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Problèmes sur les équations du premier degré

L'âge de Margot

Dans une famille, Margot est la cadette et Aelik est l'aîné.

Il y a 15 ans, Aelik avait trois fois l'âge que Margot a maintenant, sachant qu'aujourd'hui, Aelik a 30 ans.

Quel âge a Margot ?

On note :

$$ \left \{ \begin{gather*} A : \text{l'âge d'Aelik} \\ M : \text{l'âge de Margot} \end{gather*} \right \} $$

Ensuite, on pose les équations de l'énoncé :

$$ 3M + 15 = A $$

$$ 3M + 15 = 30 $$

$$ 3M + 15 \textcolor{#9F6A6A}{- 15} = 30 \textcolor{#9F6A6A}{- 15} $$

$$ 3M = 15 $$

$$ \frac{3M}{\textcolor{#9F6A6A}{3}} = \frac{15}{\textcolor{#9F6A6A}{3}} $$

$$ M = 5 \text{ ans} $$

Les indemnités kilométriques

Un salarié du bâtiment doit saisir les indemnités kilométriques de la semaine à se faire défrayer par sa société.

Cette société lui propose une indemnisation de 0.40 € par km.

Remplir le tableau suivant :

	Distance (km)	Indemnité (€)
Lundi	143
Mardi	85
Mercredi	112
Jeudi	44
Vendredi	62
Total

feuille de saisie des indemnités kilométriques d'un salarié (à compléter)

	Distance (km)	Indemnité (€)
Lundi	143	57.20
Mardi	85	34
Mercredi	112	44.80
Jeudi	44	17.60
Vendredi	62	24.80
Total	446	178.40

feuille de saisie des indemnités kilométriques d'un salarié

De plus, il est prévu dans l'indemnisation une part fixe, s'élevant à 200 €.

Quelle va alors être l'indemnisation totale ?

Appellons l'indemnité $I$ :

$$ I = 178.40 + 200 $$

$$ I = 378.40 \ \text{€} $$

Modéliser l'opération totale par une fonction du premier degré.

Comme cette fonction renvoie une indemnité $I$ en fonction d'une distance $d$, appellons-là $I(d)$ :

$$ I(d) = 0.40 \times d + 200 $$

Son collègue a reçu une indemnisation de 424.60 €,et il souhaiterait retrouver son kilométrage.

Le déterminer à l'aide d'une équation.

Comme cette fonction renvoie une indemnité $I$ en fonction d'une distance $d$, appellons-là $I(d)$ :

$$ I(d) = 424.60 $$

$$ 0.40 \times d + 200 = 424.60 $$

$$ 0.40 \times d + 200 \textcolor{#9F6A6A}{-200} = 424.60 \textcolor{#9F6A6A}{-200} $$

$$ 0.40 \times d = 224.60 $$

$$ \frac{0.40 \times d}{\textcolor{#9F6A6A}{0.40}} = \frac{224.60}{\textcolor{#9F6A6A}{0.40}}$$

$$ d \approx 374.33 \ km $$

Les abonnements à la salle de sport

Une salle de sports propose deux tarifs :

abonnement à 50 € / mois et chaque séance à 5 €
pas d'abonnement mais chaque séance vaut 12 €

William et Julie décident de tester chacun de leur côté cette salle. William n'étant pas sûr de venir souvent, décide alors de payer les séances à l'unité, tandis que Julie tente directement l'abonnement.

Les deux amis ont fait 4 séances le premier mois, 6 séances le mois suivant et 10 séances le mois d'après.

Remplir le tableau correspondant au prix qu'ils ont payé pour ces séances :

Mois	Nombre de séances	Prix
		William	Julie
Mois 1	4 séances
Mois 2	6 séances
Mois 3	10 séances

prix total des séances par mois pour William et Julie (à compléter)

Mois	Nombre de séances	Prix
		William	Julie
Mois 1	4 séances	48	70
Mois 2	6 séances	72	80
Mois 3	10 séances	120	100

prix total des séances par mois pour William et Julie

Que remarque-t-on pour le troisième mois ?

On peut remarquer sur le troisième mois que, William a payé plus que Julie contrairement aux deux mois précédents.

Modéliser les prix respectifs des deux abonnements par des fonctions du premier degré.

Appelons $n$ le nombre de séances, et $P$ le prix, alors on peut modéliser les deux abonnements de la façon suivante :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} P_1(n) = 50 + 5n \\ P_2(n) = 12n \end{gather*} $$

À partir de ce modèle, déterminer quelle va être le nombre de séances pour lequel l'abonnement sera plus rentable.

On doit résoudre l'équation :

$$ P_1(n) \leqslant P_2(n) $$

$$ 50 + 5n \leqslant 12n $$

$$ 50 \textcolor{#9F6A6A}{-5n} + 5n \leqslant 12n \textcolor{#9F6A6A}{-5n} $$

$$ 50 \leqslant 7n $$

$$ \frac{50}{\textcolor{#9F6A6A}{7}} \leqslant \frac{7n}{\textcolor{#9F6A6A}{7}} $$

$$ n \geqslant 7.14 $$

On prend alors l'unité qui suit, car toutes les séances sont entières :

$$ n \geqslant 8 $$

L'abonnement est alors rentable à partir de la 8^ième séance.

Le vérifier dans le tableau suivant :

Nombre de séances	Prix
	William	Julie
7 séances
8 séances

comparaison des prix totaxux entre 7 et 8 séances par mois pour William et Julie (à compléter)

Nombre de séances	Prix
	William	Julie
7 séances	84	85
8 séances	96	90

comparaison des prix totaxux entre 7 et 8 séances par mois pour William et Julie

L'âge du capitaine

Un capitaine a quatre ans de plus que son matelot, et quinze ans de plus que son mousse.

De plus, le matelot et le mousse on a eux deux 40 ans.

Quel âge a le capitaine ?

On note :

$$ \left \{ \begin{gather*} C : \text{l'âge du capitaine} \\ M : \text{l'âge du matelot} \\ m : \text{l'âge du mousse} \end{gather*} \right \} $$

Ensuite, on pose les équations de l'énoncé :

$$ \left \{ \begin{gather*} M + 4 = C \qquad (1) \\ m + 15 = C \qquad (2) \end{gather*} \right \} $$

$$ M + m = 40 \qquad (3) $$

On peut réécrire les expressions $(1)$ et $(2)$ en fonction de $C$ :

$$ M + 4 = C\qquad (1) $$

$$ M + 4 \textcolor{#9F6A6A}{- 4} = C \textcolor{#9F6A6A}{- 4} $$

$$ M = C - 4 \qquad (1^*) $$

$$ m + 15 = C \qquad (2) $$

$$ m + 15 \textcolor{#9F6A6A}{- 15} = C \textcolor{#9F6A6A}{- 15} $$

$$ m = C - 15 \qquad (2^*) $$

À partir de ces deux nouvelles expressions, on peut faire $(M + m)$ :

$$ M + m = 40 \qquad (3) $$

Et remplacer les valeurs de l'expression $(3)$ :

$$ (C - 4) + (C - 15) = 40 $$

$$ 2C - 19 = 40 $$

$$ 2C - 19 \textcolor{#9F6A6A}{+ 19} = 40 \textcolor{#9F6A6A}{+ 19} $$

$$ 2C = 59 $$

$$ \frac{2C}{\textcolor{#9F6A6A}{2}} = \frac{59}{\textcolor{#9F6A6A}{2}} $$

$$ C = 29.5 \text{ ans} $$