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Problèmes sur les puissances

Traduction de nombres sous forme de puissance de 10

Écrire ces nombres en français, puis les réécrire sous forme d'une puissance de 10.

  1. 1 000 000 m

  2. 0.000001 cm

  3. 23 000 km

  4. 1 000 000 000 000 000 km

Traduction de nombres sous forme scientifique

Traduire les expressions suivantes en écriture scientifique, puis en déduire les ordres de grandeurs des situations suivantes.

  1. Le rayon de la Terre est de 6 370 km.

  2. La distance Terre-lune est de 384 000 km.

  3. Une année-lumière correspond à une distance d'environ 9 641 milliards de kilomètres.

  4. « Mille miliiards de mille sabords ! »

Les puissances de 10 et leur équivalent en mesures

Compléter le tableau suivant.

Unité
$$ Giga \ (G) $$
$$ Kilo \ (k) $$
$$ micro \ (\mu) $$
$$ nano \ (n) $$
Ordre de grandeur
 $$10^{6}$$ $$10^{3}$$ $$10^{-3}$$ $$$$ $$10^{-9}$$
Équivalent
milliard
million
millième
millionième
Unités de conversions

Épidémie de bactéries

Une population de bactéries, au départ composée de 100 individus, double toutes les heures.

On note alors : \(P_0 = 100\).

  1. Que vaut \(P_1\), la population de bactéries au bout d'une heure ?

    2. $$ P_1 = 100 \times 2 $$
    $$ P_1 = 200 \text{ individus} $$

  2. Que vaut \(P_2\), la population de bactéries au bout de deux heures ?

    3. $$ P_2 = 100 \times 2 \times 2 $$
    $$ P_2 = 400 \text{ individus} $$

  3. Au bout de combien d'heures la population dépassera les 5 000 individus ?

    4. $$ P_2 = 400 \longrightarrow P_3 = 800 \longrightarrow P_4 = 1 \ 600 \longrightarrow P_5 = 3 \ 200 \longrightarrow P_6 = 6 \ 400 $$

    Ce sera au bout de la 6ème heure.

Comparaison de la taille de deux astres

Ci-dessous un tableau des tailles du rayon et masses respectives de la Terre, du soleil et de la lune :

Mesure
Astre
Terre
Soleil
Lune
Longueur du rayon (km)
$$ 6 \ 378 $$
$$ 696 \ 340 $$
$$ 1 \ 737 $$
Masse (kg)
$$ 5.972 \times 10^{24} $$
$$ 1.989 \times 10^{30} $$
$$ 7.35 \times 10^{22} $$
tailles du rayon et masses respectives de la Terre, du soleil et de la lune

Ces données étant très grandes, on souhaite avoir un aperçu des rapports entre eux.

  1. Comparer les tailles des rayons respectifs de ces astres deux-à-deux, puis conclure sur la taille relative d'un des astres par rapport à l'autre.

    2. Appelons \((R_T, R_S, R_L)\) les longueurs des rayons respectifs de chaque astre.

    Rapport \((Soleil-Terre)\) :

    $$ \frac{R_S}{R_T} = \frac{696 \ 340}{6 \ 378}$$
    $$ \frac{R_S}{R_T} = \frac{6.96340 \times 10^5}{6.378 \times 10^3} $$

    On réduit aux nombre de chiffres significatifs en même temps :

    $$ \frac{R_S}{R_T} = \frac{6.963}{6.378} \times \frac{10^5}{10^3} $$
    $$ \frac{R_S}{R_T} \approx 1 \times 10^{5 - 3} $$
    $$ \frac{R_S}{R_T} \approx 10^{2} $$

    Le rayon du soleil est cent fois plus grand que celui de la Terre.

    Rapport \((Soleil-Lune)\) :

    $$ \frac{R_S}{R_L} = \frac{696 \ 340}{1 \ 737}$$
    $$ \frac{R_S}{R_L} = \frac{6.96340 \times 10^5}{1.737 \times 10^3} $$
    $$ \frac{R_S}{R_L} = \frac{6.963}{1.737} \times \frac{10^5}{10^3} $$
    $$ \frac{R_S}{R_L} \approx 4 \times 10^{5 - 3} $$
    $$ \frac{R_S}{R_T} \approx 4 \times 10^{2} $$

    Le rayon du soleil est cent fois plus grand que celui de la lune.

    Rapport \((Terre-Lune)\) :

    $$ \frac{R_T}{R_L} = \frac{6 \ 378}{1 \ 737}$$
    $$ \frac{R_T}{R_L} = \frac{6.378 \times 10^3}{1.737 \times 10^3} $$
    $$ \frac{R_T}{R_L} = \frac{6.378}{1.737} \times \frac{10^3}{10^3} $$
    $$ \frac{R_T}{R_L} \approx 3.6 $$

    Le rayon de Terre est comparable à celui de la lune.

  2. Faire la même chose pour leur masses respectives.

    3. Appelons \((M_T, M_S, M_L)\) les masses respectives de chaque astre.

    Rapport \((Soleil-Terre)\) :

    $$ \frac{M_S}{M_T} = \frac{1.989 \times 10^{30}}{5.972 \times 10^{24}} $$
    $$ \frac{M_S}{M_T} = \frac{1.989}{5.972} \times \frac{10^{30}}{10^{24}} $$
    $$ \frac{M_S}{M_T} = \frac{1.989}{5.972} \times 10^{30 - 24} $$
    $$ \frac{M_S}{M_T} \approx \frac{2}{6} \times 10^6 $$
    $$ \frac{M_S}{M_T} \approx \frac{1}{3} \times 10^6 $$

    La masse du soleil est un million de fois plus grande que celle de la Terre.

    Rapport \((Soleil-Lune)\) :

    $$ \frac{M_S}{M_L} = \frac{1.989 \times 10^{30}}{7.35 \times 10^{22}}$$
    $$ \frac{M_S}{M_L} = \frac{1.989}{7.35} \times \frac{10^{30}}{10^{22}} $$

    On réduit aux nombre de chiffres significatifs en même temps :

    $$ \frac{M_S}{M_L} = \frac{1.99}{7.35} \times 10^{30 - 22} $$
    $$ \frac{M_S}{M_L} \approx \frac{2}{8} \times 10^8 $$
    $$ \frac{M_S}{M_T} \approx \frac{1}{4} \times 10^{8} $$

    La masse du soleil est cent millions de fois plus grande que celle de la lune.

    Rapport \((Terre-Lune)\) :

    $$ \frac{M_T}{M_L} = \frac{5.972 \times 10^{24}}{7.35 \times 10^{22}}$$
    $$ \frac{M_T}{M_L} = \frac{5.972}{7.35} \times \frac{10^{24}}{10^{22}}$$
    $$ \frac{M_T}{M_L} = \frac{5.97}{7.35} \times 10^{24-22} $$
    $$ \frac{M_T}{M_L} \approx \frac{6}{7} \times 10^2 $$

    La masse de la Terre est cent fois plus grande que celle de la lune.

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