Bases de la géométrie dans l'espace

Se répérer dans l'espace

Soit deux points dans l'espace \(A(x_A, y_A, z_A)\) et \(B(x_B, y_B, z_B)\).

En deux dimensions

1. Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\)
   $$ \overrightarrow{AB} \ = \begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A \end{pmatrix} $$
2. Calculer la longueur \(AB\)
   $$ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 } $$

En trois dimensions

1. Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\)
   $$ \overrightarrow{AB} \ = \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{pmatrix} $$
2. Calculer la longueur \(AB\)
   $$ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} $$

Parallélisme / Perpendicularité

• établir une relation de parallélisme
• établir une relation de perpendicularité

Parallélisme

Il existe deux manières principales de vérifier si deux vecteurs sont colinéaires (parallèles entre eux).

• en cherchant le rapport de proportionnalité
• en calculant un produit vectoriel (3D) ou le déterminant (2D)

1. En cherchant le rapport de proportionnalité \(k\)

   Si deux vecteurs sont parallèles (ou colinéaires), alors leurs coordonnées ont un certain rapport de proportionnalité \(k\) (à déterminer) sur les trois dimensions :

   $$ \vec{u} \parallel \vec{v} \Longleftrightarrow \vec{u} \hspace{0.03em} = k \times \vec{v} $$
   $$ \Longleftrightarrow \ \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} \hspace{0.03em} = k \times \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} $$
   $$ \Longleftrightarrow \ \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} \hspace{0.03em} = \begin{pmatrix} k \times x_2 \\ k \times y_2 \\ k \times z_2 \end{pmatrix} $$
   
   
2. En calculant le produit vectoriel \((\vec{u} \land \vec{v})\) ou le déterminant \(det(\vec{u}, \vec{v}) \)

   Sinon, on peut aussi vérifier le parallélisme en vérifiant que le produit vectoriel \((\vec{u} \land \vec{v})\) est nul :

   $$ \vec{u} \parallel \vec{v} \Longleftrightarrow \vec{u} \land \vec{v} = \vec{0} $$
   $$ \Longleftrightarrow \ \begin{pmatrix} y_1 z_2 - y_2 z_1 \\ z_1 x_2 - z_2 x_1 \\ x_1 y_2 - x_2 y_1 \end{pmatrix} \hspace{0.03em} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
   
   

   En deux dimensions, on pourra calculer le déterminant des vecteurs \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \) et \(\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \) :

   $$ \vec{u} \parallel \vec{v} \Longleftrightarrow det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 0 $$
   $$ avec \enspace \Bigl \{ \begin{gather*} det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = x_1 y_2 - x_2 y _1 \end{gather*} $$

Perpendicularité

1. Vérifier que deux droites sont perpendiculaires

   

   Si deux vecteurs sont perpendiculaires, alors leur produit scalaire \((\vec{u} \cdot \vec{v})\) est nul :

   $$ \vec{u} \perp \vec{v} \Longleftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = 0 $$
   
   

   On peux calculer le produit scalaire de deux de deux manières :

   $$ \vec{u}\cdot\vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0 $$

   ou par

   $$ \vec{u}\cdot\vec{v} = || \vec{u} || \times || \vec{v} || \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) $$
2. Déterminer un vecteur normal à un plan

   Soit un plan dirigé par deux vecteurs \((\vec{u}, \ \vec{v})\) passant par un point \(O\).

   1. Par le produit scalaire nul de deux vecteurs perpendiculaires du plan

      Un vecteur \(\vec{n} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \) est un vecteur normal au plan, si et seulement si il est perpendiculaire à deux vecteurs de ce plan.

      $$ \left[ \ \vec{n} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \ vecteur \ normal \ au \ plan \ (O, \ \vec{u}, \ \vec{v}) \ \right] \Longleftrightarrow \Bigl[ \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \text{ et } \vec{n} \cdot \vec{v}=0 \Bigr] $$

      

   2. Par le calcul du produit vectoriel

      Le vecteur résultant du produit vectoriel \((\vec{u} \land \vec{v})\) est un vecteur normal au plan \((O, \ \vec{u}, \ \vec{v})\)

      

Droites et plans dans l'espace

Équation paramétrique d'une droite dans l'espace

Une droite dirigé par un vecteur \(\vec{u} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \) et passant par un point \(A\left( x_A ; y_A \ ; z_A \right) \), a pour équation :

Équation d'un plan l'espace

Un plan dirigé par un vecteur normal \(\vec{n} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \) et passant par un point \(A\left( x_A ; y_A \ ; z_A \right) \), a pour équation :