Problèmes sur le théorème de Thalès

Mesurer la hauteur d'un silo à grains (sans y monter)

Sur la ferme, un silo à grains dont on ignore la hauteur.

Le silo projette un ombre au sol de 15 mètres.

On souhaite alors te servir de l'ombre d'un piquet à planter dans le sol, afin de déterminer la hauteur de ce silo, mais sans y grimper.

1. Réaliser le schéma du problème illustrant le silo et son ombre

   

   

2. Où, et de quelle manière doit-on planter le piquet pour pouvoir appliquer le théorème de Thalès ?

   On doit planter le piquet, de sorte que l'ombre de celui-ci coïncide avec celle du silo et bien parallèle au silo.

3. Ajouter alors cet élément au schéma précédent.

4. Le piquet mesure 2 mètres et on mesure une distance de 1.5 mètres entre le piquet et le bout de l'ombre projettée.

   Calculer la hauteur réelle du silo.

   Comme le bâton est parallèle au silo, on peut appliquer le théorème de Thalès :

   $$ \frac{1.5}{15} = \frac{2}{\textcolor{rgb(232 124 124)}{X}} $$

   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{X} = \frac{2 \times 15}{1.5}$$

   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{X} = 20 \ \bigl[ m \bigr] $$

La distance au viaduc

Un observateur tente de déterminer approximativement la distance qui le sépare du point.

Pour cela, il a planté un piquet parallèle au pont, et a mesuré les distances présentes sur le schéma suivant :

De plus, il sait que ce viaduc mesure \(150 \ m\).

Calculer les deux distances qui le sépare du pont (à gauche et à droite).

Ajustement du rétroprojecteur

En salle de classe, on dispose d'un rétroprojecteur situé à une distance :

La largeur projettée sur le tableau est elle de :

Pour mettre ce rétroprojecteur en mode cinéma, on a besoin que l'image projettée \(\bigl[ A'B' \bigr]\) soit de \(5 \ m\).

1. Écrire les rapports de longueur grâce au théorème de Thalès dans le triangle \(OA'B'\).

   $$ \frac{\bigl[OA\bigr]}{\bigl[OA'\bigr]} = \frac{\bigl[OB\bigr]}{\bigl[OB'\bigr]} = \frac{\bigl[AB\bigr]}{\bigl[A'B'\bigr]} $$

2. Écrire maintenant les rapports de longueur dans le triangle \(OA'M'\).

   $$ \frac{\bigl[OA\bigr]}{\bigl[OA'\bigr]} = \frac{\bigl[OM\bigr]}{\bigl[OM'\bigr]} = \frac{\bigl[AM\bigr]}{\bigl[A'M'\bigr]} $$

3. Justifier alors le fait que :

   $$ \frac{\bigl[OM\bigr]}{\bigl[OM'\bigr]} = \frac{\bigl[AB\bigr]}{\bigl[A'B'\bigr]} $$

   Dans la première relation on tire que :

   $$ \frac{\bigl[OA\bigr]}{\bigl[OA'\bigr]} = \frac{\bigl[AB\bigr]}{\bigl[A'B'\bigr]} $$

   Et dans la seconde que :

   $$ \frac{\bigl[OA\bigr]}{\bigl[OA'\bigr]} = \frac{\bigl[OM\bigr]}{\bigl[OM'\bigr]} $$

   Les deux rapports étant égal au même rapport \(\frac{\bigl[OA\bigr]}{\bigl[OA'\bigr]}\), ils sont égaux entre eux. Donc :

   $$ \frac{\bigl[OM\bigr]}{\bigl[OM'\bigr]} = \frac{\bigl[AB\bigr]}{\bigl[A'B'\bigr]} $$

4. Effecteur maintenant l'application numérique et en déduire \(\bigl[A'B'\bigr]\).

   $$ \frac{\bigl[OM\bigr]}{\bigl[OM'\bigr]} = \frac{\bigl[AB\bigr]}{\bigl[A'B'\bigr]} $$

   $$ \frac{1}{\bigl[OM'\bigr]} = \frac{2}{5} $$

   Avec un produit en croix, on obtient que :

   $$ \bigl[OM'\bigr] = \frac{5 \times 1}{2} $$

   $$ \bigl[OM'\bigr] = 2.5 \ m $$

Le théorème de Thalès avec deux triangles imbriqués par l'extérieur

On dispose de la figure suivante :

1. Si les droites \((AB)\) et \((A'B')\) sont parallèles, énoncer le théorème de Thalès correspondant.

   $$ (AB) \parallel (A'B') \Longrightarrow \frac{OA}{OB'} = \frac{OB}{OA'} = \frac{AB}{A'B'} $$

2. Dans un cas général, avec deux propositions logiques \(A\) et \(B\). Si on a l'implication suivante :

   $$ A \Longrightarrow B $$

   Quelle est sa contraposée ?

   $$ non(B) \Longrightarrow non(A) $$

3. Énoncer maintenant la contraposée du théorème de Thalès dans cette situation.

   La contraposée du théorème de Thalès nous dit dans ce cas que :

   Si au moins une des deux égalités est fausse, alors les droites \((AB)\) et \((A'B')\) ne sont pas parallèles entre elles :

   $$ \Biggl[ \left(\frac{OA}{OB'} \neq \frac{OB}{OA'} \right) \text{ ou } \left(\frac{OA}{OB'} \neq \frac{AB}{A'B'} \right) \text{ ou } \left(\frac{OB}{OA'} \neq \frac{AB}{A'B'} \right) \Biggr] \Longrightarrow (AB) \xcancel{\parallel} (A'B') $$

   .

4. Enfin, vérifier ces les droites \((AB)\) et \((A'B')\) sont parallèles avec les valeurs suivantes :

   $$ \left \{ \begin{gather*} \bigl[ OA\bigr] = 2, \ \bigl[ OB\bigr] = 2, \\ \\ \bigl[ OA'\bigr] = 4, \ \bigl[ OB'\bigr] = 4, \\ \\ \bigl[ AB\bigr] = \frac{3}{2}, \ \bigl[ A'B'\bigr] = \frac{7}{2} \end{gather*} \right \} $$

   Calculons les différents rapports et comparons-les :

   $$ \frac{OA}{OB'} = \frac{2}{4} $$

   $$ \frac{OA}{OB'} = \frac{\cancel{2} \times 1}{\cancel{2} \times 2} $$

   $$ \frac{OA}{OB'} = \frac{1}{2} $$

   $$ \frac{OB}{OA'} = \frac{2}{4} $$

   $$ \frac{OB}{OA'} = \frac{1}{2} $$

   $$ \frac{AB}{A'B'} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{2}} $$

   $$ \frac{AB}{A'B'} = \frac{3}{\cancel{2}} \times \frac{\cancel{2}}{7} $$

   $$ \frac{AB}{A'B'} = \frac{3}{7} $$

   $$ \frac{OA}{OB'} = \frac{OB}{OA'} \neq \frac{AB}{A'B'} $$

   Le dernier rapport n'est pas égal aux deux premiers, alors les droites \((AB)\) et \((A'B')\) ne sont pas parallèles entre elles .