Activité sur la dépense en eau d'une culture

Un système d'irrigation de cultures consomme \(C = 500 \text{ L/h}\).

Échauffement

Calculs de volumes

Calculer le volume consommé par ce système en complétant le tableau suivant :

Formalisation de la fonction

Soit \(t\) la variable de temps (en heures) et \(V(t)\) le volume (en L).

Écrire la fonction qui implique ces deux quantités.

Construction du graphique

Dessin

Construire le graphique correspondant à la fonction, avec les consignes suivantes :

• L'axe des abscisses entre 0 et 5 h;
• L'axe des ordonnées entre 0 et 2500 L;

Puis donner un titre à votre graphique, ainsi qu'un nom aux deux axes \((x, y)\).

Analyse

1. Quelle est l'allure de cette fonction ?

   C'est une droite passant par l'origine.

2. À quelle type de fonction correspond-elle alors ?

   C'est une droite passant par l'origine.

3. À partir de votre graphique, déterminer le volume d'eau utilisé 3 h 15 min.

   On lit environ 1 600 L.

4. Enfin, vérifier ce résultat graphique par le calcul.

   On convertit d'abord en nombres :

   $$ 3 \text{ h } 15 \text{ m } \Longleftrightarrow 3.25 \text{ h } $$

   Alors,

   $$ V(3.25) = 500 \times 3.25 $$

   $$ V(3.25) = 1 \ 625 \text{ L } $$

Extension du problème

Considérons alors une nouvelle culture, nécessitant moins d'eau que la première, avec une consommation de \(C_2 = 400 \text{ L/h}\).

1. Écrire une nouvelle fonction \(V_2\) avec cette nouvelle hypothèse :
   $$ V_2(t) = 400t $$
2. Sur le graphique suivant, dessiner cette nouvelle fonction.

   

3. 1 500 L d'eau ont été dépensés. En combien de temps cela s'est-il produit ?

   Répondez à cette question de deux manières différentes :

   • en vous servant du graphique;

     Sur le graphique, on lit \(t \approx 3.7 \text{ h}\) .

   • par le calcul.

     Par le calcul, on a l'équation :

     $$ 400t = 1500 $$

     $$ t = \frac{1500}{400} $$

     $$ t = 3.75 \text{ h } $$

     Ce qui nous fait après conversion :

     $$ t = 3 + \frac{3}{4} $$

     $$ t = 3 \text{ h } 45 \text{ min } $$
4. Enfin, si le système doit s'éteindre pendant 15 minutes toutes les 2 heures pour vérifier l'humidité du sol, comment cela va-t-il influencer l'allure de la fonction et en combien de temps les 1 500 L d'eau auront été dépensés

   Tracer le graphique correspondant et lire la valeur.

   

   Cela crée une sorte de plat toutes les deux heures, et il arrivera à destination à \(t = 4 \text{ h}\)