Les fonctions linéaires et affines

Les fonctions linéaires

Une fonction linéaire

Une fonction linéaire est une fonction de type :

$$ f(x) = a x \qquad(\text{où } a \neq 0) $$

Elle modélise notamment une situation de proportionnalité.

À partir d'un nombre, on lui applique un coefficient :

$$ x \longmapsto ax $$

Apparence des courbes représentatives

N'importe quelle fonction linéaire sera représentée par une droite passant par l'origine $\bigl(O\bigl[ 0 ; 0 \bigr] \bigr)$.

Le nombre $a$ est appellé le coefficient directeur. C'est le signe de ce coefficient qui indique quelle sera l'inclinaison de la droite.

$\textcolor{#4A8051}{si \ a \ est \ +} $ : alors la droite est croissante
$\textcolor{#9F6A6A}{si \ a \ est \ -} $ : alors la droite est décroissante

sens de variations d'une fonction linéaire en fonction du signe de $a$

Les fonctions affines

Une fonction affine

Une fonction affine est une fonction de type :

$$ f(x) = a x + b \qquad(\text{où } a \neq 0) $$

À partir d'un nombre, on lui applique en premier lieu un coefficient :

$$ x \longmapsto ax $$

Puis, à partir de ce résultat, on lui ajoute un nombre :

$$ ax \longmapsto ax + b $$

Ce qui revient à faire :

$$ x \longmapsto ax + b $$

Apparence des courbes représentatives

N'importe quelle fonction affine sera représentée par une droite.

lien entre fonctions linéaires et fonctions affines

La différence avec une fonction affine, est que l'on en plus un nombre $b$, que l'on appelle l'ordonnée à l'origine.

En effet, il est l'image de la fonction $f$ par $(x = 0)$ :

$$ f(0) = a \times 0 + b $$

$$ f(0) = b $$

Les coefficients $a$ et $b$

Le coefficient directeur : $a$

On calcule ce coefficent grâce à deux points $M_1\bigl[ x_1 ; y_1 \bigr]$ et $M_2\bigl[ x_2 ; y_2 \bigr]$ de la courbe :

$$ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$

Exemple : avec deux points $M_1$ et $M_2$ de la droite :

$$ M_1\bigl[ 1 ; 3 \bigr] $$

$$ M_2\bigl[ 4 ; 0 \bigr] $$

Alors, le coefficient directeur vaut :

$$ a = \frac{0 - 3}{4 - 1} = \frac{-3}{3} $$

$$ a = -1 $$

On en conclue que cette fonction est décroissante.

L'ordonnée à l'origine : $b$

Après avoir déterminé $a$, on reprend un des deux points qui nous a permis de le calculer, et on remplace pour isoler $b$.

Exemple : en reprenant les deux même points $M_1$ et $M_2$ :

À partir de :

$$ y = ax + b $$

On remplace $(a = -1)$, ainsi que les valeurs $\bigl[ x ; y \bigr]$ du point $A\bigl[ 1 ; 3 \bigr]$ :

$$ 3 = -1 \times 1 + b $$

$$ 3 = -1 + b $$

$$ 3 \textcolor{#9F6A6A}{+ 1} = -1 \textcolor{#9F6A6A}{+ 1} + b $$

$$ b = 4 $$

L'expression de notre fonction est donc :

$$ f(x) = -x + 4 $$

Les fonctions linéaires et affines