Notion de fonction en seconde pro

Une fonction transforme un nombre en un autre : on apprend à la lire sur un graphique.

À la pompe, l'afficheur montre deux nombres qui montent ensemble : les litres versés, et le prix à payer.

À chaque quantité versée correspond un prix, et un seul : impossible que trente litres coûtent deux sommes différentes.

À chaque valeur d'entrée, une valeur de sortie et une seule : c'est ce que l'on appelle une fonction.

Une fonction

Une fonction est une opération qui transforme un nombre $x$, en une image unique $f(x)$.

De manière générale, on écrira pour définir une fonction avec comme variable $x$ :

$$f :x \longmapsto f(x) $$

« une fonction $f$, qui associe à un antécédent $x$ une image $f(x)$ »

Les antécédents se situent sur l'axe horizontal $x$.

Les images se situent sur l'axe vertical $y$.

Lorsqu'on a qu'une seule courbe sur un graphique, on peut noter l'image générale : $y = f(x)$.

Soit un intervalle $ I = \bigl[ a,b \bigr] $.

Fonctions croissantes

On dit qu'une fonction est croissante si les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents.

exemple de fonction croissante : $f(x) = 2x$

Dans ce cas, on a bien :

$$ a < b $$

et aussi :

$$ f(a) < f(b) $$
Fonctions décroissantes

À l'inverse, on dit qu'une fonction est decroissante si les images sont rangées dans l'ordre inverse des antécédents.

exemple de fonction décroissante : $f(x) = -2x$

Tableau de variations

Pour représenter les variations d'une fonction, on pourra utiliser un tableau comme celui-ci :

Exemple : la fonction carrée

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ 0 $$		$$ +\infty $$
$$ f(x) = x^2 $$		$$ 0 $$

On appelle minimum et maximum d'une fonction $f$, les points $m$ et $M$ tels que :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} f(x) \geqslant m \\ f(x) \leqslant M \end{gather*} $$