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Contexte
Un agriculteur dispose d'un champ rectangulaire de dimensions \(100 \times 150 \) mètres sur lequel vivent des chevaux.
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Que vaut la surface totale de son champ, en hectares ?
Dans ce champ, il souhaite mettre en place un poulailler carré, ainsi qu'un verger qui sera formé par le prolongement des dimensions du poulailler.
On appellera \(\textcolor{#B25F5F}{X}\) la longueur variable déterminant directement la taille du poulailler, telle que sur la figure suivante :
Surface du champ de l'agriculteur -
Exprimer l'intervalle (en mètres) dans lequel \(\textcolor{#B25F5F}{X}\) sera défini (sachant que le poulailler et le verger doivent tous deux avoir une surface minimum que vous déterminerez).
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Exprimer la surface du poulailler et celle du verger, toutes deux en fonction de \(\textcolor{#B25F5F}{X}\).
Détermination de la valeur de \(X\)
L'agriculteur souhaite que la surface additionnée de ces deux parcelles (verger + poulailler) fasse au moins \(60\%\) de la surface totale .
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Vérifier alors que l'inéquation correspondante à ce besoin est bien :
$$ 2X^2 - 250 X + 6000 \geqslant 0 \qquad (I) $$ -
Calculer le (ou les) intervalle(s) pour le(s)quel(s) \(\textcolor{#B25F5F}{X}\) vérifie l'inéquation \((I)\).
On pourra suivre les étapes suivantes :
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trouver les racines du polynôme
Pour calculer les racines d'un polynôme de la forme \(ax^2 + bx + c\), on calcule d'abord le discriminant \(\Delta\) :
$$ \Delta = b^2 - 4ac $$Ensuite, si \(\Delta \geqslant 0\), on obtient deux racines :
$$ X_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} $$$$ X_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$ -
le factoriser
Après calcul des racines, on obtient une forme factorisée du polynôme suivante :
$$ a(X - X_1)(X - X_2) $$ -
établir un tableau de signes
Dans notre cas, le tableau de signes va permettre de résoudre :
$$ a(X - X_1)(X - X_2) \geqslant 0 $$
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Finalement, dans quel intervalle doit être compris \(\textcolor{#B25F5F}{X}\) pour que le projet réponde au besoin ?