La notion de probabilité

Un évènement

On définit en premier lieu un évènement, puis ensuite on calcule sa probaiblité d'occurrence.

Exemples :

Avec un dé à six faces, on définit les évènements suivants.

$E_{\text{1-1}}$ : "Obtenir un 1 sur un lancer"
$E_{\text{66-2}}$ : "Obtenir un double 6 sur deux lancers"

Un évènement $E$ est noté par une lettre majuscule et leur probabilité est notée $P(E) $.

Probabilités

Une probabilité

Une probabilité est le rapport entre les chances de réussite d'un certain évènement $E$ sur me nombre total de cas.

$$ P(E) = \frac{\text{nombre de cas d'occurrence de l'évènement}}{\text{nombre de cas possibles}} $$

Si on exprime cette probabilité en $\%$, dans ce cas :

$$ 0 \text{ %} \leqslant P(E) \leqslant 100 \text{ %} $$

Évènement contraire

Un évènement contraire $ : \overline{E}$

Soit un évènement se produit, soit il ne se produit pas, et on note $ \overline{E} $ son évènement contraire .

$$ P(\overline{E}) = 1 - P(E) $$

Équiprobabilité

Une équiprobabilité

Soit $n$ le nombre d' évènements possibles d'un univers équiprobable.

Il y a équiprobilité si tous ces derniers ont la même probabilité de se produire.

$$ P(E_1) = P(E_2) = ... = P(E_n) = \frac{1}{n} $$

Exemple : le lancer d'un dé à six faces

Il y a six faces sur un dé, alors la probabilité d'obtenir n'importe quelle nombre est équivalente.

Si on nomme les évènements suivants :

$D_1$ : "Obtenir un 1 sur un lancer"
$D_2$ : "Obtenir un 2 sur un lancer"
...etc.
$D_6$ : "Obtenir un 6 sur un lancer"

$$ P(D_1) = P(D_2) = ... = P(D_6) = \frac{1}{6} $$

Conjonction / disjonction

Probabilité d'une conjonction d'évènements (incompatibles) : $P(E_1 \text{ ou } E_2)$

Lorsque deux évènements $E_1$ et $E_2$ sont incompatibles , la probabilité d'obtenir l'un ou l'autre se traduit par une addition :

$$ P(E_1 \text{ ou } E_2) = P(E_1) + P(E_2) $$

Exemple : obtenir un 1 ou un 2 sur un lancer

$D_1$ : "Obtenir un 1 sur un lancer"
$D_2$ : "Obtenir un 2 sur un lancer"

$$ P(D_1 \text{ ou } D_2) = P(D_1) + P(D_2) = \frac{2}{6} $$

$$ P(D_1 \text{ ou } D_2) = \frac{1}{3} $$

Probabilité d'une disjonction d'évènements : $P(E_1 \text{ et } E_2)$

Lorsque deux évènements $E_1$ et $E_2$ sont indépendants , la probabilité d'obtenir l'un et l'autre évènement à la suite se traduit par une multiplication :

$$ P(E_1 \text{ et } E_2) = P(E_1) \times P(E_2) $$

Exemple : obtenir un 1 et un 2 avec deux dés

$D_1$ : "Obtenir un 1 sur un lancer"
$D_2$ : "Obtenir un 2 sur un lancer"

$$ P(D_1 \text{ et } D_2) = P(D_1) \times P(D_2) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} $$

$$ P(D_1 \text{ et } D_2) = \frac{1}{9} $$