Lois géométriques du triangle

Dans un triangle ordinaire

Dans un triangle ordinaire $\bigl \{ a, b, c\bigr\}$ avec :

$$ \left \{ \begin{gather*} \alpha \enspace oppos \textit{é} \enspace \textit{à} \enspace a \\ \beta \enspace \text{opposé} \enspace \textit{à} \enspace b \\ \gamma \enspace \text{opposé} \enspace \textit{à} \enspace c \end{gather*} \right \} $$

Et tel que la figure suivante :

TriangleSinusRelation — un triangle ordinaire

Sommes des angles

La somme des angles d'un triangle fait toujours $180°$ $(\pi \ \text{radians}) $ .

$$ \alpha + \beta + \gamma = 180 \qquad \bigl[deg \bigr] $$

$$ \alpha + \beta + \gamma = \pi \qquad \bigl[rad \bigr] $$

Calcul d'une aire

Avec une longueur et une hauteur

Connaissant une longueur (base) et une hauteur, on fait :

un triangle ordinaire avec sa hauteur (2)

$$\mathcal{A} = \frac{base \times hauteur}{2} $$
Avec deux longueurs et un angle partant d'un sommet commun

$$ S_{\Delta} = \frac{1}{2}\sin(\alpha)bc $$

$$ S_{\Delta} = \frac{1}{2}\sin(\beta)ac $$

$$ S_{\Delta} = \frac{1}{2}\sin(\gamma)ab $$
Avec les longueurs uniquement (formule de Héron)

$$ S_{\Delta} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \qquad \bigl(\text{Formule de Héron}\bigr) $$

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} p : \text{demi-périmètre du triangle} \\ p = \frac{a+b+c}{2} \end{gather*} $$

Théorème d'Al-Kashi

Ce théorème peut être utile pour calculer des longueurs dans un triangle non rectangle.

Si l'angle connu est droit, on retrouve le théorème de Pythagore.

$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.\cos(\alpha) \qquad (Al-Kashi) $$

$$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac.\cos(\beta) \qquad (Al-Kashi^*) $$

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab.\cos(\gamma) \qquad (Al-Kashi^{**}) $$

Loi des sinus

Cette formule peut être utile pour :

retrouver un côté connaissant un côté et deux angles
retrouver un angle connaissant un angle et deux côtés

$$ \frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{c} $$

Théorème de Thalès

Dans deux triangles semblables imbriqués $ ABC $ et $ ADE $, où $ADE$ est le plus grand triangle.

Thales — Deux triangles semblables (imbriqués)

Ou encore dans le cas où les deux triangles sont semblables par l'extérieur (en conservant l'alignement des points précédents).

ThalesInv — Deux triangles semblables (imbriqués par l'extérieur)

$$ (BC) \parallel (DE) \Longleftrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \qquad \bigl(\text{Thalès} \bigr) $$

(deux égalités sur trois sont suffisantes)

Ce théorème permet de :

retrouver un côté connaissant les deux autres
prouver que deux longueurs sont parallèles ou non

Dans un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle $\bigl \{ a, b, c\bigr\}$ tel que la figure suivante :

Théorème de Pythagore

Ce théorème permet de :

retrouver un côté connaissant les deux autres
prouver qu'un angle est rectangle ou non

$$ (a \perp b) \Longleftrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad \bigl(Pythagore \bigr) $$

Trigonométrie

Les règles de trigonométrie s'appliquent toujours dans un triangle rectangle .

Relativement à un angle $\alpha$, on a les relations suivantes :

$$ \forall \alpha \in \mathbb{R}, $$

$$\sin(\alpha) = \frac{\Bigl[\text{opposé}\Bigr]}{\Bigl[\text{hypoténuse}\Bigr]} $$

$$\cos(\alpha) = \frac{\Bigl[\text{adjacent}\Bigr]}{\Bigl[\text{hypoténuse}\Bigr]} $$

$$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\Bigl[\text{opposé}\Bigr]}{\Bigl[\text{adjacent}\Bigr]} $$

Astuce : On peut utiliser le moyen mnémotechnique : $SOH-CAH-TOA$.

Exemple :

Dans le triangle rectangle suivant :

On aura les relations suivantes pour l'angle $\alpha$ :

$$ \forall \alpha \in \mathbb{R}, $$

$$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} $$

$$\cos(\alpha) = \frac{b}{c} $$

$$\tan(\alpha) = \frac{b}{a} $$