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Le record du monde de 0 à 100 km/h

La voiture la plus rapide du monde, l'Aspark Owl, passe de 0 à \(100 \ km/h\) en seulement \(1.9 \ s\).

La distance parcourue

L'équation modélisant la distance (en \(m\)) par rapport au temps (en \(s\)), répond à l'équation suivante :

1. Quelle est la distance parcourue à \(t=0.5 \ s\), \(t=1 \ s\) et \(t=1.5 \ s\) ?

On calcule les images respective de chaque tempo.

$$ d(0.5) \approx 0.32 \ m $$

$$ d(1) \approx 2.55 \ m $$

$$ d(1.5) \approx 8.62 \ m $$
2. À quelle distance \(d_r\) la voiture atteint-elle le record ?

La voiture atteint ce record à \(d(1.9) \approx 17.5 \ m \).

Calcul de la vitesse moyenne

Pour calculer une vitesse moyenne, on calcule le taux de variation entre un point \(A(t_1; d_1)\) (le départ) et \(B(t_2; d_2)\) (l'arrivée).

$$ V_{moy} = \frac{d(t_2) - d(t_1)}{t_2 - t_1} $$

Calculer cette vitesse moyenne sur la durée du trajet \(AB\).

1. Calculer cette vitesse moyenne sur la durée du trajet \(AB\).

La vitesse moyenne de ce trajet est :

$$ V_{moy} = \frac{d(t_2) - d(t_1)}{t_2 - t_1} $$

$$ V_{moy} = \frac{d(1.9) - d(0)}{1.9 - 0} $$

$$ V_{moy} = \frac{d(1.9)}{1.9} $$

$$ V_{moy} \approx 9.22 \ m / s $$

Comme le temps et la vitesse démarre à zéro, cela revient à calculer une vitesse de tous les jours.

2. Convertir cette vitesse en \(km / h\).

On peut poser un produit en croix :

$$ \frac{9.22 \ \bigl[ m \bigr]}{1 \ \bigl[ s \bigr]} = \frac{X \ \bigl[ km \bigr]}{1 \ \bigl[ h \bigr]} $$

$$ \frac{9.22 \times 10^{-3} \bigl[ km \bigr]}{ \frac{1}{3600} \ \bigl[ h \bigr]} = \frac{X \ \bigl[ km \bigr]}{1 \ \bigl[ h \bigr]} $$

$$ X = 9.22 \times 10^{-3} \times 1 \times 3600 $$

$$ X \approx 33.22 $$

$$ V_{moy} \approx 33.22 \ km / h $$

Calcul de la vitesse instantanée

Pour plus de précision, il est possible de calculer une vitesse "moyenne" mais sur des distances beaucoup plus rapprochées.

On parlera alors de vitesse instantanée, lorsque ces deux distances seront quasiment confondues.

Méthode : pour générer deux points quasi confondus autour d'une certaine valeur de temps \(t\), on peut prendre un petit pas (exemple \( p = 0.01\)), et faire :

$$ A' \Bigl[ (t-p) ; d(t-p) \Bigr] $$

$$ B' \Bigl[ (t+p) ; d(t+p) \Bigr] $$

1. Calculer les vitesses instantanée pour \(t=0.5 \ s\), \(t=1 \ s\) et \(t=1.5 \ s\).

De manière générale, on aura :

$$ V_{inst}(t, p) = \frac{d(t + p) - d(t - p)}{t + p - (t - p)} $$

$$ V_{inst}(t, p) = \frac{d(t + p) - d(t - p)}{2p} $$

On va prendre un pas de : \( p = 10^{-3}\).

$$ V_{inst}(t) = \frac{d(t + 10^{-3}) - d(t - 10^{-3})}{2 \times 10^{-3}} $$

• Pour \(t=0.5 \ s\) :

$$ V_{inst}(0.5) = \frac{d(0.5 + 10^{-3}) - d(0.5 - 10^{-3})}{2 \times 10^{-3}} $$
$$ V_{inst} \approx 1.91 \ m / s $$

• Pour \(t= 1\ s\) :

$$ V_{inst}(1) \approx 7.67 \ m / s $$

• Pour \(t= 1.5 \ s\) :

$$ V_{inst}(1.5) \approx 17.26 \ m / s $$
2. Vérifier que la vitesse instantanée à \(1.9 \ s\) correspond bien à la vitesse de \(100 \ km/h\).
$$ V_{inst}(1.9) \approx 27.68 \ m / s $$

En convertissant en \(km / h\) comme précédemment, on trouve bien environ \(100 \ km / h\).

Modélisation de la vitesse instantanée

On peut modéliser la vitesse instantanée en fonction du temps, en calculant la dérivée de la distance \(d(t)\).

1. Déterminer l'expression de la fonction dérivée \(d'(t) = v(t)\), modélisant la vitesse instantanée en chaque instant du trajet.
$$ d(t) = \frac{15.34 \ t^3}{6} $$
$$ d'(t) = \frac{15.34 \times 3 t^2}{6} $$
$$ d'(t) = \frac{15.34 \ t^2}{2} $$
2. Établir un graphique de cette fonction en fonction du temps \(t\).



3. Quel sens physique donnez-vous à ce résultat ?

La vitesse ne fait qu'augmenter, cela veut dire que la voiture accélère.

4. Avec cette fonction dérivée, calculer les images :

   $$ d'(0.5) $$

   $$ d'(1) $$

   $$ d'(1.5) $$

   $$ d'(1.9) $$

   et comparer ces valeurs aux valeurs de vitesses trouvées précédemment avec la méthode par itération.

$$ d'(0.5) \approx 1.9175 \ m /s $$

$$ d'(1) = 7.67 \ m /s $$

$$ d'(1.5) = 17.2575 \ m /s $$

$$ d'(1.9) \approx 27.68 \ m /s $$

Les résultats sont très proches de ce que l'on a calculé précédemment.

5. Déterminer l'équation tangente à la courbe au point \((t=1 \ s)\), qu'on appellera \(T_1(x)\), et construire sa représentation sur la courbe de \(d(t)\) suivante.

Pour rappel, l'équation générale de la tangente au point \((x=a)\) vaut :

$$ T_a(x) = f'(a) (x-a) + f(a) $$



$$ T_1(x) = d'(1) (x-1) + d(1) $$

Soit,

$$ T_1(x) \approx 7.67 (x-1) + 2.56 $$

En développant, on découvre l'expression finale :

$$ T_1(x) \approx 7.67x- 7.67 + 2.56 $$

$$ T_1(x) \approx 7.67x- 5.11 $$

Modélisation de l'accélération instantanée

De la même manière que la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps, l'accélération est la dérivée de la vitesse.

1. Déterminer l'expression de \(a(t)\).

$$ d'(t) = \frac{15.34 \ t^2}{2} $$
$$ a(t) = d''(t) = \frac{15.34 \ 2t}{2} $$
$$ a(t) = 15.34 \ t $$
2. Établir un graphique de cette fonction en fonction du temps \(t\).



3. Que peut-on affirmer sur l'évolution de l'accélération en fonction du temps ?

L'accélération de la voiture est constante le long du record de vitesse.

4. Est-ce en cohérence avec l'interprétation physique faite dans l'exercice précédent ?