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Pour calculer la somme des termes d'une suite d'une suite arithmétique ou géométrique, on pourra utiliser les deux méthodes suivantes au choix :
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la méthode indirecte
Avec cette méthode calculera les termes de \((k = 0)\) jusque \(n\), puis on retirera les termes en trop à partir de l'indice souhaité
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la méthode directe
Dans ce cas, on utilisera directement la formule prenant en compte les termes de \((k = a)\) jusque \(n\)
Les suites arithmétiques : \(u_n = u_0 + nr\)
Soit une suite arithmétique \((u_n)_{n \hspace{0.05em} \in \mathbb{N} }\) :
Et on souhaite calculer la somme des termes cette suite de \((k = 7)\) jusque \((n = 16)\).
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Méthode indirecte
La somme des premiers termes d'une suite arithmétique vaut :
$$ \forall n \in \mathbb{N}, $$$$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = \frac{\bigl(n+1\bigr)\bigl(u_0 + u_n \bigr)}{2} $$$$ (avec \enspace u_n = u_0 + nr) $$Avec cette formule, on calcule d'abord les premiers termes :
$$ \sum_{k = 0}^{16} u_n = \Bigl(16 + 1 \Bigr) \Biggl( \frac{2 + \bigl(3 \times 16 + 2 \bigr)}{2} \Biggr) $$$$ \sum_{k = 0}^{16} u_n = 17 \times \Biggl( \frac{2 + 50}{2} \Biggr) $$$$ \sum_{k = 0}^{16} u_n = 17 \times 26 $$$$ \sum_{k = 0}^{16} u_n = 442 $$Et on retire les termes en trop pour débuter à \((k = 7) \):
$$ \sum_{k = 0}^{6} u_n = \Bigl(6 + 1 \Bigr) \Biggl( \frac{2 + \bigl(3 \times 6 + 2 \bigr)}{2} \Biggr) $$$$ \sum_{k = 0}^{6} u_n = 7 \times \frac{22}{2} $$$$ \sum_{k = 0}^{6} u_n = 77 $$Alors, on peut maintenant faire la différence des deux :
$$ \sum_{k = 7}^{16} u_n = \sum_{k = 0}^{16} u_n - \sum_{k = 0}^{6} u_n $$$$ \sum_{k = 7}^{16} u_n = 442 - 77 $$$$ \sum_{k = 7}^{16} u_n = 365 $$ -
Méthode directe
La somme des termes d'une suite arithmétique de \((k=a)\) jusque \((k=n)\) vaut :
$$ \forall (a,n) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, $$$$ \sum_{k =a}^n (u_0 + kr) = \Bigl(n + 1 - a\Bigr) \Biggl( \frac{u_0 + u_{n+a}}{2} \Biggr) $$$$ (avec \enspace u_n = u_0 + nr) $$On l'applique alors directement :
$$ \sum_{k = 7}^{16} u_n = \Bigl(16 + 1 - 7\Bigr) \Biggl( \frac{2 + \bigl(3\times(16+7) + 2 \bigr)}{2} \Biggr) $$$$ \sum_{k = 7}^{16} u_n = 10 \times \frac{73}{2} $$$$ \sum_{k = 7}^{16} u_n = 365 $$
Les suites géométriques : \(v_n = v_0 \ q^n\)
Soit une suite géométrique \((v_n)_{n \hspace{0.05em} \in \mathbb{N} }\) :
On va de même calculer la somme des termes cette suite de \((k = 7)\) jusque \((n = 16)\).
On va pouvoir appliquer les deux mêmes méthodes que précédemment.
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Méthode indirecte
La somme des premiers termes d'une suite géométrique vaut :
$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall v_0 \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \ \forall q \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R} \ \backslash \bigl \{0,1 \bigr \} \Bigr] , $$$$ \sum_{k = 0}^n (v_0.q^k ) = v_0.\frac{q^{n+1} - 1}{q-1} $$$$ \sum_{k = 0}^{16} v_n = \frac{1}{2} \times \frac{3^{16+1} - 1}{3-1} $$$$ \sum_{k = 0}^{16} v_n = \frac{1}{2} \times 64 \ 570 \ 081 $$$$ \sum_{k = 0}^{16} v_n = 32 \ 285 \ 040.5 $$Puis on calcule ce qu'il y a en trop :
$$ \sum_{k = 0}^{6} v_n = \frac{1}{2} \times \frac{3^{6+1} - 1}{3-1} $$$$ \sum_{k = 0}^{6} v_n = \frac{1}{2} \times 1 \ 093 $$$$ \sum_{k = 0}^{6} v_n = 546.5 $$Enfin, la différence des deux vaut :
$$ \sum_{k = 7}^{16} v_n = \sum_{k = 0}^{16} v_n - \sum_{k = 6}^{16} v_n $$$$ \sum_{k = 7}^{16} v_n = 32 \ 284 \ 494 $$ -
Méthode directe
La somme des termes d'une suite géométrique de \((k=a)\) jusque \((k=n)\) vaut :
$$ \forall (a,n) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace \forall v_0 \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \ \forall q \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R} \ \backslash \bigl \{0,1 \bigr \} \Bigr] , $$$$ \sum_{k =a}^{n} v_0.q^k = v_0.\frac{q^{n+1} - q^{a}}{q-1} $$$$ \sum_{k = 7}^{16} v_n = \frac{1}{2} \times \frac{3^{16+1} - 3^{7}}{3-1} $$$$ \sum_{k = 7}^{16} v_n = \frac{1}{2} \times 64 \ 568 \ 988 $$$$ \sum_{k = 7}^{16} v_n = 32 \ 284 \ 494 $$