Les fonctions linéaires et affines

Les fonctions linéaires

Une fonction linéaire

Une fonction linéaire est une fonction de type :

$$ f(x) = a x \qquad(\text{où } a \neq 0) $$

Elle modélise notamment une situation de proportionnalité .

À partir d'un nombre, on lui applique un coefficient :

$$ x \longmapsto ax $$

Apparence des courbes représentatives

N'importe quelle fonction linéaire sera représentée par une droite passant par l'origine $\bigl(O\bigl[ 0 ; 0 \bigr] \bigr)$.

Fonction lineaire — la fonction linéaire : $f(x) = ax$

Graphe vide avec vecteurs unitaires — la fonction linéaire : $f(x) = ax$

Le nombre $a$ est appellé le coefficient directeur .

Graphiquement, le signe de $a$ indique quelle sera l'inclinaison de la droite :

$\textcolor{rgb(93 183 129)}{si \ a \ est \ +} $ : alors la droite est croissante
$\textcolor{rgb(232 124 124)}{si \ a \ est \ -} $ : alors la droite est décroissante

Sens de variations fonctions lineaires — sens de variations d'une fonction linéaire en fonction du signe de $a$

Les fonctions affines

Une fonction affine

Une fonction affine est une fonction de type :

$$ f(x) = a x + b \qquad(\text{où } a \neq 0) $$

À partir d'un nombre, on lui applique en premier lieu un coefficient :

$$ x \longmapsto ax $$

Puis, à partir de ce résultat, on lui ajoute un nombre :

$$ ax \longmapsto ax + b $$

Ce qui revient à faire :

$$ x \longmapsto ax + b $$

Apparence des courbes représentatives

N'importe quelle fonction affine sera représentée par une droite .

Lien entre fonctions lineaires et fonctions affines — lien entre fonctions linéaires et fonctions affines

La différence avec une fonction affine, est que l'on en plus un nombre $b$, que l'on appelle l'ordonnée à l'origine .

Algébriquement, $b$ est l'image de la fonction $f$ par $(x = 0)$ :

$$ f(0) = a \times 0 + b $$

$$ f(0) = b $$

Graphiquement, $b$ est la valeur de $y$ que l'on lit au croisement de :

la courbe de la fonction d'étude
l'axe des abscisses $\overrightarrow{O\textcolor{rgb(232 124 124)}{j}}$

Les coefficients $a$ et $b$

Le coefficient directeur : $a$

On calcule ce coefficent grâce à deux points $M_1\bigl( x_1 ; y_1 \bigr)$ et $M_2\bigl[ x_2 ; y_2 \bigr]$ de la courbe :

$$ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$

Fonction affine coef dir — le calcul du coefficient directeur $a$

Exemple : avec deux points $M_1$ et $M_2$ de la droite :

$$ M_1\bigl[ 1 ; 3 \bigr] $$

$$ M_2\bigl[ 4 ; 0 \bigr] $$

Alors, le coefficient directeur vaut :

$$ a = \frac{0 - 3}{4 - 1} = \frac{-3}{3} $$

$$ a = -1 $$

On en conclue que cette fonction est décroissante .

L'ordonnée à l'origine : $b$

Après avoir déterminé $a$, on reprend un des deux points qui nous a permis de le calculer, et on remplace pour isoler $b$.

Exemple : en reprenant les deux même points $M_1$ et $M_2$ :

À partir de :

$$ y = ax + b $$

On remplace $(a = -1)$, ainsi que les valeurs $\bigl[ x ; y \bigr]$ du point $A\bigl[ 1 ; 3 \bigr]$ :

$$ 3 = -1 \times 1 + b $$

$$ 3 = -1 + b $$

$$ 3 \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 1} = -1 \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 1} + b $$

$$ b = 4 $$

L'expression de notre fonction est donc :

$$ f(x) = -x + 4 $$

Les fonctions linéaires et affines