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Deux familles de fonctions dont la courbe est une droite : on les reconnaît, puis on retrouve leur expression.
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Reconnaître une fonction linéaire et une situation de proportionnalité
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Reconnaître une fonction affine et sa droite représentative
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Lire le sens de variation sur le signe du coefficient directeur
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Calculer le coefficient directeur à partir de deux points
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Trouver l'ordonnée à l'origine et écrire l'expression de la fonction
Un vendeur touche \(1 \ 200 \ \text{€}\) par mois, plus \(5 \ \%\) de ce qu'il vend. Un autre est payé uniquement à la commission, \(10 \ \%\) des ventes.
Le second ne gagne rien s'il ne vend rien ; le premier part avec une avance.
Une fonction linéaire multiplie, une fonction affine ajoute d'abord une part fixe.
Les fonctions linéaires
Une fonction linéaire
Une fonction linéaire est une fonction de type :
Elle modélise notamment une situation de proportionnalité.
À partir d'un nombre, on lui applique un coefficient:
Apparence des courbes représentatives
N'importe quelle fonction linéaire sera représentée par une droite passant par l'origine \(\bigl(O\bigl[ 0 \ ; \ 0 \bigr] \bigr)\).
Le nombre \(a\) est appelé le coefficient directeur.
Graphiquement, le signe de \(a\) indique quelle sera l'inclinaison de la droite:
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\(\textcolor{rgb(93 183 129)}{si \ a \ \text{est} \ +} \) : alors la droite est croissante
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\(\textcolor{rgb(232 124 124)}{si \ a \ \text{est} \ -} \) : alors la droite est décroissante
Les fonctions affines
Une fonction affine
Une fonction affine est une fonction de type :
À partir d'un nombre, on lui applique en premier lieu un coefficient:
Puis, à partir de ce résultat, on lui ajoute un nombre:
Ce qui revient à faire :
Apparence des courbes représentatives
N'importe quelle fonction affine sera représentée par une droite.
La différence avec une fonction affine, est que l'on a en plus un nombre \(b\), que l'on appelle l'ordonnée à l'origine.
Algébriquement, \(b\) est l'image de \(0\) par la fonction \(f\):
Graphiquement, \(b\) est la valeur de \(y\) que l'on lit au croisement de:
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la courbe de la fonction d'étude
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l'axe des ordonnées \(\overrightarrow{O\textcolor{rgb(232 124 124)}{j}}\)
Les coefficients \(a\) et \(b\)
Le coefficient directeur : \(a\)
On calcule ce coefficient grâce à deux points \(M_1\bigl[ x_1 \ ; \ y_1 \bigr]\) et \(M_2\bigl[ x_2 \ ; \ y_2 \bigr]\) de la courbe :
Exemple : avec deux points \(M_1\) et \(M_2\) de la droite :
Alors, le coefficient directeur vaut :
On en conclut que cette fonction est décroissante.
L'ordonnée à l'origine : \(b\)
Après avoir déterminé \(a\), on reprend un des deux points qui nous a permis de le calculer, et on remplace pour isoler \(b\).
Exemple : en reprenant les deux mêmes points \(M_1\) et \(M_2\) :
À partir de :
On remplace \((a = -1)\), ainsi que les valeurs \(\bigl[ x \ ; \ y \bigr]\) du point \(M_1\bigl[ 1 \ ; \ 3 \bigr]\) :
L'expression de notre fonction est donc :