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Problèmes sur les équations du premier degré

Les indemnités kilométriques

Un salarié du bâtiment doit saisir les indemnités kilométriques de la semaine à se faire défrayer par sa société.

Cette société lui propose une indemnisation de 0.40 € par km.

1. Remplir le tableau suivant :

	Distance (km)	Indemnité (€)
Lundi	143
Mardi	85
Mercredi	112
Jeudi	44
Vendredi	62
Total

	Distance (km)	Indemnité (€)
Lundi	143	57.20
Mardi	85	34
Mercredi	112	44.80
Jeudi	44	17.60
Vendredi	62	24.80
Total	446	178.40

2. De plus, il est prévu dans l'indemnisation une part fixe, s'élevant à 200 €.

   Quelle va alors être l'indemnisation totale ?

Appellons l'indemnité \(I\) :

$$ I = 178.40 + 200 $$

$$ I = 378.40 \ € $$

3. Modéliser l'opération totale par une fonction du premier degré.

Comme cette fonction renvoie une indemnité \(I\) en fonction d'une distance \(d\), appellons-là \(I(d)\) :

$$ I(d) = 0.40 \times d + 200 $$

4. Son collègue a reçu une indemnisation de 424.60 €,et il souhaiterait retrouver son kilométrage.

   Le déterminer à l'aide d'une équation.

Comme cette fonction renvoie une indemnité \(I\) en fonction d'une distance \(d\), appellons-là \(I(d)\) :

$$ I(d) = 424.60 $$

$$ 0.40 \times d + 200 = 424.60 $$

$$ 0.40 \times d + 200 \textcolor{#AB6464}{-200} = 424.60 \textcolor{#AB6464}{-200} $$

$$ 0.40 \times d = 224.60 $$

$$ \frac{0.40 \times d}{\textcolor{#AB6464}{0.40}} = \frac{224.60}{\textcolor{#AB6464}{0.40}}$$

$$ d \approx 374.33 \ km $$

Les abonnements à la salle de sport

Une salle de sports propose deux tarifs :

• abonnement à 50 € / mois et chaque séance à 5 €

• pas d'abonnement mais chaque séance vaut 12 €

William et Julie décide de tester chacun de leur côté cette salle. William n'étant pas sûr de venir souvent, il décide de payer les séances à l'unité, tandis que Julie tente directement l'abonnement.

1. Les deux amis ont fait 4 séances le premier mois, 6 séances le mois suivant et 10 séances le mois d'après.

   Remplir le tableau correspondant au prix qu'ils ont payé pour ces séances :

Mois	Nombre de séances	Prix
		William	Julie
Mois 1	4 séances
Mois 2	6 séances
Mois 3	10 séances

Mois	Nombre de séances	Prix
		William	Julie
Mois 1	4 séances	48	70
Mois 2	6 séances	72	80
Mois 3	10 séances	120	100

2. Que remarque-t-on pour le troisième mois ?

On peut remarquer sur le troisième mois que, William a payé plus que Julie contrairement aux deux mois précédents.

3. Modéliser les prix respectifs des deux abonnements par des fonctions du premier degré.

Appelons \(n\) le nombre de séances, et \(P\) le prix, alors on peut modéliser les deux abonnements de la façon suivante :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} P_1(n) = 50 + 5n \\ P_2(n) = 12n \end{gather*} $$

4. À partir de ce modèle, déterminer quelle va être le nombre de séances pour lequel l'abonnement sera plus rentable

On doit résoudre l'équation :

$$ P_1(n) \leqslant P_2(n) $$

$$ 50 + 5n \leqslant 12n $$

$$ 50 \textcolor{#AB6464}{-5n} + 5n \leqslant 12n \textcolor{#AB6464}{-5n} $$

$$ 50 \leqslant 7n $$

$$ \frac{50}{\textcolor{#AB6464}{7}} \leqslant \frac{7n}{\textcolor{#AB6464}{7}} $$

$$ n \geqslant 7.14 $$

On prend alors l'unité qui suit, car toutes les séances sont entières :

$$ n \geqslant 8 $$

L'abonnement est alors rentable à partir de la 8^ième séance.

5. Le vérifier dans le tableau suivant :

   Nombre de séances	Prix
   	William	Julie
   7 séances
   8 séances

   Nombre de séances	Prix
   	William	Julie
   7 séances	84	85
   8 séances	96	90