Reconnaître un décalage de fonction

Il peut parfois s'avérer utile de reconnaître la forme d'une fonction usuelle décalée, ou à l'inverse anticiper son allure à partir de sa formule.

Dans les points qui vont suivre, on utilisera à chaque fois pour illustrer le propos la même fonction de référence; la fonction carrée.

Fonction carree — la fonction carrée : $f(x) = x^2$

Décalage vers la droite : $f(x) \longmapsto f(x-a)$

Lorsqu'une fonction est décalée vers la droite (resp. vers la gauche) sur l'axe des abscisses, une fonction $f(x)$ devient $f(x-a)$ (resp. $f(x+a)$).

$$ f(x) \ \text{décalée de} \ a \ \text{vers la droite} \Longleftrightarrow f(x) \textcolor{rgb(213 140 57)}{\longmapsto} f(x - a) $$

$$ f(x) \ \text{décalée de} \ a \ \text{vers la gauche} \Longleftrightarrow f(x) \longmapsto f(x+a) $$

Fonction carree decalee de a — exemple de la fonction carrée décalée de $a$ : $f(x) = (x-a)^2$

Décalage vers le haut : $f(x) \longmapsto f(x) + b$

Lorsqu'une fonction est décalée vers le haut (resp. vers le bas) sur l'axe des abscisses, une fonction $f(x)$ devient $f(x) + b$ (resp. $f(x) - b $).

$$ f(x) \ \text{décalée de} \ b \ \text{vers le haut} \Longleftrightarrow f(x) \textcolor{rgb(163 96 190)}{\longmapsto} f(x) + b $$

$$f(x) \ \text{décalée de} \ b \ \text{vers le bas} \Longleftrightarrow f(x) \longmapsto f(x) - b $$

Fonction carree decalee de b — exemple de la fonction carrée décalée de $b$ : $f(x) = x^2 + b$

Décalage à la fois vers la droite et vers le haut : $f(x) \longmapsto f(x-a) + b $

Dans ce dernier cas mixte, c'est simplement la combinaison des deux fonctions à la suite :

$$ f(x) \textcolor{rgb(213 140 57)}{\longmapsto} f(x - a) \textcolor{rgb(163 96 190)}{\longmapsto} f(x - a) + b $$

$$ f(x) \ \text{décalée de} \ a \ \text{vers la droite}, \text{ et } de \ b \ \text{vers le haut} \Longleftrightarrow f(x) \textcolor{rgb(93 183 129)}{\longmapsto} f(x-a) + b $$

Fonction carree decalee de a et b — exemple de la fonction carrée décalée de $a$ et de $b$ : $f(x) = (x-a)^2 + b$

Reconnaître un décalage de fonction

Décalage vers la droite : \(f(x) \longmapsto f(x-a)\)

Décalage vers le haut : \(f(x) \longmapsto f(x) + b\)

Décalage à la fois vers la droite et vers le haut : \(f(x) \longmapsto f(x-a) + b \)