Reconnaître un téléscopage de termes

Soit une suite quelconque $(a_n)_{n \hspace{0.05em} \in \mathbb{N} }$, et une suite exprimée en fonction de la précédente $(u_n)_{n \hspace{0.05em} \in \mathbb{N} }$ telle que :

Pour calculer la somme des termes de cette suite, on pourra effectuer un téléscopage de termes , tel qu'à la fin il ne reste plus que le premier et le dernier terme de cette somme :

Le téléscopage

On souhaite calculer la série $ \sum \bigl [a_{k+1} - a_k \bigr] $ de $ k = 0 $ jusque $ n $.

On aura,

$$ \sum_{k=n_0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr] = a_{1} - a_{0} + a_{2} - a_{1} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_{n_{k}} - a_{n_{k-1}} + a_{n_{k+1}} - a_{n_{k}} $$

En arrageant l'expression, les termes vont s'annihiler un à un.

$$ \sum_{k=n_0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr] = a_{k+1} + \underbrace{a_{k} - a_{k}} _\text{ $= 0$} + \underbrace{ a_{k-1} - a_{k-1}} _\text{ $= 0$} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \underbrace{a_2 - a_2} _\text{ $= 0$} + \underbrace{a_1 - a_1} _\text{ $= 0$} - a_0 $$

Il ne restera plus que le le dernier moins le premier de la série. Soit finalement,

$$ \sum_{k=0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr] = a_{n+1} - a_{0} $$