Problèmes sur les puissances en contexte agricole

Problèmes de la vie à la ferme

1. Une parcelle fait 2 500 000 de mètres carrés.

   Réécrire cette surface en utilisant la notation scientifique.

   $$ S_p = 2.5 \times 10^6 \ \bigl[\text{m^2}\bigr] $$
2. Un silo cylindrique à un rayon de 3 mètres et une hauteur de 10 mètres.

   Calculer son volume en mètres cubes.

   Le volume d'un cylindre de rayon \(R\) et de longueur \(L\) vaut :

   $$ V_{\text{cylindre}} = \pi R^2 L $$
   $$ S_c = 2 \times 10^2 \times 1.2 \times 10^2 $$

   $$ S_c = 2.4 \times 10^{2 + 2} $$

   $$ S_c = 2.4 \times 10^{4} \ \bigl[\text{m^2}\bigr] $$
3. Une tonne d'engrais couvre \(10^5 \ \bigl[\text{m^2}\bigr]\).

   Combien faut-il de tonnes pour en couvrir \(10^8\) ?

   Il faut faire un produit en croix.

   $$ \frac{1 \ \bigl[ \text{tonnes} \bigr]}{ 10^5 \ \bigl[\text{ha}\bigr] } = \frac{Q \ \bigl[ \text{tonnes} \bigr]}{ 10^8 \ \bigl[\text{ha}\bigr] } $$

   $$ Q = \frac{1 \times 10^8}{10^5} $$

   $$ Q = 10^{8 - 5} $$

   $$ Q = 10^3 \ \text{tonnes} $$
4. Un bidon de \(20 \ \text{L}\) d'azote liquide coûte \(42 \ \text{ €}\) et couvre \(10^3 \ \bigl[\text{m^2}\bigr]\).

   Combien faut-il commander de bidons pour \(10^6 \ \bigl[\text{m^2}\bigr]\) de colza ?

   Il faut faire un produit en croix.

   $$ \frac{1 \ \bigl[ \text{bidons} \bigr]}{ 10^3 \ \bigl[\text{m^2}\bigr] } = \frac{N \ \bigl[ \text{bidons} \bigr]}{ 10^6 \ \bigl[\text{m^2}\bigr] } $$

   $$ N = \frac{1 \times 10^6}{10^3} $$

   $$ N = 10^{6 - 3} $$

   $$ N = 1 \ 000 \ \text{bidons} $$

   Combien cela va-t-il coûter ?

   Il faut faire un produit en croix.

   $$ \frac{1 \ \bigl[ \text{bidons} \bigr]}{ 42 \ \bigl[ \text{ €} \bigr] } = \frac{10^3 \ \bigl[ \text{bidons} \bigr]}{ P \ \bigl[ \text{ €} \bigr] } $$

   $$ P = \frac{42 \times 10^3}{1} $$

   $$ P = 42 \ 000 \ \text{ €} $$
5. La subvention PAC accorde \(125 \ \text{€/ha} \).

   L'exploitation mesure 1.4 km sur 2 km.

   Quelle est la surface en hectares de cette exploitation ?

   Il faut calculer cette surface.

   $$ S = 1.4 \times 10^3 \times 2 \times 10^3 $$

   $$ S = 2.8 \times 10^6 \ \bigl[\text{m^2}\bigr] $$

   Ensuite, on doit convertir la surface en hectares.

   $$ \frac{1 \ \bigl[\text{ha}\bigr]}{ 10^4 \ \bigl[\text{m^2}\bigr] } = \frac{N \ \bigl[\text{ha}\bigr]}{ 2.8 \times 10^6 \ \bigl[\text{m^2}\bigr] } $$

   $$ N = \frac{1 \times 2.8 \times 10^6}{10^4} $$

   $$ N = 2.8 \times 10^{6 - 4} $$

   $$ N = 280 \ ha $$

   Quelle va être le montant de la subvention reçue pour cette exploitation ?

   Il faut faire un produit en croix.

   $$ \frac{125 \ \bigl[ \text{€} \bigr]}{ 1 \ \bigl[\text{ha}\bigr] } = \frac{M \ \bigl[ \text{€} \bigr]}{ 280 \ \bigl[\text{ha}\bigr] } $$

   $$ M = \frac{125 \times 280}{1} $$

   $$ M = 35 \ 000 \ \text{ €} $$

Projet d'agrandissement d'une ferme

Un agriculteur possédant une exploitation de 80 hectares souhaite doubler son rendement tous les 5 ans.

1. Écrire la surface au bout de 5 ans, 10 ans, 15 ans.
   $$ S_1 = 80 \ ha \longrightarrow S_2 = 160 \ ha \longrightarrow S_3 = 320 \ ha \longrightarrow S_4 = 640 \ ha $$

   $$ (\text{année} \ 0) \hspace{3em} (\text{année} \ 5) \hspace{3em} (\text{année} \ 10) \hspace{3em} (\text{année} \ 15) $$
2. Au bout de combien d'années la SAU dépassera-t-elle 1 000 hectares ?

   Il faut poser l'inégalité :

   $$ 80 \times 2^n > 1000 $$

   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{\frac{1}{80} \times \ } 80 \times 2^n > \textcolor{rgb(232 124 124)}{\frac{1}{80} \times \ } 1000 $$

   $$ 2^n > \frac{1000}{80} $$

   $$ 2^n > 12.5 $$

   $$ n > 4 $$
3. En réalité, il ne trouve que 20 hectares à louer tous les ans.

   En combien de temps pourra-t-il réaliser son projet ?

   Il faut poser l'inégalité :

   $$ 80 + 20n > 1000 $$

   $$ 80 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 80 } + 20n > 1000 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 80 } $$

   $$ 20n > 920 $$

   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{\frac{1}{20} \times \ } 20n > \textcolor{rgb(232 124 124)}{\frac{1}{20} \times \ } 920 $$

   $$ n > 46 \ \text{ans} $$