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La distance d'arrêt d'un véhicule

L'objectif de cette activité est de modéliser la distance d'arrêt \((D_a)\) d'un véhicule, en fonction de la vitesse à laquelle on roule.

On va séparer cette distance en deux sous-parties :

• la distance de réaction : \(D_r \hspace{2em} \bigl[ m \bigr]\)
• la distance de freinage : \(D_f \hspace{2em} \bigl[ m \bigr]\)

De même, on prendra comme limite de l'étude que le conducteur roule sous un temps sec.

Distance de réaction

Conversion de la vitesse

1. Comment fait-on pour convertir n'importe quelle vitesse des \(km/h\) vers des \(m/s\) ?

En décomposant la vitesse en \(km/h\) pour faire apparaître des \(m/s\), on obtient :

$$ V \ \frac{\bigl[ km \bigr]}{\bigl[ h \bigr]} = V \ \frac{\bigl[ 1000 \ m \bigr]}{\bigl[ 3600 \ s \bigr]} $$

$$ V \ \frac{\bigl[ km \bigr]}{\bigl[ h \bigr]} = V \times \frac{1000}{3600} \ \frac{\bigl[ m \bigr]}{\bigl[ s \bigr]} $$

Alors on obtient la vitesse exprimée en \(m/s\) à droite dans l'expresion précédente, donc :

$$ V_{m/s} = V \times \frac{1000}{3600} $$

$$ V_{m/s} = V \times \frac{1 \ 0\cancel{00}}{ \ 6\cancel{00}}$$

$$ V_{m/s} = V \times \frac{5 \times \cancel{2}}{18 \times \cancel{2}} $$

$$ V_{m/s} = V \times \frac{5}{18} $$

En multipliant cette vitesse par \(\frac{5}{18}\).

2. En partant de l'hypothèse qu'un individu moyen réagit en 1 seconde, écrire la fonction qui fait correspondre une vitesse à partir d'un temps de réaction :

Pour obtenir la distance correspondante au temps parcourue en 1 seconde, il faut effectuer le calcul :

$$ D_r = V_{m/s} \frac{\bigl[ m \bigr]}{\bigl[ \cancel{s} \bigr]} \times 1 \bigl[ \cancel{s} \bigr] $$

$$ D_r = V_{m/s} \hspace{2em} \bigl[ m \bigr] $$

On a vu plus haut que :

$$ V_{m/s} = V \times \frac{5}{18} $$

En injectant cette donnée, on obtient la distance \(D_r\) en fonction de la vitesse en \(km/h\) :

$$ D_r(V) = V \times \frac{5}{18} \bigl[ m \bigr] $$
3. Puis remplir les différents temps de réaction du tableau suivant en effectuant les calculs :

Vitesse (km/h)	$$ 10 $$	$$ 25 $$	$$ 50 $$	$$ 80 $$	$$ 110 $$	$$ 130 $$
Distance de réaction (m)	...	...	...	...	...	...

Vitesse (km/h)	$$ 10 $$	$$ 25 $$	$$ 50 $$	$$ 80 $$	$$ 110 $$	$$ 130 $$
Distance de réaction (m)	$$ \sim 2.77 $$	$$ \sim 6.94 $$	$$ \sim 13.88 $$	$$ \sim 22.22 $$	$$ \sim 30.55 $$	$$ \sim 36.11 $$

Distance de freinage

La distance de freinage d'un véhicule \((D_f)\) sur sol sec se calcule approximativement par la formule suivante :

Recueil des données

Remplir le tableau suivant des différentes distances de freinage.

Distance d'arrêt

Fonction modélisant la distance d'arrêt

1. La distance d'arrêt \((D_a)\) représente la somme des deux fonctions précédentes.

   Écrire sa formule littérale.

$$ D_a = D_r + D_f \hspace{2em} \bigl[ m \bigr] $$
2. Écrire maintenant sa formule complète, en remplaçant les deux distances par leurs valeurs respectives.
$$ D_a \approx V \times \frac{5}{18} + \left( \frac{V}{10} \right)^2 \hspace{2em} \bigl[ m \bigr] $$

À partir des résultats précédents, remplir le tableau suivant :

Construction du graphique

Représenter ces données dans un graphique à points :

Que remarquez-vous par rapport à l'évolution de cette distance ?

Distance de sécurité

"Un trait danger, deux traits sécurité"

On voit souvent marquée cette situation sur la quatre voies ou l'autoroute.

Un trait danger, deux traits sécurité

En reprenant vos résultats précédents, déterminer le nombre de traits minimum qu'il faut respecter entre un conducteur et un objet à l'arrêt devant lui (lors d'un carambolage par exemple).

Sachant que ces traits mesurent 39 mètres et sont espacés de 13 mètres.

Vitesse (km/h)	$$ 10 $$	$$ 25 $$	$$ 50 $$	$$ 80 $$	$$ 110 $$	$$ 130 $$
Distance d'arrêt (m)	...	...	...	...	...	...
Nombre de traits de sécurité minimum	...	...	...	...	...	...

À chaque fois, il faut :

• compter la première ligne de 39 mètres;

• puis ajouter (13 + 39) pour les suivantes.

Vitesse (km/h)	$$ 10 $$	$$ 25 $$	$$ 50 $$	$$ 80 $$	$$ 110 $$	$$ 130 $$
Distance d'arrêt (m)	$$ \approx 3.77 $$	$$ \approx 13.19 $$	$$ \approx 38.88 $$	$$ \approx 86.22 $$	$$ \approx 151.55 $$	$$ \approx 205.11 $$
Nombre de traits de sécurité minimum	$$ 1 $$	$$ 1 $$	$$ 1 $$	$$ 2 $$	$$ 4 $$	$$ 5 $$

Ce slogan est-il toujours pertinent à partir d'une certaine vitesse ?