Les puissances et l'écriture scientifique

Puissances de \(x\)

Soit deux nombres \((x, y)\) deux réels, et \((a, b)\) deux entiers naturels.

On définit une puissance de \(x\) par :

Exemples :

1. Produit de puissances (de même base)
   $$ x^a \times x^b = x^{a+b} $$

   Exemple :

   $$ 1 \ 000 \times 100 = 100 \ 000 $$

   Et avec la formule :

   $$ 10^3 \times 10^2 = 10^{3 + 2} = 10^5 \hspace{2em} (= 100 \ 000) $$
2. Quotient de puissances (de même base)
   $$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

   Exemple :

   $$ \frac{1 \ 000}{100} = 10 $$

   Et avec la formule :

   $$ \frac{10^3}{10^2} = 10^{3 - 2} = 10^1 \hspace{2em} (= 10) $$
3. Puissance de produit
   $$ (xy)^a = \hspace{0.2em} x^a \times y^a $$

   Exemple :

   $$ (3 \times 4)^2 = 12^2 = 144 $$

   Et avec la formule :

   $$ (3 \times 4)^2 = 3^2 \times 4^2 $$

   $$ (3 \times 4)^2 = 9 \times 16 = 144 $$
4. Puissance de quotient
   $$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$
   $$ (avec \ y \neq 0) $$

   Exemple :

   $$ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $$

   Et avec la formule :

   $$ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8} $$
5. Puissance de puissance
   $$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$

   Exemple :

   $$ (4^2)^3 = 16^3 = 4 \ 096$$

   Et avec la formule :

   $$ (4^2)^3 = 4^6 = 4 \ 096$$
6. La puissance zéro
   $$ x^0 = 1 $$
7. Résumé des formules

   Propriété	Condition	Formule
   Produit de puissances (de même base)	$$ $$	$$ x^a x^b = x^{a+b} $$
   Quotient de puissances (de même base)	$$ x \neq 0 $$	$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$
   Puissance de produit	$$ $$	$$ (xy)^a = x^a y^a $$
   Puissance de quotient	$$ y \neq 0 $$	$$ \left( \frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$
   Puissance de puissance	$$ $$	$$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$
   Nombre à la puissance zéro	$$ x \neq 0 $$	$$ x^0 = 1 $$

L'écriture scientifique

1. Présentation

   L'écriture scientifique va permettre de faire des calculs plus facilement :

   • avec de très grands nombres (astrophysique)

   • avec de très petits nombres (microbiologie, physique)

   
   

   Dans cette écriture, on note un nombre sous forme de nombre à virgules, multiplié par une puissance de 10.

   Exemple : \(1.8 \times 10^{7}\)

   $$ \underbrace{1.8} _\text{nombre \(D\)} \times \underbrace{10^{7}} _\text{puissance de \(10\)} $$
   
   

   Ce nombre à virgules est toujours formé par :

   • avant la virgule : un nombre décimal (positif ou négatif) \(D\) différent de 0, tel que :

     $$ -10 < D \leqslant - 1 $$

     ou

     $$ 1 \leqslant D < 10 $$

   • après la virgule : autant de chiffres que l'on veut, en respectant la logique des chiffres significatifs (présentée au point suivant).

   
   

   Exemple : la distance Terre-lune.

   $$ D_{Terre-lune} = 384 \ 400 \ km $$

   En écriture scientifique, on écrit :

   $$ D_{Terre-lune} = 3.844 \times 10^5 \ km $$

   Maintenant, en utilisant les unités du système international \((S.I.)\), on écrit :

   $$D_{[Terre-lune]} = 3.844 \times 10 ^8 \ m $$
2. Ordre de grandeur

   On appelle l'ordre de grandeur d'un nombre , la puissance de 10 qui est associée à son écriture scientifique .

   
   

   Exemple : la distance Terre-lune.

   $$ D_{Terre-lune} = 3.844 \times 10^\textcolor{rgb(232 124 124)}{5} \ km $$
   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{\bigl(\text{l'ordre de grandeur est } 5 \bigr)} $$
3. Gestion des chiffres significatifs

   Les chiffres significatifs

   Les chiffres significatifs d'un nombre sont un indicateur de sa précision.

   Ce sont tous les chiffres qui se situent après le dernier zéro non significatif , sachant que tous les premiers zéros sont non significatifs.

   La gestion des chiffres significatifs est différent selon les deux cas suivants.

   1. Addition / soustraction : \(+/-\)

      Le résultat possèdera autant de chiffres après la virgule que la donnée qui en a le moins.

      Exemple :

      $$A = 7,56 \times 10^3 + 4,5471 \times 10^2 $$

      En gardant comme puissance commune \(10^2\) :

      $$A = 75,6 \times 10^2 + 4,5471 \times 10^2 $$
      $$A = 80,1\textcolor{#AC6161}{471} \times 10^2 $$
      $$A = 80,1\times 10^2 $$
      $$A = 8,01\times 10^3 $$

   2. Multiplication / division : \(\times/\div\)

      Le résultat possèdera autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.

      Exemple :

      $$B = 3.197 \times 10^1 \times 7.14628 \times 10^{-3} $$
      $$B = 22,84\textcolor{#AC6161}{665716} \times 10^{-2} $$
      $$B = 22,84 \times 10^{-2} $$
      $$B = 2,284 \times 10^{-1} $$