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Activité sur l'alimentation du cheval

L'alimentation journalière d'un cheval dans un centre équestre est de :

$2 \text{ kg}$ de foin pour un poids de $100 \text{ kg}$
$0.5 \text{ kg}$ de granulés pour un poids de $100 \text{ kg}$

Échauffement

Application du principe de proportionnalité

Calculer la quantité respective de foin et de granulés pour les chevaux suivants :

Cheval	Ernesto	Athéna	Luthor	Maya	Reynald
Poids (kg)	420	460	510	375	580
Quantité de foin (kg)	...	...	...	...	...
Quantité de granulés (kg)	...	...	...	...	...

Cheval	Ernesto	Athéna	Luthor	Maya	Reynald
Poids (kg)	420	460	510	375	580
Quantité de foin (kg)	8.4	9.2	10.2	7.5	11.6
Quantité de granulés (kg)	2.1	2.3	2.55	1.875	2.9

Quantités de foin et de granulés nécessaires selon le poids du cheval

Faire les calculs ci-dessous :

On peut faire un produit un croix pour chaque animal.

Par exemple, sur la quantité de foin et pour le premier cheval :

$$ \frac{2 \ \bigl[ kg_{(foin)} \bigr]}{ 100 \ \bigl[ kg_{(masse)} \bigr] } = \frac{F_1 \ \bigl[ kg_{(foin)} \bigr]}{ 420 \ \bigl[ kg_{(masse)} \bigr] } $$

$$ F_1 = \frac{2 \times 420}{100} $$

$$ F_1 = 8.4 \ kg_{(foin)} $$

Et on fait la même chose pour les autres chevaux, et de même pour la ligne concernant les granulés.

Formalisation de la fonction

Soit $p$ le poids du cheval (en $\text{ kg}$).

Écrire les deux fonctions qui modélisent les quantités respectives de foin et de granulés.

$$ F(p) = \frac{2p}{100} $$

$$ F(p) = \frac{\textcolor{#9F6A6A}{\cancel{2}}p}{\textcolor{#9F6A6A}{\cancel{2}} \times 50} $$

$$ F(p) = \frac{p}{50} $$

$$ G(p) = \frac{0.5p}{100} $$

Avec les fractions, on n'affiche pas de nombre décimal, donc :

$$ G(p) = \frac{\frac{1}{2}p}{100} $$

$$ G(p) = \frac{1}{2}p \times \frac{1}{100} $$

$$ G(p) = \frac{p}{200} $$

Construction du graphique

Dessin

Construire le graphique correspondant aux deux fonctions, avec les consignes suivantes :

L'axe des abscisses entre 0 et 800kg;
L'axe des ordonnées entre 0 et 20kg;

Puis donner un titre à votre graphique, ainsi qu'un nom aux deux axes $(x, y)$.

quantité de nourriture pour un cheval selon son poids

Analyse

Quelle sont les allures de ces deux fonctions ?

Ce sont deux droites.

Quelle est le point commun entre ces deux courbes ?

Les deux passent par l'origine du repère.

Que peut-on en déduire pour une situation de propotionnalité et l'allure de sa courbe représentative ?

Une situation de proportionnalité implique que la fonction qui la modélise est une droite passant par l'origine.

Lecture graphique

Grâce à ces courbes, déduire les quantités de foin et de granulés si le cheval fait 600 kg.

Pour le foin, on lit :

$$ F(600) = 12 \text{ kg} $$

Pour les granulés :

$$ G(600) = 3 \text{ kg} $$

Peut-on retrouver ce résultat par le calcul ?

Oui, en reprenant les deux fonctions précédentes.

$$ F(600) = \frac{2 \times 600}{100} $$

$$ F(600) = \frac{1 \ 2 \cancel{00}}{1 \cancel{00}} $$

$$ F(600) = 12 \text{ kg} $$

$$ G(600) = \frac{600}{200} $$

$$ G(600) = \frac{6\cancel{00}}{2\cancel{00}} $$

$$ G(600) = 3 \text{ kg} $$

Résolution graphique

Quel est le poids d'un cheval qui a besoin de 10 kg de foin par jour ?

Sur le graphique, on lit :

$$ p = 500 \text{ kg} $$

Peut-on retrouver ce résultat par le calcul ?

Oui, on doit résoudre :

$$ F(p) = 10 $$

On remplace $F(p)$ par sa valeur :

$$ \frac{2p}{100} = 10 $$

$$ \frac{2p}{100} \textcolor{#9F6A6A}{\times 100} = 10 \textcolor{#9F6A6A}{\times 100} $$

$$ 2p = 1 \ 000 $$

$$ \frac{2p}{\textcolor{#9F6A6A}{2}} = \frac{1000}{\textcolor{#9F6A6A}{2}} $$

$$ p = 500 \text{ kg} $$

Extension du problème

Calculs de moyennes

Quels sont les besoins journaliers moyens sur ce centre, respectivement en foin puis en granulés ?

Pour le foin :

$$ M_F = \frac{8.4 + 9.2 + 10.2 + 7.5 + 11.6}{5} $$

$$ M_F = 9.38 \text{ kg} $$

Pour les granulés :

$$ M_G = \frac{2.1 + 2.3 + 2.55 + 1.875 + 2.9}{5} $$

$$ M_G = 2.345 \text{ kg} $$

Évaluation d'un besoin

En utilisant ces deux besoins moyens journaliers, combien de jours va-t-on pouvoir tenir si les stocks restants avant la nouvelle livraison hebdomadaire sont de :
- $52 \text{ kg}$ de foin
- $16 \text{ kg}$ de granulés
Sachant que le cheval a besoin de manger les deux aliments chaque jour.

Il faut calculer pour les deux, et prendre le pire scénario :

$$ N_F = \frac{52}{9.38} $$

$$ N_F \approx 5.54 $$

Soit,

$$ N_F = 5 \text{ j} $$

$$ N_G = \frac{16}{2.345} $$

$$ N_G \approx 6.82 $$

Soit,

$$ N_G = 6 \text{ j} $$

On va pouvoir tenir seulement 5 jours.