Représentations géométriques en seconde pro

Les outils de calcul des figures et des solides : angles et longueurs du triangle, puis volumes.

Une pièce mécanique se dessine en trois vues : de face, de dessus, de côté. L'atelier fabrique à partir de ces dessins plats, pas d'une photo.

Une seule vue laisserait le doute sur une épaisseur ou un perçage.

Trois dessins plats suffisent à décrire une pièce en volume, à condition de savoir passer de l'un à l'autre.

Lois géométriques du triangle

La somme des angles d'un triangle fait toujours $180°$ $(\pi \ \text{radians}) $.

$$ \alpha + \beta + \gamma = 180 \hspace{2em} \bigl[\text{deg}\bigr] $$

$$ \alpha + \beta + \gamma = \pi \hspace{2em} \bigl[\text{rad}\bigr] $$

Dans deux triangles semblables imbriqués $ ABC $ et $ ADE $, où $ADE$ est le plus grand triangle.

Ou encore dans le cas où les deux triangles sont semblables par l'extérieur (en conservant l'alignement des points précédents).

$$ (BC) \parallel (DE) \Longleftrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \hspace{2em} \bigl(\text{Thalès} \bigr) $$

(deux égalités sur trois sont suffisantes)

Ce théorème permet de :

Dans un triangle rectangle $\bigl \{ a, b, c\bigr\}$ tel que la figure suivante :

Ce théorème permet de :

$$ (a \perp b) \Longleftrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \hspace{2em} \bigl(\text{Pythagore} \bigr) $$

La formule de Héron est utile pour le calcul d'une aire dans un triangle ordinaire.

$$ S_{\Delta} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \hspace{2em} \bigl(\text{Formule de Héron}\bigr) $$

$$ \text{avec} \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} p : \text{demi-périmètre du triangle} \\ p = \frac{a+b+c}{2} \end{gather*} $$

Cube	Parallélépipède rectangle
$$ \mathcal{V}= c^3 $$	$$ \mathcal{V} = L \times l \times h $$
Pyramide à base carrée	Cône de révolution
$$ \mathcal{V}= \frac{c^2 \times h}{3} $$	$$ \mathcal{V}= \frac{\pi R^2 \times h}{3} $$
Pyramide (de manière générale)	Cylindre de révolution
$$ \mathcal{V} = \frac{A_{\text{base}} \times h}{3} $$	$$ \mathcal{V}= \pi R^2 \times h $$
Sphère	Calotte sphérique
$$ \mathcal{V}=\frac{4}{3} \pi R^3 $$	$$ \mathcal{V} =\pi \left[ r^2 h - \frac{h^3}{3} \right] $$
Demi-sphère tronquée
$$ \mathcal{V} =\pi \left[\frac{2R^3}{3} - R^2h + \frac{h^3}{3} \right] $$