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Lois géométriques du triangle
Sommes des angles
La somme des angles d'un triangle fait toujours \(180°\) \((\pi \ \text{radians}) \) .
$$ \alpha + \beta + \gamma = 180 \qquad \bigl[deg \bigr] $$
$$ \alpha + \beta + \gamma = \pi \qquad \bigl[rad \bigr] $$
Théorème de Thalès
Dans deux triangles semblables imbriqués \( ABC \) et \( ADE \), où \(ADE\) est le plus grand triangle.
Ou encore dans le cas où les deux triangles sont semblables par l'extérieur (en conservant l'alignement des points précédents).
$$ (BC) \parallel (DE) \Longleftrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \qquad \bigl(\text{Thalès} \bigr) $$
(deux égalités sur trois sont suffisantes)
Ce théorème permet de :
-
retrouver un côté connaissant les deux autres
-
prouver que deux longueurs sont parallèles ou non
Dans un triangle rectangle \(\bigl \{ a, b, c\bigr\}\) tel que la figure suivante :
Théorème de Pythagore
Ce théorème permet de :
-
retrouver un côté connaissant les deux autres
-
prouver qu'un angle est rectangle ou non
$$ (a \perp b) \Longleftrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad \bigl(Pythagore \bigr) $$
Formule de Héron
La formule de Héron est utile pour le calcul d'une aire dans un triangle ordinaire .
$$ S_{\Delta} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \qquad \bigl(\text{Formule de Héron}\bigr) $$
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} p : \text{demi-périmètre du triangle} \\ p = \frac{a+b+c}{2} \end{gather*} $$
Volumes de solides
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Cube
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Parallélépipède rectangle
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$$ \mathcal{V}= c^3 $$
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$$ \mathcal{V} = L \times l \times h $$
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Pyramide à base carrée
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Cône de révolution
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$$ \mathcal{V}= \frac{c^2 \times h}{3} $$
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$$ \mathcal{V}= \frac{\pi r^2 \times h}{3} $$
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Pyramide (de manière générale)
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Cylindre de révolution
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$$ \mathcal{V} = \frac{A_{base} \times h}{3} $$
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$$ \mathcal{V}= \pi r^2 \times h $$
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Sphère
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Calotte sphérique
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$$ \mathcal{V}=\frac{4}{3} \pi r^3 $$
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$$ \mathcal{V} =\pi \left[ r^2 h - \frac{h^3}{3} \right] $$
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Demi-sphère tronquée
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$$ \mathcal{V} =\pi \left[\frac{2r^3}{3} - r^2h + \frac{h^3}{3} \right] $$
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