Résoudre une inéquation

Manipulation des inéquations

Les inéquations vont pouvoir suivre les mêmes règles que celles des équations , à la différence près que les signes \(\leqslant\) et \(\geqslant\) vont parfois s'inverser selon le contexte.

1. Quand converser ou inverser le signe de comparaison ?

   Lorsque l'on applique des opérations à chacun des membres d'une inéquation, on leur applique une certaine fonction , ayant un sens de variation sur un intervalle donné :

   - si la fonction est croissante \((\ \nearrow \ ) \) : on conserve l'ordre de l'inéquation

   - si la fonction est décroissante \(( \ \searrow \ )\) : on change l'ordre de l'inéquation

   
   

   Exemple 1 : conservation de l'ordre

   En multipliant chaque côté par 2, les signes ne changent pas.

   $$ a < b $$
   $$ a \textcolor{#6187B2}{\times 2} < b \textcolor{#6187B2}{\times 2 } $$
   $$ 2a < 2b $$

   Car dans cet exemple, on lui a appliqué la fonction strictement croissante : \(f(x) = 2x\)

   

   Alors sur l'intervalle des nombres réels \(\mathbb{R}\),

   $$ a < b \Longrightarrow f(a) < f(b) $$
   $$ (1 < 2 \Longrightarrow 2 < 4) $$

   Et \(f(a)\) et \(f(b)\) restent dans le même ordre .

   
   

   Exemple 2 : changement de l'ordre

   En multipliant chaque côté par \((-2)\) cette fois, l'ordre va s'inverser après l'opération.

   $$ a < b $$
   $$ a \textcolor{#6187B2}{\times (-2)} < b \textcolor{#6187B2}{\times (-2) } $$
   $$ -2a > -2b $$

   Car dans ce second cas, on lui a appliqué la fonction strictement décroissante : \(f(x) = -2x\)

   

   $$ a < b \Longrightarrow f(a) > f(b) $$
   $$ (1 < 2 \Longrightarrow -2 > -4) $$

   Donc \(f(a)\) et \(f(b)\) voient leur ordre inversé .

   Ce sera le cas pour les fonctions de type :

   $$ f(x) = ax + b \qquad (avec \ a \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^-) $$

   $$ f(x) = \frac{a}{x} \qquad (avec \ a \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^+) $$

   $$ f(x) = x^2 \qquad (avec \ x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^-) $$

   Astuce : On peut aussi inverser les nombres (après leur avoir appliqué la fonction), au lieu d'inverser l'ordre du comparateurs \((\leqslant / <) \) ou \((\geqslant / >)\).

   $$(1 < 2 \Longrightarrow -4 < -2) $$
2. Quand utiliser le signe \( \leqslant \) ou \(<\) (respectivement \( \geqslant \) ou \(>\)) ?

   Voyons ce qu'il se passe dans les quatre cas possibles :

   Ordre de départ	$$ a < b $$	$$ a \leqslant b $$
   Fonction strictement croissante	$$ f(a) < f(b) $$	$$ f(a) \leqslant f(b) $$
   Fonction croissante	$$ f(a) \leqslant f(b) $$	$$ f(a) \leqslant f(b) $$

   On peut alors tirer cette règle du tableau précédent :

   "On conserve le caractère stricte d'une relation d'ordre, uniquement dans le cas où elle est présente à l'arrivée et au départ."

   Ou on pourrait aussi le dire de cette façon :

   "La caractère non-stricte d'une relation d'ordre l'emporte sur le caractère stricte."

Résoudre une inéquation

1. Du premier degré

   Pour résoudre une inéquation du premier degré , on procédera dans cette ordre :

   • ranger tous les nombres attachés à \(x\) d'un côté

   • ranger tous les nombres seuls de l'autre

   • additionner les éléments des différentes parties entres eux

   • multiplier par l'inverse du nombre attaché à \(x\)

   
   

   Exemple :

   $$ x + 1 \geqslant 3x + 7 $$

   On met tous les nombres attachés à gauche :

   $$ x \textcolor{#6187B2}{- 3x} + 1 \geqslant 3x \textcolor{#6187B2}{- 3x} + 7 $$
   $$ -2x + 1 \geqslant 7 $$

   Et les nombres seuls à droite :

   $$ -2x + 1 \textcolor{#6187B2}{-1} \geqslant 7 \textcolor{#6187B2}{-1} $$
   $$ -2x \geqslant 6 $$

   On peut maintenant se débarrasser du facteur attaché à \(x\) :

   $$ \textcolor{#6187B2}{\frac{1}{2} \times } \ (-2x) \geqslant 6 \textcolor{#6187B2}{ \times \frac{1}{2} } $$

   Tout disparaît à gauche :

   $$ - \frac{\cancel{2} x}{\cancel{2}} \geqslant 3 $$
   $$ - x \geqslant \frac{6}{5} $$

   Enfin, on se débarrasse du signe \((-)\) en multipliant par \((-1)\), ce qui change le sens de l'inéquation :

   $$ \textcolor{#6187B2}{(-1) \times } \ (- x) \leqslant \frac{6}{5} \textcolor{#6187B2}{ \times (-1) } $$
   $$ x \leqslant -\frac{6}{5} $$
2. Du second degré

   Pour résoudre une inéquation du second degré , on procédera dans cette ordre :

   • manipuler l'inéquation jusqu'à obtenir tous les éléments à gauche, et 0 tout seul à droite

   • factoriser et trouver les racines

   • dresser un tableau de signes

   
   

   Exemple :

   $$ x^2 \leqslant 100 \qquad (E) $$

   On met tout d'un côté pour avoir 0 à droite :

   $$ x^2 - 100 \leqslant 0 $$

   On factorise :

   $$ (x-10)(x+10) \leqslant 0 $$

   Éventuellement, on donne un nom à cette expression factorisée :

   $$ A(x) = (x-10)(x+10) $$

   Le produit \((x-10)(x+10)\) vaut 0 si au moins un des deux facteurs vaut 0.

   $$ x-10 = 0 x = 10 $$

   $$ ou $$

   $$ x + 10 = 0 x = -10 $$

   $$ x $$	$$ -\infty $$		$$ - 10 $$		$$ 10 $$		$$ +\infty $$
   $$ x + 10 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
   $$ x-10 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$		$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$
   $$ A(x) = (x+10)(x-10) $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{+} $$

   Alors, les solutions pour \((E)\) sont :

   $$ A(x) \leqslant 0 \Longrightarrow x \in \bigl[-10 ; 10 \bigr] $$