Les situations de proportionnalité

Une situation de proportionnalité

On reconnaît une situation de proportionnalité si on a une égalité de type :

$$ \frac{a \ \Bigl[unit\textit{é} \ 1 \Bigr]}{b \ \Bigl[unit\textit{é} \ 2 \Bigr]} = \frac{c \ \Bigl[unit\textit{é} \ 1 \Bigr]}{d \ \Bigl[unit\textit{é} \ 2 \Bigr]} \qquad \Bigl(avec \ (b, d) \neq 0 \Bigr) $$

en conservant une cohérence des unités.

Vérifier si on se situe dans une situation de proportionnalité

Pour vérifier si on est bien dans une situation de proportionnalité, on peut utiliser l'une des différentes méthodes.

Pour chaque méthode, si la méthode fonctionne on est bien dans une situation de proportionnalité, sinon on ne l'est pas.

Vérifier si les deux rapports sont égaux entre eux

Pour cela, on réduit les deux fractions en fractions irréductibles

Exemple :

$$ \frac{2}{10} \hspace{1.5em} et \hspace{1.5em} \frac{10}{50}$$

$$ \frac{2}{10} = \frac{\textcolor{#AB6464}{ \cancel{2} \times} 1}{\textcolor{#AB6464}{ \cancel{2} \times} 5} $$

$$ \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $$

$$ \frac{10}{50} = \frac{\textcolor{#AB6464}{ \cancel{10} \times} 1}{\textcolor{#AB6464}{ \cancel{10} \times} 5} $$

$$ \frac{10}{50} = \frac{1}{5} $$

Les deux rapports sont bien égaux.

Vérifier si on a multiplié par la même quantité

Si on se trouve dans une situation de proportionnalité, alors cela veut dire qu'on aura multiplié soit :

de gauche à droite par la même quantité

multiplication de gauche à droite par la même quantité

du haut vers le bas par la même quantité

multiplication du haut vers le bas par la même quantité

Vérifier si le produit en croix fonctionne

Exemple :

Avec une consommation de 6 L au 100 km, j'ai consommé 30 L pour 500 km.

Si le produit en croix s'applique, alors on aura :

$$ \frac{6 \ \Bigl[L \Bigr]}{100 \ \Bigl[km \Bigr]} = \frac{30 \ \Bigl[L\Bigr]}{500 \ \Bigl[km \Bigr]} $$

C'est le cas car on a bien :

$$ \frac{300 \times 100}{6} = \frac{3000}{6} $$

$$ \frac{300 \times 100}{6} = 500 $$

Le produit en croix (ou règle de trois)

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$

$$ \Bigl(avec \ (b, d) \neq 0 \Bigr) $$

Technique :Toutes les nombres peuvent circuler en diagonale (à condition qu'ils soient $\neq 0$ s'ils sont au dénominateur).

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$

$$ \frac{a}{b} \nearrow \frac{c}{d} \Longleftrightarrow a = \frac{bc}{d} $$

$$ a \nwarrow \frac{bc}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$

Ou si on cherche une inconne $X $ :

$$ \frac{X}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow X = \frac{bc}{d} $$

Exemple :

Avec 25 bouteilles pour 30 personnes, on souhaite savoir combien il en faudrait 54 personnes.

$$ \frac{25 \ \Bigl[bouteilles\Bigr]}{30 \ \Bigl[personnes \Bigr]} = \frac{b \ \Bigl[bouteilles\Bigr]}{54 \ \Bigl[personnes \Bigr]} \Longleftrightarrow b = \frac{25 \times 54}{30} \ \Bigl[bouteilles\Bigr] $$

À noter que l'on conserve bien une cohérence des unités.