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Évolution de la population
Une ville de \(3 \overline{M}\) d'habitants connaît une diminution de \(4 \%\) par an pendant 3 ans.
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Quelle sera cette population au bout des 3 ans ?
On note \(P_0\) la population de départ.
Comme on multiplie par le même nombre tous les ans, à l'année \((n=3)\) la population sera de :
$$ P_3 = P_0 \times (1-t)^3 $$Application numérique
$$ P_3 = 3 \ 000 \ 000 \times \left(1-\frac{4}{100} \right)^3 $$$$ P_3 = 3 \ 000 \ 000 \times \left(\frac{100}{100}-\frac{4}{100} \right)^3 $$$$ P_3 = 2 \ 654 \ 208 \ hab. $$ -
Quel est le taux moyen mensuel de cette évolution au long des ces 3 années ?
Si l'on simule la même diminution avec un taux mensuel moyen \(t_m\), on obtient :
Comme on multiplie par le même nombre tous les ans, à l'année \((n=3)\) la population sera de :
$$ P_3 = P_0 \times (1-t_m)^{36} $$$$ \frac{P_3}{P_0} = (1-t_m)^{36} $$On applique la racine en base 36 pour faire disparaître la puissance :
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{\sqrt[36]{\textcolor{rgb(93 183 129)}{\frac{P_3}{P_0}}}} = \textcolor{rgb(232 124 124)}{\sqrt[36]{\textcolor{rgb(93 183 129)}{(1-t_m)^{36}}}} $$$$ \sqrt[36]{\frac{P_3}{P_0}} = 1-t_m $$Soit un taux mensuel moyen de :
$$ t_m = 1- \sqrt[36]{\frac{P_3}{P_0}} $$Application numérique
$$ t_m \approx 0.00339 $$Cela représente un taux diminution mensuel moyen d'environ \(0.339 \text{ %}\) sur les 36 mois.
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En conservant le même taux d'évolution, à partir de combien de temps (jours + années) cette population attendra une population de \( P_m = 2 \ 000 \ 000 \) d'habitants ?
La population évolue suivant :
$$ P_n = P_0 \times (1-t)^n $$On cherche une date \(m\) tel que :
$$ P_m = P_0 \times (1-t)^m $$$$ \frac{P_m}{\textcolor{rgb(232 124 124)}{P_0}} = \frac{P_0}{\textcolor{rgb(232 124 124)}{P_0}} \times (1-t)^m $$Ensuite, pour faire descendre un exposant, on utilise le logarithme :
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{\ln \Bigl(} \frac{P_m}{P_0} \textcolor{rgb(232 124 124)}{\Bigr)} = \textcolor{rgb(232 124 124)}{\ln \Bigl(}(1-t)^m\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Bigr)} $$$$ \ln \Bigl( \frac{P_m}{P_0} \Bigr) = m \times \ln (1-t) $$$$ m = \frac{\ln \Bigl( \frac{P_m}{P_0} \Bigr)}{\ln (1-t)} $$Application numérique :
$$ m = \frac{\ln \Bigl( \frac{2 \ 000 \ 000}{3 \ 000 \ 000} \Bigr)}{\ln (0.96)} $$$$ m \approx 9.993 $$C'est-à-dire 9 ans, plus 362 jours :
$$ \frac{0.993}{1} = \frac{N_j}{365} \Longleftrightarrow N_j = \frac{0.993 \times 365}{1} $$$$ N_j = 362 \ jours $$ -
Vérifier vos résultats avec ce simulateur d'évolution
Simulation de diminution de population
Population au départ : hab
Population à l'arrivée : hab
Taux : %
Date d'arrivée :
La gamme tempérée
En musique, on appelle un octave le fait de passer d'une note (par exemple \(Do\)), à la prochaine même note, mais plus aigüe.
Toutes les notes vibrent à une certaine fréquence (en \(Hz\)), et d'un octave à un autre, la fréquence double.
La gamme tempérée a été conçue pour qu'il subsiste le même rapport de fréquence, appelons le \(\alpha\), d'une note à une autre.
Quelle est la valeur de ce rapport ?
Le premier rapport entre \(f_1\) et \(f_0\) donne :
Le deuxième rapport entre \(f_2\) et \(f_1\) donne :
Mais, avec \((1)\), on avait que : \(f_1 = f_0 \ \alpha\). On remplace alors sa valeur dans \((2)\).
En recommençant la même chose avec les autres on s'aperçoit que :
...etc. jusque la fréquence \(f_{12}\) où :
Or, dans l'énoncé, on nous dit aussi que :
Les expressions \((3)\) et \((4)\) ont un membre commun, donc elles sont égales :
On divise tout par \(\textcolor{rgb(232 124 124)}{f_0}\) pour l'éliminer :
Enfin, on élimine la puissance par une racine :
Application numérique :