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Activité sur l'alimentation du cheval

L'alimentation journalière d'un cheval dans un centre équestre est de :

Échauffement

Application du principe de proportionnalité

Calculer la quantité respective de foin et de granulés pour les chevaux suivants :

Cheval
Ernesto
Athéna
Luthor
Maya
Reynald
Poids (kg)
420
460
510
375
580
Quantité de foin (kg)
...
...
...
...
...
Quantité de granulés (kg)
...
...
...
...
...
Cheval
Ernesto
Athéna
Luthor
Maya
Reynald
Poids (kg)
420
460
510
375
580
Quantité de foin (kg)
8.4
9.2
10.2
7.5
11.6
Quantité de granulés (kg)
2.1
2.3
2.55
1.875
2.9
Quantités de foin et de granulés nécessaires selon le poids du cheval

Faire les calculs ci-dessous :

On peut faire un produit un croix pour chaque animal.

Par exemple, sur la quantité de foin et pour le premier cheval :

$$ \frac{2 \ \bigl[ kg_{(foin)} \bigr]}{ 100 \ \bigl[ kg_{(masse)} \bigr] } = \frac{F_1 \ \bigl[ kg_{(foin)} \bigr]}{ 420 \ \bigl[ kg_{(masse)} \bigr] } $$
$$ F_1 = \frac{2 \times 420}{100} $$
$$ F_1 = 8.4 \ kg_{(foin)} $$

Et on fait la même chose pour les autres chevaux, et de même pour la ligne concernant les granulés.

Formalisation de la fonction

Soit \(p\) le poids du cheval (en \(\text{ kg}\)).

Écrire les deux fonctions qui modélisent les quantités respectives de foin et de granulés.

$$ F(p) = \frac{2p}{100} $$
$$ F(p) = \frac{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\cancel{2}}p}{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\cancel{2}} \times 50} $$
$$ F(p) = \frac{p}{50} $$
$$ G(p) = \frac{0.5p}{100} $$

Avec les fractions, on n'affiche pas de nombre décimal, donc :

$$ G(p) = \frac{\frac{1}{2}p}{100} $$
$$ G(p) = \frac{1}{2}p \times \frac{1}{100} $$
$$ G(p) = \frac{p}{200} $$

Construction du graphique

Dessin

Construire le graphique correspondant aux deux fonctions, avec les consignes suivantes :

Puis donner un titre à votre graphique, ainsi qu'un nom aux deux axes \((x, y)\).

Graphe vide avec vecteurs unitaires partie positive
quantité de nourriture pour un cheval selon son poids (à compléter)
quantité de nourriture pour un cheval selon son poids

Analyse

  1. Quelle sont les allures de ces deux fonctions ?

    Ce sont deux droites.

  2. Quelle est le point commun entre ces deux courbes ?

    Les deux passent par l'origine du repère.

  3. Que peut-on en déduire pour une situation de propotionnalité et l'allure de sa courbe représentative ?

    Une situation de proportionnalité implique que la fonction qui la modélise est une droite passant par l'origine.

Lecture graphique

  1. Grâce à ces courbes, déduire les quantités de foin et de granulés si le cheval fait 600 kg.

    Pour le foin, on lit :

    $$ F(600) = 12 \text{ kg} $$

    Pour les granulés :

    $$ G(600) = 3 \text{ kg} $$
  2. Peut-on retrouver ce résultat par le calcul ?

    Oui, en reprenant les deux fonctions précédentes.

    $$ F(600) = \frac{2 \times 600}{100} $$
    $$ F(600) = \frac{1 \ 2 \cancel{00}}{1 \cancel{00}} $$
    $$ F(600) = 12 \text{ kg} $$
    $$ G(600) = \frac{600}{200} $$
    $$ G(600) = \frac{6\cancel{00}}{2\cancel{00}} $$
    $$ G(600) = 3 \text{ kg} $$

Résolution graphique

  1. Quel est le poids d'un cheval qui a besoin de 10 kg de foin par jour ?

    Sur le graphique, on lit :

    $$ p = 500 \text{ kg} $$
  2. Peut-on retrouver ce résultat par le calcul ?

    Oui, on doit résoudre :

    $$ F(p) = 10 $$

    On remplace \(F(p)\) par sa valeur :

    $$ \frac{2p}{100} = 10 $$
    $$ \frac{2p}{100} \textcolor{rgb(232 124 124)}{\times 100} = 10 \textcolor{rgb(232 124 124)}{\times 100} $$
    $$ 2p = 1 \ 000 $$
    $$ \frac{2p}{\textcolor{rgb(232 124 124)}{2}} = \frac{1000}{\textcolor{rgb(232 124 124)}{2}} $$
    $$ p = 500 \text{ kg} $$

Extension du problème

Calculs de moyennes

Quels sont les besoins journaliers moyens sur ce centre, respectivement en foin puis en granulés ?

Pour le foin :

$$ M_F = \frac{8.4 + 9.2 + 10.2 + 7.5 + 11.6}{5} $$
$$ M_F = 9.38 \text{ kg} $$

Pour les granulés :

$$ M_G = \frac{2.1 + 2.3 + 2.55 + 1.875 + 2.9}{5} $$
$$ M_G = 2.345 \text{ kg} $$

Évaluation d'un besoin

  1. En utilisant ces deux besoins moyens journaliers, combien de jours va-t-on pouvoir tenir si les stocks restants avant la nouvelle livraison hebdomadaire sont de :

    • \(52 \text{ kg}\) de foin

    • \(16 \text{ kg}\) de granulés

    Sachant que le cheval a besoin de manger les deux aliments chaque jour.

    Il faut calculer pour les deux, et prendre le pire scénario :

    $$ N_F = \frac{52}{9.38} $$
    $$ N_F \approx 5.54 $$

    Soit,

    $$ N_F = 5 \text{ j} $$
    $$ N_G = \frac{16}{2.345} $$
    $$ N_G \approx 6.82 $$

    Soit,

    $$ N_G = 6 \text{ j} $$

    On va pouvoir tenir seulement 5 jours .