Activité sur les régressions linéaires (par la méthode des moindres carrés) : évolution du taux de nitrates dans une rivière

Suite aux dernières précipitations atmosphériques, on a observé une augmentation du taux de nitrates $(NO^-_3)$ en aval d'une rivière.

On a recueilli des analyses sur une dizaine de jours, et voici les données recueillies.

Jour	Taux de nitrates (en $mg/L$)
$$ j_1 $$	$$ 20.4 $$
$$ j_2 $$	$$ 21.5 $$
$$ j_3 $$	$$ 21.3 $$
$$ j_4 $$	$$ 21.4 $$
$$ j_5 $$	$$ 22.1 $$

Jour	Taux de nitrates (en $mg/L$)
$$ j_6 $$	$$ 22.6 $$
$$ j_7 $$	$$ 22.0 $$
$$ j_8 $$	$$ 23.4 $$
$$ j_9 $$	$$ 22.9 $$
$$ j_{10} $$	$$ 23.9 $$

Taux de nitrates (en $mg/L$) mesurés sur plusieurs jours en aval d'une rivière

Mettre ces valeurs dans le graphique suivant :

Graphe vide paysage — Évolution du taux de nitrates (en $mg/L$)

Approximation affine

On dispose de deux séries de valeurs, $X$ et $Y$ :

$$ \enspace \left \{ \begin{gather*} x = \bigl\{ x_1, x_2, x_3 ... \hspace{0.03em} x_n \bigr\} \qquad (\text{jours}) \\ y = \bigl\{ y_1, y_2, y_3 ... \hspace{0.03em} y_n \bigr\} \qquad \text{(concentrations en nitrates)} \end{gather*} \right \} $$

Établir une régression linéaire à l'aide de la méthode des moindres carrés.

D'abord on détermine les coefficients $a$ et $b$ :

On détermine la pente $a$ par :

$$ a = \frac{\mathrm{Cov}(x,y)}{\mathrm{Var}(x)} $$

$$ avec \enspace \left \{ \begin{align*} \mathrm{Cov}(x,y) = \frac{1}{n}\left[ \sum_{i=1}^n (x_i y_i) \right] - \hspace{0.03em}\overline{x}\bar{y} \qquad (\text{covariance}) \\ \mathrm{Var}(x) = \frac{1}{n} \left[ \sum_{i=1}^n (x_i)^2 \right] - \hspace{0.03em}\overline{x}^2 \qquad (\text{variance}^*) \end{align*} \right \} $$

$$ et \enspace \left \{ \begin{align*} \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \\ \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \end{align*} \right \} \qquad (\text{moyennes}) $$

Puis l'ordonnée à l'origine $b$ par :

$$b = \bar{y} - a \overline{x} $$

Une fois déterminés $a$ et $b$, on en déduit l'expression de la droite de régression linéaire :

On obtient une droite d'équation :

$$R(x) = ax+b $$

En effectuant la régression linéaire, on trouve les coefficients :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} a \approx 0.328 \\ b \approx 20.34 \end{align*} $$

Ce qui nous donne une droite de régression linéaire $f$ :

$$ f(x) \approx 0.328 x + 20.34 $$
Établir le graphique correspondant à cette équation sur la figure précédente, où l'on avait inscrit les valeurs de concentration en nitrates.
En supposant que le rythme d'évolution reste le même encore sur les jours à venir, quel sera approximativement le taux de nitrates au jour 50 ?

Au jour 50, on aura :

$$ f(50) \approx 0.328 \times 50 + 20.34 $$

$$f(50) \approx 36.74 \ mg/L $$
Au délà de quel jour le taux de nitrates dans cette eau deviendra non conforme (sachant qu'une eau devient non conforme de le contexte de cette rivière au delà de $50 \ mg/L$) ?

On résoud :

$$ f(x) \geqslant 50 $$

$$ 0.328 x + 20.34 \geqslant 50 $$

$$ 0.328 x \geqslant 50 - 20.34 $$

$$ x \geqslant \frac{50 - 20.34}{0.328} $$

$$ x \geqslant 90.4 $$

$$ x \geqslant 91 $$

Cette eau deviendra non conforme au bout du jour 91.