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Probabilités conditionnelles

Les chances de répondre aléatoirement à un QCM

On se prépare à passer un QCM comportant à chaque fois quatre réponses possibles, dont une seule est exacte.

On admet qu'il y ait une probabilité d'un tiers pour que l'on connaisse la réponse.

On appelle les évènements :

  1. Construire un arbre de probabilités illustrant cette situation.

  2. Quelle est la probabilité pour que la réponse à n'importe quelle question soit la bonne ?

    3. On cherche \(P(B)\) :

    $$ P(B) = P(C \cap B) + P(\overline{C} \cap B) $$
    $$ P(B) = P(C) \times P_C(B) + P(C) \times P_{\overline{C}}(B) $$
    $$ P(B) = \frac{1}{3} \times 1 + \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} $$
    $$ P(B) = \frac{1}{3}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{4}{4}} + \frac{2}{12} $$
    $$ P(B) = \frac{4}{12} + \frac{2}{12} $$
    $$ P(B) = \frac{6}{12} $$
    $$P(B) = \frac{1}{2} $$

Les spécialités des élèves de Terminale

Dans une classe de 30 élèves de Terminale, chaque élève a choisi une seule spécialité.

Voici un tableau récapitulatif des spécialités des élèves :

Genre
Spécialité
Rugby
Tennis
Basket
Danse
Théâtre
Total
Fille
1
3
2
6
5
Garçon
3
4
4
1
1
Total
Genre
Spécialité
Rugby
Tennis
Basket
Danse
Théâtre
Total
Fille
1
3
2
6
5
17
Garçon
3
4
4
1
1
13
Total
4
7
6
7
6
30
tableau des spécialités de la classe en fonction de genre de l'élève
  1. Compléter le tableau précédent.

  2. Construire un arbre de probabilités illustrant cette situation.

  3. On appelle les évènements :


    Ainsi que :


    Et on cherche à connaitre les probabilités suivantes :

    1. La probabilité qu'un élève soit une fille, et fasse du tennis :

      $$P(F \cap T) = $$
      2. $$ P(F \cap T) = P(F) \times P_F(T) $$
      $$ P(F \cap T) = \frac{17}{30} \times \frac{3}{17} $$
      $$ P(F \cap T) = \frac{3}{30} $$
      $$P(F \cap T) = \frac{1}{10} $$

    2. La probabilité qu'un élève soit une fille, et fasse du tennis :

      $$P(F \cap T) = $$
      3. $$ P(F \cap T) = P(F) \times P_F(T) $$
      $$ P(F \cap T) = \frac{17}{30} \times \frac{3}{17} $$
      $$ P(F \cap T) = \frac{3}{30} $$
      $$P(F \cap T) = \frac{1}{10} $$

    3. La probabilité qu'un élève soit un garçon, et fasse de la danse :

      $$P(G \cap D) = $$
      4. $$ P(G \cap D) = P(G) \times P_G(D) $$
      $$ P(G \cap D) = \frac{13}{30} \times \frac{1}{13} $$
      $$P(G \cap D) = \frac{1}{30} $$

    4. La probabilité qu'un élève fasse du rugby :

      $$P(R) = $$
      5. $$ P(R) = P(F \cap R) + P(G \cap R) $$
      $$ P(R) = P(F) \times P_F(R) + P(G) \times P_G(R) $$
      $$ P(R) = \frac{17}{30} \times \frac{1}{17} + \frac{13}{30} \times \frac{3}{13} $$
      $$ P(R) = \frac{1}{30} + \frac{3}{30} $$
      $$ P(R) = \frac{4}{30} $$
      $$ P(R) = \frac{2 \times \cancel{2}}{15 \times \cancel{2}} $$
      $$P(R) = \frac{2}{15} $$

