fois une même unité, quand la seconde en contient \(b\) fois.
Partager une somme dans le ratio \(2 : 3\) revient à la découper en \(2 + 3 = 5\) parts égales , puis à en donner deux à l'un et trois à l'autre.
Le partage proportionnel
Un partage proportionnel répartit une quantité entre plusieurs bénéficiaires, proportionnellement à des nombres donnés. La méthode tient en trois temps.
-
additionner les nombres du partage pour obtenir le nombre total de parts ;
-
diviser la quantité à partager par ce total : on obtient la valeur d'une part ;
-
multiplier cette valeur par le nombre de parts de chacun .
Partageons \(150\ \text{€}\) entre Alice et Bilal dans le ratio \(2 : 3\). Le nombre total de parts vaut :
Chaque part vaut donc :
d'où les deux montants :
On vérifie toujours que la somme des parts redonne le total : \(60 + 90 = 150\).
Le coefficient multiplicateur
Le coefficient multiplicateur
Une hausse ou une baisse exprimée en pourcentage se traduit par un unique nombre, le coefficient multiplicateur , par lequel il suffit de multiplier la valeur de départ.
Un article à \(80\ \text{€}\) augmente de \(15\ \%\). Son nouveau prix vaut :
L'intérêt du coefficient est de remplacer deux étapes — calculer la hausse, puis l'ajouter — par une seule multiplication . Il permet aussi d'enchaîner plusieurs évolutions en multipliant les coefficients entre eux .
Une hausse de 15 % suivie d'une baisse de 15 % ne ramène pas au prix de départ : les coefficients 1,15 et 0,85 ont pour produit 0,9775, soit une baisse d'environ 2 %.