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Problèmes sur les puissances

Traduction de nombres sous forme de puissance de 10

Écrire ces nombres sous forme d'une puissance de 10, et dans l'unité standard, le mètre (\(m\)).

1. 1 000 000 m
$$ 10^6 \ \bigl[ m \bigr] $$
2. 0.000001 cm
$$ 10^{-6} \ \bigl[ cm \bigr] $$
$$ 10^{-6} \textcolor{#8B6969}{\times 10^{-2} \ \bigl[ m \bigr]} $$
$$ 10^{-6 - 2} \ \bigl[ m \bigr] $$
$$ 10^{-8} \ \bigl[ m \bigr] $$
3. 1 000 km
$$ 10^3 \ \bigl[ km \bigr] $$
$$ 10^3 \textcolor{#8B6969}{\times 10^{3} \ \bigl[ m \bigr]} $$
$$ 10^6 \ \bigl[ m \bigr] $$
4. 1 000 000 000 000 000 km
$$ 10^{15} \ \bigl[ km \bigr] $$
$$ 10^{15} \textcolor{#8B6969}{\times 10^{3} \ \bigl[ m \bigr]} $$
$$ 10^{18} \ \bigl[ m \bigr] $$

Traduction de nombres sous forme scientifique

Traduire les expressions suivantes en écriture scientifique, et dans l'unité standard.

1. Le rayon de la Terre est de 6 370 km.
$$ R_T = 6 \ 370 \ \bigl[ km \bigr] $$
On met le nombre en écriture scientifique :
$$ R_T = 6.370 \times 10^3 \ \bigl[ km \bigr] $$
Ensuite on remplace les \(\textcolor{#8B6969}{km}\) par \(\textcolor{#8B6969}{10^3 \ \bigl[ m \bigr]}\) :
$$ R_T = 6.370 \times 10^3 \textcolor{#8B6969}{\times 10^3 \ \bigl[ m \bigr]} $$
Et on applique la formule :
$$ R_T = 6.370 \times 10^{3 + 3} \ \bigl[ m \bigr] $$
$$ R_T = 6.370 \times 10^6 \ \bigl[ m \bigr] $$
2. La distance Terre-lune est de 384 000 km.
$$ D_{T-L} = 384 \ 000 \ \bigl[ km \bigr] $$
$$ D_{T-L} = 3.84 000 \times 10^5 \ \bigl[ km \bigr] $$
$$ D_{T-L} = 3.84 000 \times 10^5 \textcolor{#8B6969}{\times 10^3 \ \bigl[ m \bigr]} $$
$$ D_{T-L} = 3.84000 \times 10^8 \ \bigl[ m \bigr] $$
3. Une année-lumière correspond à une distance d'environ 9 641 milliards de kilomètres.
$$ D_{A.L.} = 9 641 \times 10^9 \ \bigl[ km \bigr] $$
$$ D_{A.L.} = 9.641 \times 10^{12} \ \bigl[ km \bigr] $$
$$ D_{A.L.} = 9.641 \times 10^{12} \textcolor{#8B6969}{\times 10^3 \ \bigl[ m \bigr]} $$
$$ D_{A.L.} = 9.641 \times 10^{15} \ \bigl[ m \bigr] $$
4. « Mille milliards de mille sabords ! »
$$ N_{sabords} = 10^{3} \times 10^{9} \times 10^{3} \ sabords $$
$$ N_{sabords} = 10^{3 + 9 + 3} \ sabords $$
$$ N_{sabords} = 10^{15} \ sabords $$

Les puissances de 10 et leur équivalent en mesures

Compléter le tableau suivant.

Épidémie de bactéries

Une population de bactéries, au départ composée de 100 individus, double toutes les heures.

On note alors : \(P_0 = 100\).

1. Que vaut \(P_1\), la population de bactéries au bout d'une heure ?
$$ P_1 = 100 \times 2 $$
$$ P_1 = 200 \text{ individus} $$
2. Que vaut \(P_2\), la population de bactéries au bout de deux heures ?
$$ P_2 = 100 \times 2 \times 2 $$
$$ P_2 = 400 \text{ individus} $$
3. Au bout de combien d'heures la population dépassera les 5 000 individus ?
$$ P_2 = 400 \longrightarrow P_3 = 800 \longrightarrow P_4 = 1 \ 600 \longrightarrow P_5 = 3 \ 200 \longrightarrow P_6 = 6 \ 400 $$

Ce sera au bout de la 6^ème heure.

Comparaison de la taille de deux astres

Ci-dessous un tableau des tailles du rayon et masses respectives de la Terre, du soleil et de la lune :

Ces données étant très grandes, on souhaite avoir un aperçu des rapports entre eux.

1. Comparer les tailles des rayons respectifs de ces astres deux-à-deux, puis conclure sur la taille relative d'un des astres par rapport à l'autre.

