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Isoler une variable \(X\)

Pour isoler une variable, on suit le chemin inverse des priorités opératoires.

Les différentes opérations éventuelles avant d'arriver à isoler une variable \(X\) sont :

Se débarrasser d'un terme : \(+/-\)

  1. À la main

    On le fait passer de l'autre côté de l'équation en le changeant de signe.

    $$ X + 4 = 0 $$
    $$ \Longrightarrow X = -4 $$

  2. Au pas à pas

    On retire (ou on ajoute) ce terme de chaque côté :

    $$ X + 4 \textcolor{rgb(93 183 129)}{-4} = 0 \textcolor{rgb(93 183 129)}{-4} $$
    $$ \Longrightarrow X = -4 $$

Se débarrasser d'un facteur : \(\times/\div\)

  1. À la main

    On le fait circuler en diagonale de l'autre côté de l'équation (en conservant le signe).

    $$ 4X = A $$
    $$ \Longrightarrow X = \frac{A}{4} $$

  2. Au pas à pas

    On fait en sorte de le faire disparaître en multipliant (ou divisant) de chaque côté.

    $$ 4X = A $$
    $$ \frac{4X}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{4}} = \frac{A}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{4}} $$
    $$ \Longrightarrow X = \frac{A}{4} $$

Se débarrasser d'une puissance : \(X^n\)

On lui applique la racine \(n\)-ième pour la faire disparaître.

$$ X^n = A $$
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{\sqrt[n]{X^n}} = \textcolor{rgb(93 183 129)}{\sqrt[n]{A}} $$
$$\sqrt[n]{X^n} = X $$
$$ X = \sqrt[n]{A} $$

Attention, si \(n\) est pair, il y aura deux solutions .

$$\textcolor{rgb(93 183 129)}{X = \sqrt[n]{A} \hspace{2em} \underline{ou} \hspace{2em} X = -\sqrt[n]{A}}$$

Se débarrasser d'une racine \(n\)-ième : \(\sqrt[n]{X}\)

On lui applique la puissance \(n\) pour la faire disparaître.

$$ \sqrt[n]{X} = A $$
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{\biggl(} \sqrt[n]{X} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\biggr)^n}= A \textcolor{rgb(93 183 129)}{^n} $$
$$\left( \sqrt[n]{X} \right)^n = X $$
$$ X = A^n $$

Dans ce sens-ci, il n'y aura toujours qu' une seule solution .

Faire descendre une puissance : \(B^X\)

On lui applique la logarithme.

$$ B^X = A $$
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{\ln \Bigl(} B^X \textcolor{rgb(93 183 129)}{\Bigr)} = \textcolor{rgb(93 183 129)}{\ln (}A \textcolor{rgb(93 183 129)}{)} $$
$$ \ln \left(B^X \right) = X \ \ln(B) $$

La puissance va descendre en facteur :

$$ X \ \ln(B) = \ln(A) $$

Et on fait circuler le facteur en trop :

$$ X= \frac{\ln(A)}{\ln(B)} $$

Se débarrasser d'un logarithme : \(\ln(X)\)

On lui applique la fonction exponentielle.

$$ \ln(X) = A $$
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{e} ^{\ln(X)} \ = \ \textcolor{rgb(93 183 129)}{e}^A $$
$$ e^{\ln(X)} = X $$

Le logarithme disparaît :

$$ X = \ e^A $$

Pour passer d'un logarithme naturel à un logarithme de base \(a\), on fait la conversion suivante :

$$ log_a(X) = \frac{\ln(X)}{\ln(a)} $$
$$ (ou) $$
$$ \ln(X) = log_a(X) \ \ln(a) $$