Faire une division à la main

Pour faire une division à la main, on peut au fil de la division, garder un aspect visuel avec la division Euclidienne .

$$ \textcolor{#6187B2}{a } $$	$$ b $$
$$ \hspace{-1.5em } -b \textcolor{rgb(93 183 129)}{q} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{q} $$
$$ \hspace{-1.8em } = \textcolor{#A16632}{R} $$

Tant que $(\textcolor{#6187B2}{a} \geqslant b)$, on peut décortiquer $\textcolor{#6187B2}{a}$ comme ceci :

$$ \textcolor{#6187B2}a = b \textcolor{rgb(93 183 129)}{q} + \textcolor{#A16632}{ R } $$

$$ avec \enspace \left \{ \begin{gather*} \textcolor{#6187B2}{a = dividende } \\ b = diviseur\\ \textcolor{rgb(93 183 129)}{q = quotient} \\ \textcolor{#A16632}{ R = reste, \ avec \ 0 \leqslant R < b } \end{gather*} \right \} $$

$$ (b \in \mathbb{N}^*, \ (a, q, R) \in \mathbb{N}^3) $$

Prenons une division en exemple au hasard :

$$ 1 \ 754 \ 836 \div 12 $$

Puisqu'on a le droit d'additionner des fractions avec le même dénominateur , c'est comme si on faisait :

$$ \frac{1 \ 754 \ 836}{12} =\frac{1 \ 000 \ 000}{12} + \frac{700 \ 000}{12} + \frac{50 \ 000}{12} + \frac{4 \ 000}{12} + \frac{800}{12} + \frac{30}{12} + \frac{6}{12} $$

Décortiquons ce qu'il se passe pour chaque ordre de grandeur.

Centaines de milliers

Dans ce cas-ci, on va commencer par faire non pas $\frac{1 \ 000 \ 000}{12}$ mais directement $ \frac{1 \ 700 \ 000}{12} $.

$$ \hspace{0.8em } \textcolor{#6187B2}{ \overset{\LARGE\frown}{1 \ 7} }54 \ 836 $$	$$ 12 $$
$$ \hspace{-0.6em } -1 \ 2\hspace{0.2em} . \hspace{0.04em} . \hspace{0.2em} \dots $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{1} $$
$$ \hspace{-0.8em } = \textcolor{#A16632}{5}54 \ 836 $$

Au départ, on a (en centaines de milliers) :

$$ \frac{17}{12} \Longrightarrow il \ y \ va \ 1 \ fois $$

Puis,

$$ \textcolor{#6187B2}{1 \ 700 \ 000} = 12 \times \textcolor{rgb(93 183 129)}{100 \ 000} + \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#6187B2}{1 \ 700 \ 000} - 1 \ 200 \ 000 = \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#A16632}{R = 500 \ 000} $$

Il reste $500 \ 000$ à diviser par 12, auquel on rajoute le reste encore à diviser .

Dixaines de milliers

$$ \hspace{0.8em } \textcolor{#6187B2}{ \overset{\frown}{55} }4 \ 836 $$	$$ 12 $$
$$ \hspace{-0.6em } -48 \hspace{0.2em} . \hspace{0.2em} \dots $$	$$ 1\textcolor{rgb(93 183 129)}{4} $$
$$ \hspace{-0.8em } = \textcolor{#A16632}{7}4 \ 836 $$

$$ \frac{55}{12} \Longrightarrow il \ y \ va \ 4 \ fois $$

$$ \textcolor{#6187B2}{550 \ 000} = 12 \times \textcolor{rgb(93 183 129)}{40 \ 000} + \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#6187B2}{550 \ 000} - 480 \ 000 = \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#A16632}{R = 70 \ 000} $$

Milliers

$$ \hspace{0.8em } \textcolor{#6187B2}{ \overset{\frown}{74 } \ }836 $$	$$ 12 $$
$$ \hspace{-0.6em } -72 \hspace{0.2em} \dots $$	$$ 14 \textcolor{rgb(93 183 129)}{6} $$
$$ \hspace{-0.8em } = \textcolor{#A16632}{2}\ 836 $$

$$ \frac{72}{12} \Longrightarrow il \ y \ va \ 6 \ fois $$

$$ \textcolor{#6187B2}{74\ 000} = 12 \times \textcolor{rgb(93 183 129)}{6 \ 000} +\textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#6187B2}{74\ 000} - 72 \ 000 = \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#A16632}{R = 2 \ 000} $$

Centaines

$$ \hspace{0.8em } \textcolor{#6187B2}{ \overset{\LARGE\frown}{2 \ 8 } }36 $$	$$ 12 $$
$$ \hspace{-0.6em } -2\ 4 \hspace{0.2em} . \hspace{0.03em} . $$	$$ 14 6 \ \textcolor{rgb(93 183 129)}{2} $$
$$ \hspace{-0.8em } = \textcolor{#A16632}{4}36 $$

$$ \frac{28}{12} \Longrightarrow il \ y \ va \ 2 \ fois $$

$$ \textcolor{#6187B2}{2 \ 800} = 12 \times \textcolor{rgb(93 183 129)}{200} + \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#6187B2}{2 \ 800} - 2 \ 400 = \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#A16632}{R = 400} $$

