Probabilités conditionnelles

Les chances de répondre aléatoirement à un QCM

On se prépare à passer un QCM comportant à chaque fois quatre réponses possibles , dont une seule est exacte.

On admet qu'il y ait une probabilité d' un tiers pour que l'on connaisse la réponse.

On appelle les évènements :

• \( C \) : "L'élève connaît la réponse"
• \( B \) : "La réponse choisie par l'élève est la bonne "

1. Construire un arbre de probabilités illustrant cette situation.
   
2. Quelle est la probabilité pour que la réponse à n'importe quelle question soit la bonne ?

   On cherche \(P(B)\) :

   $$ P(B) = P(C \cap B) + P(\overline{C} \cap B) $$

   $$ P(B) = P(C) \times P_C(B) + P(C) \times P_{\overline{C}}(B) $$

   $$ P(B) = \frac{1}{3} \times 1 + \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} $$

   $$ P(B) = \frac{1}{3}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{4}{4}} + \frac{2}{12} $$

   $$ P(B) = \frac{4}{12} + \frac{2}{12} $$

   $$ P(B) = \frac{6}{12} $$

   $$P(B) = \frac{1}{2} $$

Les spécialités des élèves de Terminale

Dans une classe de 30 élèves de Terminale, chaque élève a choisi une seule spécialité.

Voici un tableau récapitulatif des spécialités des élèves :

1. Compléter le tableau précédent.
2. Construire un arbre de probabilités illustrant cette situation.
   

3. On appelle les évènements :

   • \( F \) : "L'élève est une fille "

   • \( G \) : "L'élève est un garçon "

   
   

   Ainsi que :

   • \( R \) : "L'élève a choisi la spécialité rugby "

   • \( T \) : "L'élève a choisi la spécialité tennis "

   • \( B \) : "L'élève a choisi la spécialité basket "

   • \( D \) : "L'élève a choisi la spécialité danse "

   • \( Th \) : "L'élève a choisi la spécialité théâtre "

   
   

   Et on cherche à connaitre les probabilités suivantes :

   1. La probabilité qu'un élève soit une fille, et fasse du tennis :

      $$P(F \cap T) = $$
      $$ P(F \cap T) = P(F) \times P_F(T) $$

      $$ P(F \cap T) = \frac{17}{30} \times \frac{3}{17} $$

      $$ P(F \cap T) = \frac{3}{30} $$

      $$P(F \cap T) = \frac{1}{10} $$

   2. La probabilité qu'un élève soit une fille, et fasse du tennis :

      $$P(F \cap T) = $$
      $$ P(F \cap T) = P(F) \times P_F(T) $$

      $$ P(F \cap T) = \frac{17}{30} \times \frac{3}{17} $$

      $$ P(F \cap T) = \frac{3}{30} $$

      $$P(F \cap T) = \frac{1}{10} $$

   3. La probabilité qu'un élève soit un garçon, et fasse de la danse :

      $$P(G \cap D) = $$
      $$ P(G \cap D) = P(G) \times P_G(D) $$

      $$ P(G \cap D) = \frac{13}{30} \times \frac{1}{13} $$

      $$P(G \cap D) = \frac{1}{30} $$

   4. La probabilité qu'un élève fasse du rugby :

      $$P(R) = $$
      $$ P(R) = P(F \cap R) + P(G \cap R) $$

      $$ P(R) = P(F) \times P_F(R) + P(G) \times P_G(R) $$

      $$ P(R) = \frac{17}{30} \times \frac{1}{17} + \frac{13}{30} \times \frac{3}{13} $$

      $$ P(R) = \frac{1}{30} + \frac{3}{30} $$

      $$ P(R) = \frac{4}{30} $$

      $$ P(R) = \frac{2 \times \cancel{2}}{15 \times \cancel{2}} $$

      $$P(R) = \frac{2}{15} $$

   5. La probabilité qu'un élève soit une fille, ou fasse de la danse :

      $$P(F \cup D) = $$
      $$ P(F \cup D) = P(F) + \textcolor{rgb(58 85 210)}{P(D)} - \textcolor{rgb(232 124 124)}{P(F \cap D)} $$

      $$ P(F \cup D) = \frac{17}{30} + \textcolor{rgb(58 85 210)}{P(F \cap D) + \underbrace{P(G \cap D)} _\text{calculé plus haut}} - \ \textcolor{rgb(232 124 124)}{P(F \cap D)} $$

      $$ P(F \cup D) = \frac{17}{30} + \textcolor{rgb(58 85 210)}{P(F \cap D)} + \textcolor{rgb(58 85 210)}{ \frac{1}{30}} - \textcolor{rgb(232 124 124)}{P(F \cap D)} $$

