Activité sur l'alimentation du porc

L'alimentation journalière d'un porc dans un élevage est de :

$2 \text{ kg}$ de céréales (maïs, blé, orge) pour un poids de $100 \text{ kg}$
$0.7 \text{ kg}$ d'oléoprotagineux (tourteau de soja, colza) pour un poids de $100 \text{ kg}$

Échauffement

Application du principe de proportionnalité

Calculer la quantité respective de céréales et d'oléoprotagineux pour les porcs suivants :

Porc	Babe	Truffe	Peppa	Gaston	Coco
Poids (kg)	120	135	92	106	112
Quantité de céréales (kg)	...	...	...	...	...
Quantité d'oléoprotagineux (kg)	...	...	...	...	...

Porc	Babe	Truffe	Peppa	Gaston	Coco
Poids (kg)	120	135	92	106	112
Quantité de céréales (kg)	2.40	2.70	1.84	2.12	2.24
Quantité d'oléoprotagineux (kg)	0.84	0.95	0.64	0.74	0.78

Quantités de céréales et d'oléoprotagineux nécessaires selon le poids du porc

Faire les calculs ci-dessous :

On peut faire un produit un croix pour chaque animal.

Par exemple, sur la quantité de céréales et pour le premier porc :

$$ \frac{2 \ \bigl[ kg_{(céréales)} \bigr]}{ 100 \ \bigl[ kg_{(masse)} \bigr] } = \frac{C_1 \ \bigl[ kg_{(céréales)} \bigr]}{ 120 \ \bigl[ kg_{(masse)} \bigr] } $$

$$ C_1 = \frac{2 \times 120}{100} $$

$$ C_1 = 2.40 \ kg_{(céréales)} $$

Et on fait la même chose pour les autres porcs, et de même pour la ligne concernant les oléoprotagineux.

Formalisation de la fonction

Soit $p$ le poids du porc (en $\text{ kg}$).

Écrire les deux fonctions qui modélisent les quantités respectives de céréales et d'oléoprotagineux.

$$ C(p) = \frac{2p}{100} $$

$$ C(p) = \frac{\textcolor{#AB6464}{\cancel{2}}p}{\textcolor{#AB6464}{\cancel{2}} \times 50} $$

$$ C(p) = \frac{p}{50} $$

$$ O(p) = \frac{0.7p}{100} $$

Avec les fractions, on n'affiche pas de nombre décimal, donc :

$$ O(p) = \frac{\frac{7}{10}p}{100} $$

$$ O(p) = \frac{7}{10}p \times \frac{1}{100} $$

$$ O(p) = \frac{7p}{1 \ 000} $$

Construction du graphique

Dessin

Construire le graphique correspondant aux deux fonctions, avec les consignes suivantes :

L'axe des abscisses entre 0 et 150kg;
L'axe des ordonnées entre 0 et 3kg;

Puis donner un titre à votre graphique, ainsi qu'un nom aux deux axes $(x, y)$.

quantité de nourriture pour un porc selon son poids

Analyse

Quelle sont les allures de ces deux fonctions ?

Ce sont deux droites.

Quelle est le point commun entre ces deux courbes ?

Les deux passent par l'origine du repère.

Que peut-on en déduire pour une situation de propotionnalité et l'allure de sa courbe représentative ?

Une situation de proportionnalité implique que la fonction qui la modélise est une droite passant par l'origine.

Lecture graphique

Grâce à ces courbes, déduire les quantités de céréales et d'oléoprotagineux si le porc fait 140 kg.

Pour les céréales, on lit :

$$ C(140) = 2.8 \text{ kg} $$

Pour les oléoprotagineux :

$$ O(140) = 0.98 \text{ kg} $$

Peut-on retrouver ce résultat par le calcul ?

Oui, en reprenant les deux fonctions précédentes.

$$ C(140) = \frac{2 \times 140}{100} $$

$$ C(140) = \frac{28 \cancel{0}}{10 \cancel{0}} $$

$$ C(140) = 2.8 \text{ kg} $$

$$ G(140) = \frac{7\times 140}{1000} $$

$$ G(140) = \frac{7\times 14\cancel{0}}{100\cancel{0}} $$

$$ G(140) = \frac{98}{100} $$

$$ G(600) = 0.98 \text{ kg} $$

Résolution graphique

Quel est le poids d'un porc qui a besoin de 4 kg de céréales par jour ?

Sur le graphique, on lit :

$$ p = 200 \text{ kg} $$

Peut-on retrouver ce résultat par le calcul ?

Oui, on doit résoudre :

$$ C(p) = 4 $$

On remplace $C(p)$ par sa valeur :

$$ \frac{2p}{100} = 4 $$

$$ \frac{2p}{100} \textcolor{#AB6464}{\times 100} = 4 \textcolor{#AB6464}{\times 100} $$

$$ 2p = 400 $$

$$ \frac{2p}{ \textcolor{#AB6464}{2} } = \frac{400}{ \textcolor{#AB6464}{2} } $$

$$ p = 200 \text{ kg} $$

Extension du problème

Calculs de moyennes

Quels sont les besoins journaliers moyens sur cet élevage, respectivement en céréales puis en oléoprotagineux ?

Pour les céréales :

$$ M_C = \frac{2.40 + 2.70 + 1.84 + 2.12 + 2.24}{5} $$

$$ M_F = 2.26 \text{ kg} $$

Pour les oléoprotagineux :

$$ M_O = \frac{0.84 + 0.95 + 0.64 + 0.74 + 0.78}{5} $$

$$ M_G = 0.79 \text{ kg} $$

Évaluation d'un besoin

En utilisant ces deux besoins moyens journaliers, combien de jours va-t-on pouvoir tenir si les stocks restants avant la nouvelle livraison hebdomadaire sont de :
- $14 \text{ kg}$ de céréales
- $4 \text{ kg}$ d'oléoprotagineux
Sachant que le porc a besoin de manger les deux aliments chaque jour.

Il faut calculer pour les deux, et prendre le pire scénario :

$$ N_C = \frac{14}{2.26} $$

$$ N_C \approx 6.19 $$

Soit,

$$ N_C = 6 \text{ j} $$

$$ N_O = \frac{4}{0.79} $$

$$ N_O \approx 5.06 $$

Soit,

$$ N_O = 5 \text{ j} $$

On va pouvoir tenir seulement 5 jours.