Dizaines

$$ \hspace{0.8em } \textcolor{#6187B2}{ \overset{\frown}{43} }6 $$	$$ 12 $$
$$ \hspace{-0.6em } -36 \hspace{0.2em} . $$	$$ 146 \ 2 \textcolor{rgb(93 183 129)}{3} $$
$$ \hspace{-0.8em } = \textcolor{#A16632}{7}6 $$

$$ \frac{43}{12} \Longrightarrow il \ y \ va \ 3 \ fois $$

$$ \textcolor{#6187B2}{430} = 12 \times \textcolor{rgb(93 183 129)}{30} + {\textcolor{#A16632}{R}} $$

$$ \textcolor{#6187B2}{430} - 360 = \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#A16632}{R = 70} $$

Unités

$$ \hspace{0.8em } \textcolor{#6187B2}{ \overset{\frown}{76} } $$	$$ 12 $$
$$ \hspace{-0.6em } -72 $$	$$ 146 \ 23 \textcolor{rgb(93 183 129)}{6} $$
$$ \hspace{-0.8em } = \textcolor{#A16632}{4} $$

$$ \frac{76}{12} \Longrightarrow il \ y \ va \ 6 \ fois $$

$$ \textcolor{#6187B2}{76} = 12 \times \textcolor{rgb(93 183 129)}{6} + \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#6187B2}{76} - 72 = \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#A16632}{R = 4} $$

Passage aux décimaux

Une fois qu'on ne plus diviser car le dividende est plus petit que le diviseur (ici $4 < 12 $), on passe en nombres décimaux .

On ajoute un 0 à droite (résultat de $\times 10 $) pour compenser le fait que l'on divise par 10 en déplaçant la virgule vers la gauche.

$$ \frac{4}{12} = \frac{4 \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times 10} }{12} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \frac{1}{10}} $$

Première décimale

$$ \hspace{0.8em } \textcolor{#6187B2}{ \overset{\frown}{40} } $$	$$ 12 $$
$$ \hspace{-0.6em } -36 $$	$$ 146 \ 236, \textcolor{rgb(93 183 129)}{3} $$
$$ \hspace{-0.8em } = \textcolor{#A16632}{4} $$

$$ \frac{40}{12} \Longrightarrow il \ y \ va \ 3 \ fois $$

$$ \textcolor{#6187B2}{40} = 12 \times \textcolor{rgb(93 183 129)}{3} + {\textcolor{#A16632}{R}} $$

$$ \textcolor{#6187B2}{40} - 36 = \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#A16632}{R = 4} $$

Dans les faits, on ajoute bien $0,3$ et non pas 3.

$$ 146 \ 236, 3 = 146 \ 236 + 0,3 $$

On a déplacé la virgule vers la gauche mais on a multiplié par 10 pour pouvoir continuer à jouer avec des nombres entiers, et pour avoir toujours $(a \geqslant b)$.

Deuxième décimale

$$ \hspace{0.8em } \textcolor{#6187B2}{ \overset{\frown}{40} } $$	$$ 12 $$
$$ \hspace{-0.6em } -36 $$	$$ 146 \ 236, 3\textcolor{rgb(93 183 129)}{3} $$
$$ \hspace{-0.8em } = \textcolor{#A16632}{4} $$

$$ \frac{40}{12} \Longrightarrow il \ y \ va \ 3 \ fois $$

Cette division ne prendra jamais fin , car c'est le même reste qui revient indéfiniment.

En conclusion,

$$ 1 \ 754 \ 836 \div 12 = 146 \ 236, 333333...etc. $$

Résumé de la division

$$ \hspace{0.8em} \overset{\LARGE\frown}{1 \ 7} 54 \ 836 $$	$$ 12 $$
$$ \hspace{-0.6em } -1 \ 2\hspace{0.2em} . \hspace{0.03em} . \ \dots $$	$$ 146 \ 236, 333333...etc. $$
$$ \hspace{0.2em} = \overset{\Large\frown}{55}4 \ 836 $$
$$ \hspace{0.1em} -48. \ \dots $$
$$ \hspace{0.6em} = \overset{\Large\frown}{74} \ 836 $$
$$ \hspace{0.6em} -72 \hspace{0.2em} \dots $$
$$ \hspace{0.6em} = \overset{\LARGE\frown}{2 \ 8}36 $$
$$ \hspace{0.6em} -2 \ 4 \hspace{0.2em} . \hspace{0.03em} . $$
$$ \hspace{1.4em} = \overset{\Large\frown}{43}6 $$
$$ \hspace{1.4em} -36 \hspace{0.2em} . $$
$$ \hspace{1.9em} = \overset{\Large\frown}{76} $$
$$ \hspace{1.8em} -72 $$
$$ \hspace{2.4em} = \overset{\Large\frown}{4\textcolor{#6187B2}{0}} $$
$$ \hspace{2.4em} -36 $$
$$ \hspace{2.8em} = \overset{\Large\frown}{4\textcolor{#6187B2}{0}} $$
$$ \hspace{2.8em} -36 $$
$$ \hspace{3.3em} = \overset{\Large\frown}{4\textcolor{#6187B2}{0}} $$
$$ \hspace{3em} ...etc. $$