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Périmètres, aires et volumes

Périmètres

Polygone droit à \(n\) côtés égaux
Triangle
Un polygone régulier à huit côtés, un côté marqué c c
$$ \mathcal{P}= n \times c $$
Un triangle de côtés a, b et c a b c
$$ \mathcal{P} = a + b +c $$
Cercle
Un cercle de rayon R R
$$ \mathcal{P} =2 \pi R $$

Aires

Carré
Rectangle
Un carré de côté c c
$$ \mathcal{A}= c^2 $$
Un rectangle de longueur L et de largeur l L l
$$ \mathcal{A} = L \times l $$
Parallélogramme
Losange
Un parallélogramme de base a, de côté b et de hauteur h ha a b
$$ \mathcal{A}= a \times h_a $$
Un losange de diagonales D et d, perpendiculaires D d
$$ \mathcal{A} = \frac{ D \times d }{2} $$
Triangle (avec une hauteur)
Triangle (avec Héron)
Un triangle de côtés a, b et c, avec la hauteur issue du sommet opposé à c a b c hc
$$ \mathcal{A} = \frac{c \times h_c}{2} $$
Un triangle de côtés a, b et c a b c
$$ \mathcal{A} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$
$$\Biggl \{ \begin{gather*} p: \text{demi-périmètre du triangle} \\ \Longrightarrow p = \frac{a+b+c}{2} \end{gather*} $$
Triangle (avec un angle)
Trapèze
Un triangle de côtés a, b et c, avec l'angle alpha entre b et c a b c α
$$ \mathcal{A} = \frac{ \sin(\alpha) \times b \times c}{2} $$
Un trapèze de bases a et b, et de hauteur h h b a
$$ \mathcal{A} = \frac{(a+b) \times h}{2} $$
Polygone droit à \(n\) côtés égaux
Un polygone régulier à huit côtés, un côté marqué c c
$$ \mathcal{A} = \frac{n \times c^2}{4 \ \tan\left( \frac{\pi}{n} \right) } $$
Cercle
Sphère
Un disque de rayon R R
$$ \mathcal{A} = \pi R^2 $$
Une sphère de rayon R R
$$ \mathcal{A} = 4\pi R^2 $$
Demi-sphère tronquée
Calotte sphérique
Une demi-sphère tronquée à la hauteur h, sa surface latérale colorée h R
$$ \mathcal{A} = 2\pi R h $$
Une calotte sphérique au-dessus de la hauteur h, sa surface colorée h R
$$ \mathcal{A} = 2\pi R (R-h) $$

Volumes

Cube
Parallélépipède rectangle
Un cube d'arête c, en perspective c
$$ \mathcal{V}= c^3 $$
Un parallélépipède rectangle de longueur L, de largeur l et de hauteur h L h l
$$ \mathcal{V} = L \times l \times h $$
Pyramide à base carrée
Cône de révolution
Une pyramide à base carrée de côté c et de hauteur h h c
$$ \mathcal{V}= \frac{c^2 \times h}{3} $$
Un cône de révolution de rayon R et de hauteur h h R
$$ \mathcal{V}= \frac{\pi R^2 \times h}{3} $$
Pyramide (de manière générale)
Cylindre de révolution
Une pyramide à base quelconque, d'aire de base A et de hauteur h h Abase
$$ \mathcal{V} = \frac{A_{\text{base}} \times h}{3} $$
Un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur h h R
$$ \mathcal{V}= \pi R^2 \times h $$
Sphère
Calotte sphérique
Une boule de rayon R R
$$ \mathcal{V}=\frac{4}{3} \pi R^3 $$
Une calotte sphérique au-dessus de la hauteur h, son volume coloré h R
$$ \mathcal{V} = \pi \left[ \frac{2R^3}{3} - R^2 h + \frac{h^3}{3} \right] $$
Demi-sphère tronquée
Une demi-sphère tronquée à la hauteur h, son volume coloré h R
$$ \mathcal{V} = \pi \left[ R^2 h - \frac{h^3}{3} \right] $$