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Théorème de thalès

Similarité de deux triangles

Deux triangles semblables

Deux triangles sont dit semblables lorsqu'ils ont :

• leurs longueurs respectives proportionnelles;

• leurs angles respectivement égaux.

Cela implique alors qu'il existe un rapport \(k\) entre les longueurs respectives, correspondant à :

• un agrandissement (si \(k > 1\));

• une réduction (si \(k < 1\));

• une conservation (si \(k = 1\)).

$$ \exists! k \in \mathbb{R}, \ \begin{Bmatrix} \overline{A'B'} = k \times \overline{AB}\\ \overline{B'C'} = k \times \overline{BC} \\ \overline{A'C'} = k \times \overline{AC} \end{Bmatrix} $$

$$ \begin{Bmatrix} \widehat{BAC} = \widehat{B'A'C'} = \alpha \\ \widehat{ABC} = \widehat{A'B'C'} = \beta \\ \widehat{BCA}= \widehat{B'C'A'} = \gamma \end{Bmatrix} $$

Théorème et réciproque du théorème de Thalès

Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès part de l'hypothèse d'un parallélisme entre deux droites, pour en déduire une égalité entre rapports de longueur.

1. Triangles imbriqués par l'intérieur

Dans deux triangles semblables imbriqués \( ABC \) et \( ADE \), où \(ADE\) est le plus grand triangle :





On aura toujours la relation suivante :

$$ (BC) \parallel (DE) \Longrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \qquad \bigl(\text{Théorème de Thalès} \bigr) $$

2. Triangles imbriqués par l'extérieur

Si les triangles sont tels que la figure suivante, imbriqués par l'extérieur :





La relation précédente vaut toujours, mais il faut faire attention à bien prendre en compte le changement de côté après dépliage.

Réciproque du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès fait le chemin inverse ; elle part de l'hypothèse d'une égalité entre rapports de longueur, pour en déduire un éventuel parallélisme entre deux droites.

Dans ce cas, on aura :

Même si en réalité, deux égalités sur trois seulement sont suffisantes (jamais deux sans trois).