Les fonctions trigonométriques de référence

Grâce au théorème de Pythagore, on a toujours la relation fondamentale :

Par ailleurs, les fonctions trigonométriques sont de manière générale des fonctions périodiques .

Fonction sinus : \(f(x) = \sin(x)\)

1. Définition

   La fonction sinus est définie par :

   $$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$
   $$f(x) = \sin(x) $$

   

   

   Elle est \(2 \pi - \)périodique .

2. Propriétés
   $$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$

   1. Périodicité

      $$ \forall k \in \hspace{0.03em} \mathbb{Z}, $$
      $$\sin(x + 2k \pi) = \sin(x) $$

   2. En fonction de \(\pi\)

      $$\sin(\pi + x) = - \sin(x) $$

      $$\sin(\pi - x) = \sin(x) $$

   3. En fonction de \(\pi \over 2 \)

      $$\sin\left(\frac{ \pi}{2} + x \right) = \cos(x) $$

      $$\sin\left(\frac{ \pi}{2} - x \right) = \cos(x) $$

   4. Fonction impaire

      $$\sin(-x) = - \sin(x) $$

   5. Linéarisation

      $$ \forall \alpha \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$
      $$\sin(2\alpha) = 2sin(\alpha) \cos(\alpha) $$

   6. Linéarisation par la tangente

      $$ \forall \alpha \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$
      $$\sin(2\alpha) = \frac{2tan(\alpha)}{1+\tan^2(\alpha)} $$

   7. Addition

      $$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^2, $$
      $$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\beta) \cos(\alpha) $$

      $$\sin(\alpha \textcolor{#D55454}{-} \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) \textcolor{#D55454}{-} \sin(\beta) \cos(\alpha) $$

      Par ailleurs, en posant :

      $$ \Biggl \{ \begin{align*} a = \alpha + \beta \\ b = \alpha - \beta \end{align*} $$
      $$ \sin(a ) + \sin(b) = 2 \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) $$

      $$ \sin(a ) - \sin(b) = 2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \sin\left(\frac{a-b}{2}\right) $$

Fonction cosinus : \(f(x) = \cos(x)\)

1. Définition

   La fonction cosinus est définie par :

   $$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$
   $$f(x) = \cos(x) $$

   

   

   Elle est \(2 \pi - \)périodique .

2. Propriétés
   $$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$

   1. Périodicité

      $$ \forall k \in \hspace{0.03em} \mathbb{Z}, $$
      $$\cos(x + 2 k\pi) = \cos(x) $$

   2. En fonction de \(\pi\)

      $$\cos(\pi + x) = - \cos(x) $$

      $$\cos(\pi - x) = - \cos(x) $$

   3. En fonction de \(\pi \over 2\)

      $$\cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right) = - \sin(x) $$

      $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \sin(x) $$

   4. Fonction paire

      $$\cos(-x) = \cos(x) $$

   5. Linéarisation

      $$ \forall \alpha \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$
      $$ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) $$

      $$ \cos(2\alpha) = 2cos^2(\alpha) - 1 $$

      $$ \cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2(\alpha) $$

   6. Linéarisation par la tangente

      $$ \forall \alpha \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$
      $$ \cos(2\alpha) = \frac{1 - \tan^2(\alpha)}{1 + \tan^2(\alpha)} $$

   7. Addition

      $$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^2, $$
      $$ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta) $$

      $$ \cos(\alpha \textcolor{#D55454}{-} \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) \textcolor{#D55454}{+} \sin(\alpha) \sin(\beta) $$

      Par ailleurs, en posant :

      $$ \Biggl \{ \begin{align*} a = \alpha + \beta \\ b = \alpha - \beta \end{align*} $$
      $$ \cos(a ) + \cos(b) = 2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) $$

      $$ \cos(b ) - \cos(a) = 2 \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \sin\left(\frac{a-b}{2}\right) $$

Fonction tangente : \(f(x) = \tan(x)\)

1. Définition

   Lorsqu'on représente les sinus et cosinus sur le cercle, on s'aperçoit qu'avec le théorème de Thalès :

   $$ \frac{\sin(\theta)}{\tan(\theta)} = \frac{\cos(\theta)}{1} $$
   

   D'où :

   $$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} $$

   Alors, la fonction tangente est définie par :

   $$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right\} \Bigr], $$
   $$f(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $$

   

   

   Cette fonction est \(\pi - \)périodique .

2. Propriétés
   $$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$

   1. Périodicité

      $$ \forall k \in \hspace{0.03em} \mathbb{Z}, $$
      $$\tan(x + k\pi) = \tan(x) $$

   2. En fonction de \(\pi\)

      $$\tan(\pi + x) = \tan(x) $$

      $$\cos(\pi - x) = -\tan(x) $$

   3. En fonction de \(\pi \over 2\)

      $$\tan\left(\frac{\pi}{2} + x \right) = - \frac{1}{\tan(x)} $$

      $$\tan\left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \frac{1}{\tan(x)} $$

   4. Fonction impaire

      $$\tan(-x) = -\tan(x) $$

   5. Linéarisation

      $$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall \alpha \in \Biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \left\{\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \right\} \Biggr], $$
      $$ \tan(2\alpha) = \frac{2tan(\alpha)}{1 -\tan^2(\alpha)} $$

   6. Addition

      $$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall (\alpha, \beta) \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right\} \Bigr]^2, $$
      $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{ 1 - \tan(\alpha)\tan(\beta) } $$

      $$ \tan(\alpha \textcolor{#D55454}{-} \beta) = \frac{\tan(\alpha) \textcolor{#D55454}{-} \tan(\beta)}{ 1 \textcolor{#D55454}{+} \tan(\alpha)\tan(\beta) } $$