      $$ P(F \cup D) = \frac{17}{30} + \textcolor{rgb(58 85 210)}{ \frac{1}{30}} + \underbrace{ \textcolor{rgb(58 85 210)}{P(F \cap D)} - \textcolor{rgb(232 124 124)}{P(F \cap D)} } _\text{ \(= 0\) } $$

      $$ P(F \cup D) = \frac{18}{30} $$

      $$ P(F \cup D) = \frac{\cancel{6} \times 3}{\cancel{6} \times 5} $$

      $$ P(F \cup D) = \frac{3}{5} $$

   6. La probabilité qu'un élève fasse du rugby ou de la danse :

      $$P(R \cup D) = $$
      $$ P(R \cup D) = P(R) + P(F \cap D) + P(G \cap D) $$

      $$ P(R \cup D) = \underbrace{P(R) + P(G \cap D) } _\text{calculés plus haut} + \textcolor{rgb(58 85 210)}{P(F \cap D)} $$

      $$ P(R \cup D) = \frac{2}{15} + \frac{1}{30} + \textcolor{rgb(58 85 210)}{P(F) \times P_F(D)} $$

      $$ P(R \cup D) = \frac{4}{30} + \textcolor{rgb(58 85 210)}{\frac{17}{30} \times \frac{6}{17}} $$

      $$ P(R \cup D) = \frac{4}{30} + \textcolor{rgb(58 85 210)}{\frac{6}{30}} $$

      $$ P(R \cup D) = \frac{10}{30} $$

      $$P(R \cup D) = \frac{1}{3} $$

Les service de Novak Djokovic

Pour Novak Djokovic, on dispose des statistiques suivantes pour son service :

• Pourcentage de réussite du 1 ^er service : \(65 \%\)
• Pourcentage de victoire du point suite au 1 ^er service : \(34 \%\)
• Pourcentage de réussite du 2 ^ème service : \(90 \%\)
• Pourcentage de victoire du point suite au 2 ^ème service : \(55 \%\)

1. Donner des noms pertinents pour chaque évènement.

   • \( \hspace{4em} \) : " Réussir le 1 ^er service "

   • \( \hspace{4em} \) : " Réussir le 2 ^ème service "

   • \( \hspace{4em} \) : " Gagner le point"

   • \( R_1 \) : " Réussir son 1 ^er service "

   • \( R_2 \) : " Réussir son 2 ^ème service "

   • \( G \) : " Gagner le point"

2. Construire un arbre de probabilités illustrant cette situation.
   
3. On cherche à connaitre les probabilités suivantes (exprimées en pourcentages) :

   1. La probabilité de réussir son premier service puis de perdre le point :

      $$ P(R_1 \cap \overline{G}) = P(R_1) \times P_{R_1}(\overline{G}) $$

      $$ P(R_1 \cap \overline{G}) = 0.65 \times 0.66 $$

      $$ P(R_1 \cap \overline{G}) = 0.429 $$

      $$P(R_1 \cap \overline{G}) = 42.9 \text{ %} $$

   2. La probabilité de réussir son deuxième service puis de gagner le point :

      $$ P(R_2 \cap G) = \textcolor{rgb(58 85 210)}{P(R_2)} \times P_{R_2}(G) $$

      $$ P(R_2 \cap G) = \textcolor{rgb(58 85 210)}{P(\overline{R_1}) \times P_{\overline{R_1}}(R_2)} \times P_{R_2}(G) $$

      $$ P(R_2 \cap G) = \textcolor{rgb(58 85 210)}{0.35 \times 0.9} \times 0.55 $$

      $$ P(R_2 \cap G) = 0.17325 $$

      $$P(R_2 \cap G) = 17.325 \text{ %} $$

   3. La probabilité de gagner le point :

      $$ P(G) = \textcolor{rgb(58 85 210)}{P(R_1 \cap G)} + P(R_2 \cap G) $$

      $$ P(G) = \textcolor{rgb(58 85 210)}{P(R_1) \times P_{R_1}(G)} + \underbrace{P(R_2 \cap G)} _ \text{déjà calculé} $$

      $$ P(G) = \textcolor{rgb(58 85 210)}{0.65 \times 0.34} + 0.17325 $$

      $$ P(G) = 0.39425 $$

      $$P(G) = 39.425 \text{ %} $$

   4. La probabilité de perdre le point :

      $$ P(\overline{G}) = 1 - P(G) $$

      $$ P(\overline{G}) = 1 - 0.39425 $$

      $$ P(\overline{G}) = 0.60575 $$

      $$P(\overline{G}) = 60.575 \text{ %} $$