La notion de probabilité en seconde pro

Nommer un évènement, puis mesurer ses chances : les premières règles de calcul des probabilités.

Nommer un évènement et noter sa probabilité
Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité
Calculer la probabilité de l'évènement contraire
Additionner les probabilités d'évènements incompatibles
Multiplier les probabilités d'évènements indépendants

Sur $500$ pièces sorties d'une machine, $8$ sont hors tolérance. Le contrôle qualité en déduit un taux de rebut de $1.6 \ \%$.

Sur les dix pièces suivantes, il peut n'y en avoir aucune de défectueuse - ou deux.

Une fréquence observée sur un grand nombre d'essais approche la probabilité, sans jamais la garantir sur un petit lot.

Un évènement

On définit en premier lieu un évènement, puis ensuite on calcule sa probabilité d'occurrence.

Exemples :

Avec un dé à six faces, on définit les évènements suivants.

$E_{\text{1-1}}$ : "Obtenir un 1 sur un lancer"
$E_{\text{66-2}}$ : "Obtenir un double 6 sur deux lancers"

Un évènement $E$ est noté par une lettre majuscule et sa probabilité est notée $P(E) $.

Probabilités

Une probabilité

Une probabilité est le rapport entre les chances de réussite d'un certain évènement $E$ sur le nombre total de cas.

$$ P(E) = \frac{\text{nombre de cas d'occurrence de l'évènement}}{\text{nombre de cas possibles}} $$

Si on exprime cette probabilité en $\%$, dans ce cas :

$$ 0 \text{ %} \leqslant P(E) \leqslant 100 \text{ %} $$

Évènement contraire

Un évènement contraire $ : \overline{E}$

Soit un évènement se produit, soit il ne se produit pas, et on note $ \overline{E} $ son évènement contraire.

$$ P(\overline{E}) = 1 - P(E) $$

Équiprobabilité

Une équiprobabilité

Soit $n$ le nombre d'évènements possibles d'un univers équiprobable.

Il y a équiprobabilité si tous ces derniers ont la même probabilité de se produire.

$$ P(E_1) = P(E_2) = ... = P(E_n) = \frac{1}{n} $$

Exemple : le lancer d'un dé à six faces

Il y a six faces sur un dé, alors la probabilité d'obtenir n'importe quel nombre est équivalente.

Si on nomme les évènements suivants :

$D_1$ : "Obtenir un 1 sur un lancer"
$D_2$ : "Obtenir un 2 sur un lancer"
...etc.
$D_6$ : "Obtenir un 6 sur un lancer"

$$ P(D_1) = P(D_2) = ... = P(D_6) = \frac{1}{6} $$

Disjonction / conjonction

Probabilité d'une disjonction d'évènements (incompatibles) : $P(E_1 \text{ ou } E_2)$

Lorsque deux évènements $E_1$ et $E_2$ sont incompatibles, la probabilité d'obtenir l'un ou l'autre se traduit par une addition:

$$ P(E_1 \text{ ou } E_2) = P(E_1) + P(E_2) $$

Exemple : obtenir un 1 ou un 2 sur un lancer

$D_1$ : "Obtenir un 1 sur un lancer"
$D_2$ : "Obtenir un 2 sur un lancer"

$$ P(D_1 \text{ ou } D_2) = P(D_1) + P(D_2) = \frac{2}{6} $$

$$ P(D_1 \text{ ou } D_2) = \frac{1}{3} $$

Probabilité d'une conjonction d'évènements (indépendants) : $P(E_1 \text{ et } E_2)$

Lorsque deux évènements $E_1$ et $E_2$ sont indépendants, la probabilité d'obtenir l'un et l'autre évènement à la suite se traduit par une multiplication:

$$ P(E_1 \text{ et } E_2) = P(E_1) \times P(E_2) $$

Exemple : obtenir un 1 au premier lancer et un 2 au second

$D_1$ : "Obtenir un 1 au premier lancer"
$D_2$ : "Obtenir un 2 au second lancer"

$$ P(D_1 \text{ et } D_2) = P(D_1) \times P(D_2) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} $$

$$ P(D_1 \text{ et } D_2) = \frac{1}{36} $$