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Problèmes sur les nombres fractionnaires

Challenge de conversion

Compléter le tableau suivant, en arrondissant si besoin au centième près.

Opérations de base sur les fractions

Calculer les résultats des opérations suivantes.

$$ A = 2 \times \frac{3}{4}$$
$$ B = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} $$
$$ C = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \div \frac{3}{4} $$
$$ D = \left(\frac{1}{2} \div \frac{1}{2} \right) \times \frac{3}{4}$$

Challenge dessin

Créer un carré de \(20 \times 20\) carreaux et :

1. Colorier un quart en vert;
2. Colorier un deux cinquièmes en bleu;
3. Colorier un dixième en rouge;


4. Calculer la partie restée incolore :

   • en comptant sur le dessin;

   • par un calcul.

On dispose de \(20 \times 20\) carreaux, c'est-à-dire \(400\) carreaux.

On appelle le tout \(T\) et la partie incolore \(I\).

• En comptant sur le dessin :

Sur le dessin, la partie non coloriée représente \(5 \times 20 = 100\) carreaux :

On a donc :

$$ I = T \times \frac{100}{400} $$
$$ I = \frac{T}{4}$$

• Par un calcul :

$$ I = T - T\times \frac{1}{4} - T\times \frac{2}{5} - T\times \frac{1}{10} $$

On choisit \(20\) comme dénominateur commun :

$$ I = T\textcolor{#AB6464}{\times \frac{20}{20}} - T\times \frac{1}{4}\textcolor{#AB6464}{\times \frac{5}{5}} - T\times \frac{2}{5}\textcolor{#AB6464}{\times \frac{4}{4}} - T\times \frac{1}{10}\textcolor{#AB6464}{\times \frac{2}{2}} $$
$$ I = \frac{20T}{20} - \frac{5T}{20} - \frac{8T}{20} - \frac{2T}{20} $$
$$ I = \frac{20 T - 5T - 8T - 2T}{20} $$
$$ I = \frac{5T}{20} $$
$$ I = \frac{\cancel{5}T}{\cancel{5} \times 4} $$
$$ I = \frac{T}{4}$$

Les dépenses contraintes

Les dépenses contraintes d'un foyer s'élèvent à :

• 650 € pour le logement
• 450 € pour la nourriture
• 220 € pour le transport
• 100 € pour la santé
• 80 € pour les frais de communication
• 65 € pour des frais diverses

1. Expliquer pour chaque poste à quoi correspond la dépense.

Poste	Logement	Nourriture	Transport	Santé	Communication	Autres
Dépense	.............................	.............................	.............................	.............................	.............................	.............................

Poste	Logement	Nourriture	Transport	Santé	Communication	Autres
Dépense	le loyer / le crédit	fruits / légumes / viandes / formage / pain	l'essence / l'assurance / le titre de transport	le médecin / les médicaments	abonnements de téléphone / internet	petits achats en ville

2. Calculer pour chaque poste, la part du total que cela représente.

Poste	Logement	Nourriture	Transport	Santé	Communication	Autres	Total
Dépense	..............	..............	..............	..............	..............	..............
Part du total	..............	..............	..............	..............	..............	..............

Poste	Logement	Nourriture	Transport	Santé	Communication	Autres	Total
Dépense	650	450	220	100	80	65	1565
Part du total	$$ \approx 41.53 \ \% $$	$$ \approx 28.75 \ \% $$	$$ \approx 14.06 \ \% $$	$$ \approx 6.39 \ \% $$	$$ \approx 5.11 \ \% $$	$$ \approx 4.15 \ \% $$	$$ \approx 100 \ \% $$

3. Le salaire médian en France est de 2 183 € net par mois, quelle part les dépenses contraintes pèsent sur ce salaire ?

On calcule le ratio :

$$ P = \text{Part des dépenses contraintes } = \frac{\text{dépenses contraintes}}{\text{revenu total}}$$

$$ P = \frac{1565}{2183}$$

$$ P \approx 71.7 \ \% $$

Cas pratique de la vue réelle

1. Une petite parcelle de terrain rectangulaire a les dimensions suivantes :

   $$ \left \{ \begin{align*} L = \frac{3}{4} \ m \\ l = \frac{1}{3} \ m \end{align*} \right \} $$

   Quelle est la surface de ce terrain ?

$$ S = L \times l $$
$$ S = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} $$
$$ S = \frac{3 \times 1}{4 \times 3} $$
$$ S = \frac{\cancel{3} \times 1}{4 \times \cancel{3}} $$
$$ S = \frac{1}{4} \ m^2 $$

2. Une recette de cuisine nécessite deux tiers de 100g de sucre, mais le doseur n'affiche un trait qu'à la moitié.

Pour savoir quelle part de la recette on peut faire, on doit diviser la part que l'on peut mesurer sur celle de la recette :

$$ P = \text{Part de la recette } = \frac{\text{quantité mesurable}}{\text{quantité requise}}$$

$$ P = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}} $$

$$ P = \frac{1}{2} \div \frac{2}{3} $$

$$ P = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} $$

$$ P = \frac{3}{4} $$

3. Une corde mesure \( \frac{4}{5} \ m\) de long, combien de sous-parties de taille \( \frac{1}{10} \ m\) peut-on couper avec celle-ci ?