Appelons \((R_T, R_S, R_L)\) les longueurs des rayons respectifs de chaque astre.

Rapport \((Soleil-Terre)\) :

$$ \frac{R_S}{R_T} = \frac{696 \ 340}{6 \ 378}$$

$$ \frac{R_S}{R_T} = \frac{6.96340 \times 10^5}{6.378 \times 10^3} $$

On réduit aux nombre de chiffres significatifs en même temps :

$$ \frac{R_S}{R_T} = \frac{6.963}{6.378} \times \frac{10^5}{10^3} $$

$$ \frac{R_S}{R_T} \approx 1 \times 10^{5 - 3} $$

$$ \frac{R_S}{R_T} \approx 10^{2} $$

Le rayon du soleil est cent fois plus grand que celui de la Terre.

Rapport \((Soleil-Lune)\) :

$$ \frac{R_S}{R_L} = \frac{696 \ 340}{1 \ 737}$$

$$ \frac{R_S}{R_L} = \frac{6.96340 \times 10^5}{1.737 \times 10^3} $$

$$ \frac{R_S}{R_L} = \frac{6.963}{1.737} \times \frac{10^5}{10^3} $$

$$ \frac{R_S}{R_L} \approx 4 \times 10^{5 - 3} $$

$$ \frac{R_S}{R_T} \approx 4 \times 10^{2} $$

Le rayon du soleil est cent fois plus grand que celui de la lune.

Rapport \((Terre-Lune)\) :

$$ \frac{R_T}{R_L} = \frac{6 \ 378}{1 \ 737}$$

$$ \frac{R_T}{R_L} = \frac{6.378 \times 10^3}{1.737 \times 10^3} $$

$$ \frac{R_T}{R_L} = \frac{6.378}{1.737} \times \frac{10^3}{10^3} $$

$$ \frac{R_T}{R_L} \approx 3.6 $$

Le rayon de Terre est comparable à celui de la lune.

2. Faire la même chose pour leur masses respectives.

Appelons \((M_T, M_S, M_L)\) les masses respectives de chaque astre.

Rapport \((Soleil-Terre)\) :

$$ \frac{M_S}{M_T} = \frac{1.989 \times 10^{30}}{5.972 \times 10^{24}} $$

$$ \frac{M_S}{M_T} = \frac{1.989}{5.972} \times \frac{10^{30}}{10^{24}} $$

$$ \frac{M_S}{M_T} = \frac{1.989}{5.972} \times 10^{30 - 24} $$

$$ \frac{M_S}{M_T} \approx \frac{2}{6} \times 10^6 $$

$$ \frac{M_S}{M_T} \approx \frac{1}{3} \times 10^6 $$

La masse du soleil est un million de fois plus grande que celle de la Terre.

Rapport \((Soleil-Lune)\) :

$$ \frac{M_S}{M_L} = \frac{1.989 \times 10^{30}}{7.35 \times 10^{22}}$$

$$ \frac{M_S}{M_L} = \frac{1.989}{7.35} \times \frac{10^{30}}{10^{22}} $$

On réduit aux nombre de chiffres significatifs en même temps :

$$ \frac{M_S}{M_L} = \frac{1.99}{7.35} \times 10^{30 - 22} $$

$$ \frac{M_S}{M_L} \approx \frac{2}{8} \times 10^8 $$

$$ \frac{M_S}{M_T} \approx \frac{1}{4} \times 10^{8} $$

La masse du soleil est cent millions de fois plus grande que celle de la lune.

Rapport \((Terre-Lune)\) :

$$ \frac{M_T}{M_L} = \frac{5.972 \times 10^{24}}{7.35 \times 10^{22}}$$

$$ \frac{M_T}{M_L} = \frac{5.972}{7.35} \times \frac{10^{24}}{10^{22}}$$

$$ \frac{M_T}{M_L} = \frac{5.97}{7.35} \times 10^{24-22} $$

$$ \frac{M_T}{M_L} \approx \frac{6}{7} \times 10^2 $$

La masse de la Terre est cent fois plus grande que celle de la lune.

Problèmes de la vie à la ferme

1. Une parcelle fait 2 500 000 de mètres carrés.

   Réécrire cette surface en utilisant la notation scientifique.

$$ S_p = 2.5 \times 10^6 \ \bigl[ m^2\bigr] $$

2. Un silo cylindrique à un rayon de 3 mètres et une hauteur de 10 mètres.

   Calculer son volume en mètres cubes.

   Le volume d'un cylindre de rayon \(R\) et de longueur \(L\) vaut :

   $$ V_{cylindre} = \pi R^2 L $$
$$ S_c = 2 \times 10^2 \times 1.2 \times 10^2 $$
$$ S_c = 2.4 \times 10^{2 + 2} $$
$$ S_c = 2.4 \times 10^{4} \ \bigl[ m^2\bigr] $$

3. Une tonne d'engrais couvre \(10^5 \ \bigl[ m^2\bigr]\).

   Combien faut-il de tonnes pour en couvrir \(10^8\) ?

