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Probabilités et suites

Les chances de victoires successives d'une équipe professionnelle

Une étude statistique sur une série de matchs de volley d'une équipe professionnelle montre que :

• à la 1^ère rencontre, les chances de victoires sont de \(70 \%\), puis :

• à l'issue d'une victoire au \(n\)-ième match, les chances de l'emporter au match suivant sont alors de \(75 \%\)

• à l'issue d'une défaite au \(n\)-ième match, les chances de l'emporter au match suivant sont alors de \(30 \%\)

On appelle ainsi l'évènement suivant :

• \( V_n \) : "L'équipe connaît une victoire au match \(n\)"

Et on note la probabilité suivante :

• \( v_n \) : la probabilité de victoire au \(n\)-ième match, soit :
$$ v_n = P(V_n) $$

1. Construire un arbre de probabilités illustrant cette situation.

2. Quelle est la probabilité de victoire de l'équipe au \((n+1)\)-ième match ?
$$ v_{n+1} = P(V_{n+1}) $$
$$ v_{n+1} = P(V_n \cap V_{n+1}) + P(\overline{V_n} \cap V_{n+1}) $$
$$ v_{n+1} = P(V_n) \times P_{V_n}(V_{n+1}) + P(\overline{V_n}) \times P_{\overline{V_n}}(V_{n+1}) $$
$$ v_{n+1} = v_n \times 0.75 + (1 - v_n) \times 0.3 $$
$$ v_{n+1} = 0.75 v_n + 0.3 - 0.3 v_n $$
$$v_{n+1} = 0.45 v_n + 0.3 $$

3. On introduit une nouvelle suite auxiliaire \(w_n\) telle que :

   $$ \forall n \geqslant 0, \ w_n = v_n - \frac{6}{11} $$

   Justifer que cette nouvelle suite \(w_n\) est suite géométrique, et précisez-en sa raison et son premier terme \(w_0\).

$$ w_n = v_n - \frac{6}{11} $$
Donc,
$$ w_{n + 1} = v_{n + 1} - \frac{6}{11} $$
Or, on a calculé \(v{n+1}\) plus haut :
$$ w_{n + 1} = 0.45 v_n + 0.3 - \frac{6}{11} \qquad(1) $$
Par ailleurs,
$$ w_n = v_n - \frac{6}{11} $$
Donne aussi :
$$ w_n + \frac{6}{11} = v_n \qquad(2) $$
Qu'on va pouvoir réinjecter dans \((1)\).
En faisant l'injection \((2) \longrightarrow (1)\), on a :
$$ w_{n + 1} = 0.45 \left( w_n + \frac{6}{11} \right) + 0.3 - \frac{6}{11} $$
$$ w_{n + 1} = 0.45 \ w_n + 0.45 \times \frac{6}{11} + 0.3 - \frac{6}{11} $$
$$ w_{n + 1} = 0.45 \ w_n + \frac{45}{100} \times \frac{6}{11} + \textcolor{#6187B2}{\frac{11}{11} \times \frac{10}{10} \times}\frac{3}{10} - \textcolor{#6187B2}{\frac{100}{100}}\times\frac{6}{11} $$
$$ w_{n + 1} = 0.45 \ w_n + \underbrace{\frac{270}{1100} + \frac{330}{1100} - \frac{600}{1100}} _\text{ = 0} $$
$$w_{n+1} = 0.45 \ w_n $$
\(w_n\) est bien une suite géométrique de raison \(0.45\).
Et son premier terme vaut :
$$ w_0 = v_0 - \frac{6}{11} $$
La probabilité de victoire au premier est \(V_0 = 0.70\), soit en remplaçant :
$$ w_0 = 0.70 - \frac{6}{11} $$
$$ w_0 = \textcolor{#6187B2}{\frac{11}{11} \times} \frac{70}{100} - \textcolor{#6187B2}{\frac{100}{100} \times}\frac{6}{11} $$
$$ w_0 = \frac{770}{1100} - \frac{600}{1100} $$
$$ w_0 = \frac{170}{1100} $$
$$ w_0 = \frac{17}{110} $$


Son expression générale est alors :
$$w_n = \frac{17}{110} \times 0.45^n $$
4. En déduire alors l'expression générale de la suite \(v_n\).

En reprenant l'expression précédente de \(v_n\) :

$$ v_n = w_n + \frac{6}{11} $$

$$v_n = \frac{17}{110} \times 0.45^n + \frac{6}{11} $$
5. Enfin, d'après ce modèle, quelle est la probabilité de victoire sur un match situé le plus loin possible dans le temps ?

Pour avoir la probabilité sur un nombre infini de matchs, il faut prendre la limite en \(+ \infty\) :

$$ \\lim_{n \to +\infty} \bigl[ v_n \bigr] = \\lim_{n \to +\infty} \left[ \frac{17}{110} \times 0.45^n + \frac{6}{11} \right] $$

Comme la raison est comprise entre \(-1\) et 1, elle tend vers 0 lorsque \(n \to +\infty\), donc :

$$\\lim_{n \to +\infty} \bigl[ v_n \bigr] = \frac{6}{11} $$