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Les puissances et l'écriture scientifique

Puissances de \(x\)

Soit deux nombres \((x, y)\) deux réels, et \((a, b)\) deux entiers naturels.

On définit une puissance de \(x\) par :

1. Puissance de produit

$$ (xy)^a = \hspace{0.2em} x^a \times y^a $$

2. Puissance de quotient

$$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$
$$ (avec \ y \neq 0) $$

3. Produit de puissances

$$ x^a \times x^b = x^{a+b} $$

4. Quotient de puissances

$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

5. Puissance de puissance

$$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$

6. La puissance zéro

$$ x^0 = 1 $$

7. L'inverse d'une puissance

$$ x^{-1} = \frac{1}{x} $$

8. Résumé des formules

$$ \forall (x, y) \in \hspace{0.05em}\mathbb{R}^2, \ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, $$

Propriété	Condition	Formule
Puissance de produit	$$ $$	$$ (xy)^a = x^a y ^a $$
Puissance de quotient	$$ y \neq 0 $$	$$ \left( \frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$
Produit de puissances différentes	$$ $$	$$ x^a x^b = x^{a+b} $$
Quotient de puissances différentes	$$ x \neq 0 $$	$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$
Puissance de puissance	$$ $$	$$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$
Nombre à la puissance zéro	$$ x \neq 0 $$	$$ x^0 = 1 $$
Inverse	$$ x \neq 0 $$	$$ \frac{1}{x} = x^{-1} $$
Inverse de puissance	$$ x \neq 0 $$	$$ \frac{1}{x^a} = x^{-a} $$

Exemples :

L'écriture scientifique

1. Présentation

L'écriture scientifique va permettre de faire des calculs plus facilement :

• avec de très grands nombres (astrophysique)

• avec de très petits nombres (microbiologie, physique)




Dans cette écriture, on note un nombre sous forme de nombre à virgules, multiplié par une puissance de 10.

Exemple : \(1,8 \times 10^{7}\)




Ce nombre à virgules est toujours formé par :

• avant la virgule : un chiffre positif ou négatif \(c\) différent de 0, tel que

$$ 1 \leqslant | c | < 10 \qquad (avec \ c \in \mathbb{Z}) $$

• après la virgule : autant de chiffres que l'on veut, en respectant la logique des chiffres significatifs (nombre de chiffres maximum indiquant le degré de précision du calcul).




Exemple : la distance Terre-lune.

$$ D_{Terre-lune} = 384 \ 400 \ km $$

En écriture scientifique, on écrit :

$$ D_{Terre-lune} = 3,384 \times 10 ^5 \ km $$

Maintenant, en utilisant les unités du système international \((S.I.)\), on écrit :

$$D_{[Terre-lune]} = 3,384 \times 10 ^8 \ m $$

2. Ordre de grandeur

On appelle l'ordre de grandeur d'un nombre, la puissance de 10 qui est associée à son écriture scientifique.

3. Gestion des chiffres significatifs

La gestion des chiffres significatifs est différent selon les deux cas suivants.

1. Addtion/soustraction : \(+/-\)

Le résultat possèdera autant de chiffres après la virgule que la donnée qui en a le moins.

Exemple :

$$A = 7,56 \times 10^3 + 4,5471 \times 10^2 $$

En gardant comme puissance commune \(10^2\) :

$$A = 75,6 \times 10^2 + 4,5471 \times 10^2 $$

$$A = 80,1\textcolor{#AC6161}{471} \times 10^2 $$

$$A = 80,1\times 10^2 $$

$$A = 8,01\times 10^3 $$

2. Addtion/soustraction : \(+/-\)

Le résultat possèdera autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.

Exemple :

$$B = 3.197 \times 10^1 \times 7.14628 \times 10^{-3} $$

$$B = 22,84\textcolor{#AC6161}{665716} \times 10^{-2} $$

$$B = 22,84 \times 10^{-2} $$

$$B = 2,284 \times 10^{-1} $$