Il faut faire un produit en croix.

$$ \frac{1 \ \bigl[ tonnes \bigr]}{ 10^5 \ \bigl[ ha \bigr] } = \frac{Q \ \bigl[ tonnes \bigr]}{ 10^8 \ \bigl[ ha \bigr] } $$

$$ Q = \frac{1 \times 10^8}{10^5} $$

$$ Q = 10^{8 - 5} $$

$$ Q = 10^3 \ tonnes $$
4. Un bidon de \(20 \ L\) d'azote liquide coûte \(42 \ \text{ €}\) et couvre \(10^3 \ \bigl[ m^2\bigr]\).

Combien faut-il commander de bidons pour \(10^6 \ \bigl[ m^2\bigr]\) de colza ?

Il faut faire un produit en croix.

$$ \frac{1 \ \bigl[ bidons \bigr]}{ 10^3 \ \bigl[ m^2 \bigr] } = \frac{N \ \bigl[ bidons \bigr]}{ 10^6 \ \bigl[ m^2 \bigr] } $$

$$ N = \frac{1 \times 10^6}{10^3} $$

$$ N = 10^{6 - 3} $$

$$ N = 1 \ 000 \ bidons $$

Combien cela va-t-il coûter ?

Il faut faire un produit en croix.

$$ \frac{1 \ \bigl[ bidons \bigr]}{ 42 \ \bigl[ \text{ €} \bigr] } = \frac{10^3 \ \bigl[ bidons \bigr]}{ P \ \bigl[ \text{ €} \bigr] } $$

$$ P = \frac{42 \times 10^3}{1} $$

$$ P = 42 \ 000 \ \text{ €} $$

5. La subvention PAC accorde \(125 \ \text{€/ha} \).

   L'exploitation mesure 1.4 km sur 2 km.

Quelle est la surface en hectares de cette exploitation ?

Il faut calculer cette surface.

$$ S = 1.4 \times 10^3 \times 2 \times 10^3 $$

$$ S = 2.8 \times 10^6 \ \bigl[ m^2\bigr] $$

Ensuite, on doit convertir la surface en hectares.

$$ \frac{1 \ \bigl[ ha \bigr]}{ 10^4 \ \bigl[ m^2 \bigr] } = \frac{N \ \bigl[ ha \bigr]}{ 2.8 \times 10^6 \ \bigl[ m^2 \bigr] } $$

$$ N = \frac{1 \times 2.8 \times 10^6}{10^4} $$

$$ N = 2.8 \times 10^{6 - 4} $$

$$ N = 280 \ ha $$

Quelle va être le montant de la subvention reçue pour cette exploitation ?

Il faut faire un produit en croix.

$$ \frac{125 \ \bigl[ \text{€} \bigr]}{ 1 \ \bigl[ ha \bigr] } = \frac{M \ \bigl[ \text{€} \bigr]}{ 280 \ \bigl[ ha \bigr] } $$

$$ M = \frac{125 \times 280}{1} $$

$$ M = 35 \ 000 \ \text{ €} $$

Projet d'agrandissement d'une ferme

Un agriculteur possédant une exploitation de 80 hectares souhaite doubler son rendement tous les 5 ans.

1. Écrire la surface au bout de 5 ans, 10 ans, 15 ans.
$$ S_1 = 80 \ ha \longrightarrow S_2 = 160 \ ha \longrightarrow S_3 = 320 \ ha \longrightarrow S_4 = 640 \ ha $$
$$ (\text{année} \ 0) \hspace{3em} (\text{année} \ 5) \hspace{3em} (\text{année} \ 10) \hspace{3em} (\text{année} \ 15) $$
2. Au bout de combien d'années la SAU dépassera-t-elle 1 000 hectares ?

Il faut poser l'inégalité :

$$ 80 \times 2^n > 1000 $$

$$ \textcolor{#8B6969}{\frac{1}{80} \times \ } 80 \times 2^n > \textcolor{#8B6969}{\frac{1}{80} \times \ } 1000 $$

$$ 2^n > \frac{1000}{80} $$

$$ 2^n > 12.5 $$

$$ n > 4 $$

3. En réalité, il ne trouve que 20 hectares à louer tous les ans.

   En combien de temps pourra-t-il réaliser son projet ?

Il faut poser l'inégalité :

$$ 80 + 20n > 1000 $$

$$ 80 \textcolor{#8B6969}{- 80 } + 20n > 1000 \textcolor{#8B6969}{- 80 } $$

$$ 20n > 920 $$

$$ \textcolor{#8B6969}{\frac{1}{20} \times \ } 20n > \textcolor{#8B6969}{\frac{1}{20} \times \ } 920 $$

$$ n > 46 \ ans $$