Si on divise la corde de \( \frac{4}{5} \ m\) en partie de \( \frac{1}{10} \ m\), alors en apellant \(N\) le nombre de sous-parties de la corde :

$$ N = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{10}}$$

$$ N = \frac{4}{5} \times 10 $$

$$ N = \frac{40}{5} $$

$$ N = 8 $$

4. Lors d'une soirée entre copains, deux tiers des invités souhaitent goûter au gâteau, et un quart de ces derniers veulent aussi de la glace.

   Quelle partie de la totalité des invités veut à la fois du gâteau et de la glace ?

Pour cela, on multiplie simplement les deux fractions entre elles :

$$ F = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} $$

$$ F = \frac{\cancel{2} \times 1}{3 \times \cancel{2} \times 2} $$

$$ F = \frac{1}{6} $$

5. Un magasin où tous les articles sont réduits d'un quart de leur prix original.

   Si un T-shirt coûte initialement 20 €, combien coûte-t-il avec la solde ?

On doit retirer un quart du prix de départ :

$$ P_{\text{soldé}} = P_{\text{départ}} - \frac{1}{4}P_{\text{départ}} $$

$$ P_{\text{soldé}} = 20 - \frac{1}{4}20 $$

$$ P_{\text{soldé}} = 20 - \frac{20}{4}20 $$

$$ P_{\text{soldé}} = 20 - 5 $$

$$ P_{\text{soldé}} = 15 \text{ €} $$

6. On a peint les trois cinquième d'une pièce en deux heures, en combien de temps va-t-on finir la pièce ?

On peut utiliser le produit en croix pour résoudre ce problème :

$$ \frac{\frac{3}{5} \ \Bigl[pièce\Bigr]}{2 \ \Bigl[h \Bigr]} = \frac{1 \ \Bigl[pièce\Bigr]}{X \ \Bigl[h \Bigr]} \Longleftrightarrow X = \frac{2 \times 1}{\frac{3}{5}} $$

$$ X = 2 \times 1 \times \frac{5}{3} $$

$$ X = \frac{10}{3} $$

$$ X \approx 3.33... \text{ h} $$

7. Je dispose d'un temps libre à la maison (peu importe sa durée), je décide d'en utiliser :

   • la moitié pour faire mes devoirs;

   • le tiers pour jouer aux jeux vidéos.

   Quelle part me reste-t-il du temps initial ?

Si on appelle \(T_{1}\) le temps initial disponible :

$$ T_{2} = T_{1} - T_{1} \times \frac{1}{2} - T_{1} \times \frac{1}{3} $$

On met tout sous le même dénominateur :

$$ T_{2} = T_{1}\textcolor{#AB6464}{\times \frac{12}{12}} - T_{1} \times \frac{1}{2}\textcolor{#AB6464}{\times \frac{6}{6}} - T_{1} \times \frac{1}{3}\textcolor{#AB6464}{\times \frac{4}{4}} $$

$$ T_{2} = \frac{12T_{1}}{12} - \frac{6T_{1}}{12} - \frac{4T_{1}}{12} $$

$$ T_{2} = \frac{12T_{1} - 6T_{1} -3T_{1}}{12} $$

$$ T_{2} = \frac{2T_{1}}{12} = \frac{T_{1}}{6} $$

Il n'en reste un sixième.

8. Dans une recette américaine, il est écrit :

   You need \(3 \tfrac{1}{3} \) cups of flour.

   Seulement, vous avez déjà mis deux cuillères, quelle quantité vous reste-t-il à ajouter pour compléter la dose de farine ?

   En écriture américaine, \(3 \tfrac{1}{3} \) signifie \(3 + \frac{1}{3} \), alors il en reste \(1 + \frac{1}{3} \) à ajouter.

   On appelle \(Q\) la quantité à ajouter :

   $$ Q = 1\textcolor{#AB6464}{\times \frac{3}{3}} + \frac{1}{3} $$

   $$ Q = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} $$

   $$ Q = \frac{3 + 1}{3} $$

   $$ Q = \frac{4}{3} $$

Parts de pizzas

On démarre avec une pizza entière. Calculer à chaque repas combien reste-t-il de fraction de pizza.

1. Au repas du midi, j'en mange un tiers;

On appellera \(R_1\) le premier reste de pizza.

$$ R_1 = P - P \times \frac{1}{3} $$

$$ R_1 = P\textcolor{#AB6464}{\times \frac{3}{3}} - P \times \frac{1}{3} $$

$$ R_1 = \frac{3P - P}{3} $$

$$ R_1 = \frac{2P}{3} $$
2. Au repas du soir, j'en mange un quart;

On appellera \(R_2\) le premier reste de pizza.

$$ R_2 = \frac{2P}{3} - P \times \frac{1}{4} $$

$$ R_2 = \frac{2P}{3}\textcolor{#AB6464}{\times \frac{4}{4}} - P \times \frac{1}{4}\textcolor{#AB6464}{\times \frac{3}{3}} $$

$$ R_2 = \frac{8P}{12} - \frac{3P}{12} $$

$$ R_2 = \frac{5P}{12} $$
3. Au petit déjeuner, j'en mange un sixième.

On appellera \(R_3\) le premier reste de pizza.

$$ R_3 = \frac{5P}{12} - P \times \frac{1}{6} $$

$$ R_3 = \frac{5P}{12} - P \times \frac{1}{6} \textcolor{#AB6464}{\times \frac{2}{2}} $$

$$ R_3 = \frac{5P}{12} - \frac{2P}{12} $$

$$ R_3 = \frac{3P}{12} $$

$$ R_3 = \frac{P}{4} $$
4. Quelle part de pizza reste-t-il ?

Il en teste un quart.