    5. La probabilité qu'un élève soit une fille, ou fasse de la danse :

      $$P(F \cup D) = $$
      6. $$ P(F \cup D) = P(F) + \textcolor{#606B9E}{P(D)} - \textcolor{#AF5F5F}{P(F \cap D)} $$
      $$ P(F \cup D) = \frac{17}{30} + \textcolor{#606B9E}{P(F \cap D) + \underbrace{P(G \cap D)} _\text{calculé plus haut}} - \ \textcolor{#AF5F5F}{P(F \cap D)} $$
      $$ P(F \cup D) = \frac{17}{30} + \textcolor{#606B9E}{P(F \cap D)} + \textcolor{#606B9E}{ \frac{1}{30}} - \textcolor{#AF5F5F}{P(F \cap D)} $$
      $$ P(F \cup D) = \frac{17}{30} + \textcolor{#606B9E}{ \frac{1}{30}} + \underbrace{ \textcolor{#606B9E}{P(F \cap D)} - \textcolor{#AF5F5F}{P(F \cap D)} } _\text{ \(= 0\) } $$
      $$ P(F \cup D) = \frac{18}{30} $$
      $$ P(F \cup D) = \frac{\cancel{6} \times 3}{\cancel{6} \times 5} $$
      $$ P(F \cup D) = \frac{3}{5} $$

    6. La probabilité qu'un élève fasse du rugby ou de la danse :

      $$P(R \cup D) = $$
      7. $$ P(R \cup D) = P(R) + P(F \cap D) + P(G \cap D) $$
      $$ P(R \cup D) = \underbrace{P(R) + P(G \cap D) } _\text{calculés plus haut} + \textcolor{#606B9E}{P(F \cap D)} $$
      $$ P(R \cup D) = \frac{2}{15} + \frac{1}{30} + \textcolor{#606B9E}{P(F) \times P_F(D)} $$
      $$ P(R \cup D) = \frac{4}{30} + \textcolor{#606B9E}{\frac{17}{30} \times \frac{6}{17}} $$
      $$ P(R \cup D) = \frac{4}{30} + \textcolor{#606B9E}{\frac{6}{30}} $$
      $$ P(R \cup D) = \frac{10}{30} $$
      $$P(R \cup D) = \frac{1}{3} $$

Les service de Novak Djokovic

Pour Novak Djokovic, on dispose des statistiques suivantes pour son service :


  1. Donner des noms pertinents pour chaque évènement.

  2. Construire un arbre de probabilités illustrant cette situation.

  3. On cherche à connaitre les probabilités suivantes (exprimées en pourcentages) :

    1. La probabilité de réussir son premier service puis de perdre le point :

      2. $$ P(R_1 \cap \overline{G}) = P(R_1) \times P_{R_1}(\overline{G}) $$
      $$ P(R_1 \cap \overline{G}) = 0.65 \times 0.66 $$
      $$ P(R_1 \cap \overline{G}) = 0.429 $$
      $$P(R_1 \cap \overline{G}) = 42.9 \ \% $$

    2. La probabilité de réussir son deuxième service puis de gagner le point :

      3. $$ P(R_2 \cap G) = \textcolor{#606B9E}{P(R_2)} \times P_{R_2}(G) $$
      $$ P(R_2 \cap G) = \textcolor{#606B9E}{P(\overline{R_1}) \times P_{\overline{R_1}}(R_2)} \times P_{R_2}(G) $$
      $$ P(R_2 \cap G) = \textcolor{#606B9E}{0.35 \times 0.9} \times 0.55 $$
      $$ P(R_2 \cap G) = 0.17325 $$
      $$P(R_2 \cap G) = 17.325 \ \% $$

    3. La probabilité de gagner le point :

      4. $$ P(G) = \textcolor{#606B9E}{P(R_1 \cap G)} + P(R_2 \cap G) $$
      $$ P(G) = \textcolor{#606B9E}{P(R_1) \times P_{R_1}(G)} + \underbrace{P(R_2 \cap G)} _ \text{déjà calculé} $$
      $$ P(G) = \textcolor{#606B9E}{0.65 \times 0.34} + 0.17325 $$
      $$ P(G) = 0.39425 $$
      $$P(G) = 39.425 \ \% $$

    4. La probabilité de perdre le point :

      5. $$ P(\overline{G}) = 1 - P(G) $$
      $$ P(\overline{G}) = 1 - 0.39425 $$
      $$ P(\overline{G}) = 0.60575 $$
      $$P(\overline{G}) = 60.575 \ \% $$
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